ДІЛЕННЯ РАЦІОНАЛЬНИХ ЧИСЕЛ

Розділ 4 РАЦІОНАЛЬНІ ЧИСЛА ТА ДІЇ З НИМИ

§ 29. ДІЛЕННЯ РАЦІОНАЛЬНИХ ЧИСЕЛ

Ви знаєте, що для додатних чисел дію ділення можна звести до дії множення на число, обернене до дільника.

Нехай треба поділити число 20 на число  ДІЛЕННЯ РАЦІОНАЛЬНИХ ЧИСЕЛ Це означає, що число 20 можна помножити на число, обернене до числа  ДІЛЕННЯ РАЦІОНАЛЬНИХ ЧИСЕЛ тобто на число  ДІЛЕННЯ РАЦІОНАЛЬНИХ ЧИСЕЛ  ДІЛЕННЯ РАЦІОНАЛЬНИХ ЧИСЕЛ

Тоді, за правилом множення чисел з різними знаками, дістанемо:

 ДІЛЕННЯ РАЦІОНАЛЬНИХ ЧИСЕЛ

Отже,  ДІЛЕННЯ РАЦІОНАЛЬНИХ ЧИСЕЛ

Бачимо,

що частка чисел 20 і  ДІЛЕННЯ РАЦІОНАЛЬНИХ ЧИСЕЛ дорівнює частці їх модулів, узятій зі знаком “-“:

 ДІЛЕННЯ РАЦІОНАЛЬНИХ ЧИСЕЛ

Частка чисел -20 та  ДІЛЕННЯ РАЦІОНАЛЬНИХ ЧИСЕЛ дорівнює частці їх модулів, узятій зі знаком “-“:

 ДІЛЕННЯ РАЦІОНАЛЬНИХ ЧИСЕЛ

Запам’ятайте!

Правило ділення чисел з різними знаками Частка двох чисел з різними знаками – число від’ємне. Щоб знайти частку чисел з різними знаками, треба поділити модуль діленого на модуль дільника і перед отриманою часткою поставити

знак “-“.

? Як поділити одне від’ємне число на інше? Міркуючи аналогічно до попереднього випадку, для чисел -20 і  ДІЛЕННЯ РАЦІОНАЛЬНИХ ЧИСЕЛ дістанемо:

 ДІЛЕННЯ РАЦІОНАЛЬНИХ ЧИСЕЛ

Запам’ятайте!

Правило ділення двох від’ємних чисел Частка двох від’ємних чисел – число додатне.

Щоб знайти частку двох від’ємних чисел, достатньо поділити модуль діленого на модуль дільника.

Узагалі, знак частки раціональних чисел визначається знаками діленого і дільника. Наприклад:

4 = 8:2 або 4 = -8: (-2);

-4 = -8 : 2 або -4 = 8: (-2).

Якщо число 0 поділити на будь-яке раціональне число, відмінне від нуля, то в частці дістанемо 0: 0 : а = 0 для а ≠ 0.

Дія ділення на 0 не має змісту і для раціональних чисел. Тому: на 0 ділити не можна!

Зверніть увагу:

– у частці а : b число b не може дорівнювати нулю;

– якщо частка а : b додатна, то числа а і b мають однакові знаки, і навпаки;

– якщо частка а : b від’ємна, то числа а і b мають різні знаки, і навпаки;

– якщо частка а : b дорівнює нулю, то а дорівнює нулю, і навпаки.

Оскільки а ∙ 1 = а, то а : 1 = а для будь-якого а, і а : а = 1 для а ≠ 0.

Якщо число, відмінне від нуля, поділити на -1, то в частці дістанемо протилежне до нього число. Наприклад, 5 : (-1) = -5.

Частка двох протилежних чисел, відмінних від нуля, дорівнює -1: – а : а = а : (-а) = -1 для а ≠ 0.

Дізнайтеся більше

Назва раціональних чисел походить від латинського “ratiо” – “відношення”, оскільки ці числа із часу своєї появи позначаються за допомогою відношення цілого числа до натурального числа. Якщо поділити раціональне число на раціональне число, яке не дорівнює нулю, то частка завжди буде раціональним числом. Однак, якщо поділити ціле число на ціле число, яке не дорівнює нулю, то в частці не завжди отримаємо ціле число. Наприклад, частка чисел 2 і 3 не є цілим числом.

Цікаво, що історично проблему щодо ділення чисел було розв’язано значно раніше, ніж проблему щодо їх віднімання.

ПРИГАДАЙТЕ ГОЛОВНЕ

1. Як поділити два додатні числа? два від’ємні числа? два числа з різними знаками?

2. Які знаки мають два числа, якщо їх частка додатна? від’ємна?

