Дільники і кратні натурального числа

Розділ 1 Подільність натуральних чисел

У цьому розділі ви:

– ознайомитеся з дільниками і кратними натуральних чисел;

– дізнаєтеся про прості та складені числа, взаємно прості числа;

– навчитеся розкладати числа на прості множники, знаходити найбільший спільний дільник і найменше спільне кратне натуральних чисел.

 Дільники і кратні натурального числа

§1. Дільники і кратні натурального числа

15 яблук можна розділити порівну між п’ятьма дітьми, давши кожному по 3 яблука. А якщо розділити (не розрізаючи) ці самі 15 яблук між

шістьма дітьми, то кожна дитина отримає по 2 яблука і ще 3 яблука не будуть розділені.

Число 15 ділиться на 5 без остачі (15 : 5 = 3). Кажуть, що число 5 є дільником числа 15. Число 15 не ділиться на 6 без остачі (15 : 6 = 2 (ост. 3)). Тому число 6 не є дільником числа 15.

– Дільником натурального числа а називають натуральне число, на яке а ділиться без остачі.

Наприклад, дільниками числа 10 є числа 1, 2, 5 і 10, а дільниками числа 17 – 1 і 17. Число 10 має чотири дільники, а число 17 – два дільники. Число 1 має лише один дільник – 1.

Надалі замість слів “ділиться без остачі” для випадку, коли діленим і дільником є

натуральні числа, використовуватимемо слово “ділиться”.

Будь-яке натуральне число а ділиться на 1 і а. Отже, 1 і а – дільники числа а, причому 1 – найменший дільник, а – найбільший.

Приклад 1. Знайти всі дільники числа 18.

Розв’язання. Два дільники числа 18 очевидні: 1 і 18. Щоб знайти інші, будемо перевіряти підряд усі натуральні числа, починаючи з 2. Отримаємо ще чотири дільники: 2, 3, 6 і 9. Отже, число 18 має шість дільників: 1, 2, 3, 6, 9, 18. Цей перебір можна скоротити, якщо, знайшовши один дільник, записувати відразу й інший, який є часткою від ділення числа 18 на знайдений дільник. Таким чином, отримаємо пари: 1 і 18, 2 і 9, 3 і 6. Під час перебору їх зручно записувати так:

1 2 3

18 9 6.

Нехай на столі лежать коробки, в кожній з яких знаходиться 12 олівців. Не розкриваючи коробок, можна взяти 12 олівців, 24 олівці, 36 олівців, а от 16 олівців узяти не можна. Кажуть, що числа 12, 24, 36 кратні числу 12, а число 16 не кратне числу 12.

– Кратним натуральному числу а називають натуральне число, яке ділиться на а.

Будь-яке натуральне число а має безліч кратних. Наприклад, перші п’ять чисел, які кратні числу 12, такі: 12, 24, 36, 48, 60. Найменшим з кратних натурального числа є саме це число.