3. Що буде результатом ділення, якщо ділене дорівнює 0?

4. Що буде результатом ділення, якщо дільник дорівнює діленому?

5. Що буде результатом ділення, якщо дільник дорівнює 1 ? -1 ?

РОЗВ’ЯЖІТЬ ЗАДАЧІ

1306′. Дано два числа з різними знаками. Чи є правильним твердження :

1) частка даних чисел є числом додатним;

2) частка даних чисел є числом від’ємним?

1307′. Потрібно поділити число -24 на 8.

1) Чому дорівнює модуль числа-24: а) 24; б)-24?

2) Чому дорівнює модуль числа 8: а) 8; б) -8?

3) Якою буде частка модулів: а) 3;  ДІЛЕННЯ РАЦІОНАЛЬНИХ ЧИСЕЛ

4) Яким буде знак частки: а)”+” ; б)”-“?

5) Назвіть число, що є часткою даних чисел.

1308′. Дано два від’ємні числа. Чи є правильним твердження;

1) частка даних чисел є числом додатним;

2) частка даних чисел є числом від’ємним?

1309′. Потрібно поділити число -40 на -5.

1) Чому дорівнює модуль числа-40: а) 40; б) -40?

2) Чому дорівнює модуль числа-5: а) 5; б)-5?

3) Якою буде частка модулів: а) 8; б)  ДІЛЕННЯ РАЦІОНАЛЬНИХ ЧИСЕЛ?

4) Яким буде знак частки: а) “+” ; б) “-“?

5) Назвіть число, що є часткою даних чисел.

1310′. Чи правильно, що: 1) 5 : 5 = 0; 2) 0 : (-3) = -3; 3) 0 : 4 = 0?

1311′. Чи є правильним твердження: якщо частка а : b дорівнює нулю, то:

1) або а, або b дорівнює нулю; 2) одночасно а і b дорівнюють нулю; 3) тільки а дорівнює нулю?

1312′. Чи правильно, що:

1)8: 1=8; 3)-7 : 7 = – 1; 5) 6 : (-6) = 1;

2) -8 : 1=8; 4)12:12 = 1; 6)-14 : 14 = -1?

1313°. Чи правий Віталик, стверджуючи, що часткою двох натуральних чисел завжди є: 1) натуральне число; 2) ціле число; 3) раціональне число?

1314°. Який знак має частка:

1)5: (-2); 2)-4: 2; 3)14: (-7); 4) 1,344 : (-0,5)?

1315°. Обчисліть:

1) 63 : (-9); 6) 56 : (-8); 11) 0,84 : (-1,2);

2) -44 : 4; 7)-96:4; 12)-313,1 : 1,01;

3) -3:12; 8) 45: (-15); 13) 0,82 : (-2);

4)-10: 25; 9) 6: (-12); 14)-16,9: 13;

5) 544: (-16); 10)0,1 : (-2,5); 15)-2: 0,002.

1316°. Обчисліть:

1) 196 : (-4); 3)-0,6 : 2; 5) 22,5 : (-0,25);

2)-42: 6; 4)-12: 6; 6)-14,4 : 0,32.

1317°. Чиє правильною нерівність:

1) -2,3 : (-7) < 0; 2)-42 : (-5,4) > 0; 3)-2:(-8)<0?

1318°. Обчисліть:

1) -48 : (-12); 4)-8 : (-56); 7)-8,1 : (-0,9);

2)-42 : (-6); 5)-459:(-9); 8)-4,41 : (-2,1);

3) -65 : (-5); 6) -1,25: (-0,5); 9) -0,404 : (-0,04).

1319°. Обчисліть:

1) -124 : (-4); 2)-80: (-160); 3)-84,25 : (-2,5).

1320°. За даними таблиці 20 визначте знак числа Ь.

 ДІЛЕННЯ РАЦІОНАЛЬНИХ ЧИСЕЛ

1321°. Порівняйте з нулем вираз:

1 )-3 : (-32) ∙ 65; 3)-36: (-6);

2) 42 : (-4,4) ∙ (-2,9): (-7,08); 4) 64: (-0,8) ∙ (-9): (-3,3).

1322°. За даними таблиці 21 визначте знак виразу.

Таблиця 21

 ДІЛЕННЯ РАЦІОНАЛЬНИХ ЧИСЕЛ

1323°. Обчисліть:

1) -6: 1; 2)-3,67 : 1;

3)0:6; 4)0: (-5,98);

 ДІЛЕННЯ РАЦІОНАЛЬНИХ ЧИСЕЛ

1324°. Обчисліть:

1) – 13:1; 2)-56: (-1);

3)187: (-1); 4) 0 : 6;

5)8,92: 1 : (-0,2): (-1);  ДІЛЕННЯ РАЦІОНАЛЬНИХ ЧИСЕЛ

1325°. Знайдіть х, якщо:

1)х:2 = 0; 3) х: 0,09 = 0;

2) х : (-34) = 0; 4) x : (-34) = 0.

1326°. Знайдіть х, якщо:

1) х : 4 = 0; 2) х : (-0,4) = 0; 3)х:(-4) = 4.

1327°. Обчисліть:

1) 15 : (- 15); 2) – 0,9 : 0,9; 3) 1 : (-1);  ДІЛЕННЯ РАЦІОНАЛЬНИХ ЧИСЕЛ

1328°. Накресліть у зошиті та заповніть таблицю 22.

Таблиця 22

 ДІЛЕННЯ РАЦІОНАЛЬНИХ ЧИСЕЛ

1329°. Обчисліть:

1)-5,05: (-5); 2)5,05:5; 3)-5,05: 5; 4) 5,05: (-5).

1330°. Обчисліть:

1) -84 : (-2); 2)84:2; 3) 84 : (-2); 4)-84: 2.

1331°. Обчисліть:

1)-0,6 : (-2)-2-(-3): (-2,4)+ (-2,3);

2) 6,4-2 -(-16): (-0,1): 400;

3) -7,7 : 11 + (-5,8): (26 : (-13));

 ДІЛЕННЯ РАЦІОНАЛЬНИХ ЧИСЕЛ

1332°. Обчисліть:

 ДІЛЕННЯ РАЦІОНАЛЬНИХ ЧИСЕЛ

2) 0,1 : (-10) + 81 : (-0,9): (-3) ∙ (-0,01);

3) 4,4-2,4 : (-0,24) + (-1212): (-12).

1333°. Чи правильно порівняли вирази:

 ДІЛЕННЯ РАЦІОНАЛЬНИХ ЧИСЕЛ

1334°. Порівняйте значення виразів:

1) -8 : (-2) і 8 : 2;  ДІЛЕННЯ РАЦІОНАЛЬНИХ ЧИСЕЛ

3)-15 : (-6) і-15: 6;  ДІЛЕННЯ РАЦІОНАЛЬНИХ ЧИСЕЛ

1335°. Порівняйте значення виразів:

1) -100 : (-2) і 100 : 2; 3) -6 ∙ (-3) і -6 : (-3);

2) -7,2 : (-10) і 7,2 : 10; 4) 45 : (-9) і -9 : 45.

1336°. Розв’яжіть рівняння:

 ДІЛЕННЯ РАЦІОНАЛЬНИХ ЧИСЕЛ

1337Розв’яжіть рівняння:

1)х : (-7,1) = 0; 2)-5: х = 6; 3)0,42 : x = -0,01.

1338. Обчисліть:

 ДІЛЕННЯ РАЦІОНАЛЬНИХ ЧИСЕЛ

1339. Знайдіть значення виразу:

1)-16 ∙ (14+ (-240): 120)-960 : (-24);

2)-2450; 35- (-49) – 50702 : (-101).

1340. Знайдіть значення виразу:

1)-67928 : 1213-625: (-25);

2)-512 : 256 + (-201): 67-968 : (-22).

1341. Чи є значення виразу цілим числом:

 ДІЛЕННЯ РАЦІОНАЛЬНИХ ЧИСЕЛ

1342. Який знак треба поставити між виразами:

 ДІЛЕННЯ РАЦІОНАЛЬНИХ ЧИСЕЛ

Запишіть відповідну нерівність.

1343. Обчисліть:

 ДІЛЕННЯ РАЦІОНАЛЬНИХ ЧИСЕЛ

1344. Знайдіть значення виразу:

1) 15- (-6): (-120) – (-80): (-1600);

2) -175 : (-35) – 0 : 348 – 78309 : (-78309).

1345. Знайдіть значення виразу;

1) -8679 : (-789) + (-2025): (-45);

2) -3564 : (-9): (-11 ∙ 2 – 0 : (-34)).

1346. Чи є значення виразу цілим від’ємним числом:

 ДІЛЕННЯ РАЦІОНАЛЬНИХ ЧИСЕЛ

1347. Який знак треба поставити між виразами:

 ДІЛЕННЯ РАЦІОНАЛЬНИХ ЧИСЕЛ

Запишіть відповідну нерівність. 1348. Обчисліть:

 ДІЛЕННЯ РАЦІОНАЛЬНИХ ЧИСЕЛ

1349. Розв’яжіть рівняння:

1) (х-4): 7 = 0; 4) |х| : (-5) = 0;

2) (-1,1 + х): 8,8 = 0; 5) |х-5| : 0,3 = 0;

3) (-1,8 + х): |-0,24| =0; 6) | |х|- 111 | : (-111) = 0.

1350. Розв’яжіть рівняння:

1) (х-36): 54 = 0; 2) (0,2 +x): (- 14) = 0; 3) | х | : |-10| =0.

1351. Додатним чи від’ємним є число а. якщо:

 ДІЛЕННЯ РАЦІОНАЛЬНИХ ЧИСЕЛ

1352. Обчисліть:

 ДІЛЕННЯ РАЦІОНАЛЬНИХ ЧИСЕЛ

1353. Iз числами  ДІЛЕННЯ РАЦІОНАЛЬНИХ ЧИСЕЛ виконайте такі дії:

1) поділіть добуток найбільшого і найменшого з даних чисел на число-2;

2) добуток даного додатного числа і найбільшого з даних від’ємних чисел поділіть на число, протилежне до числа -4.

1354. Запишіть кожне з чисел -4; -1,5; 0,6; 8,2 у вигляді частки, дільник якої дорівнює:

1) -1; 2) 1; 3) 2; 4) 0,1; 5) -4.

1355. Число 4,6 поділили на  ДІЛЕННЯ РАЦІОНАЛЬНИХ ЧИСЕЛ потім додали половину початкового числа й отримали  ДІЛЕННЯ РАЦІОНАЛЬНИХ ЧИСЕЛ. Знайдіть значення х.

1356. Число -3 поділили на  ДІЛЕННЯ РАЦІОНАЛЬНИХ ЧИСЕЛ потім додали четверту частину числа 98 й отримали  ДІЛЕННЯ РАЦІОНАЛЬНИХ ЧИСЕЛ Знайдіть значення х.

1357. Частка двох чисел дорівнює -25. Знайдіть дільник, якщо ділене є найбільшим від’ємним цілим двоцифровим числом.

1358.Число  ДІЛЕННЯ РАЦІОНАЛЬНИХ ЧИСЕЛ два рази ділили на -2,5, а потім ще два рази на модуль числа, протилежного до суми чисел 2,04 і –  ДІЛЕННЯ РАЦІОНАЛЬНИХ ЧИСЕЛ Яке число отримали?

1359. Число-4,5 три рази ділили на-3, а потім квадрат отриманого числа помножили на добуток чисел 10,8 і  ДІЛЕННЯ РАЦІОНАЛЬНИХ ЧИСЕЛ Яке число отримали?

1360. Знайдіть суму всіх цілих чисел, менших від числа 84,78 і більших за число -96 і які діляться на 5.

1361*. Знайдіть значення виразу:

 ДІЛЕННЯ РАЦІОНАЛЬНИХ ЧИСЕЛ

1362*. Знайдіть значення виразу:

 ДІЛЕННЯ РАЦІОНАЛЬНИХ ЧИСЕЛ

1363*. Оленка задумала ціле число. Якщо до його половини додати його четверту частину, то отримаємо -18. Яке число задумала Оленка?

1364*. Знайдіть частку, якщо ділене є добутком усіх цілих чисел від -12 до 45, а дільник – добутком усіх парних двоцифрових чисел.

1365*. Знайдіть частку, якщо ділене є добутком усіх цілих чисел від 5 до 55, а дільник -добутком чисел, протилежних до них.

1366*. Розв’яжіть рівняння:

1)х: (х – 2,6) = 0; 3)(х-3)(4-х): (х-5) = 0;

2) | х – 23| – (х + 12,7): х = 0; 4) (х + 0,4) – х : (0,1 – х) = 0.

ЗАСТОСУЙТЕ НА ПРАКТИЦІ

1367. Автомобіль, рухаючись зі швидкістю 80 км/год, проїжджає весь шлях за 4,5 год. З якою швидкістю треба рухатися автомобілю, щоб подолати цей шлях за 4 год?

1368. 2 кг полуниці містить 1200 мг вітаміну С. Добова норма вітаміну С для чотирьох дітей становить 240 мг. Скільки грамів полуниць треба з’їсти трьом дітям, щоб забезпечити добову норму вітаміну С?

ЗАДАЧІ НА ПОВТОРЕННЯ

1369. Знайдіть:

1) 20%числа |-120|; 2) 10%числа 0,35.

1370. Скільки різних чисел можна скласти із цифр 1, 2 і 0?

1371. Знайдіть НСК і НСД чисел:

1) 120 і 48; 2) 35 і 105.

1372. Скільки двоцифрових чисел ділиться на 6 без остачі?

1373. Яка остання цифра в числі, що є значенням виразу:

1) (22)2; 2) (З3)3; 3) (23)2; 4) (З2)3?




ДІЛЕННЯ РАЦІОНАЛЬНИХ ЧИСЕЛ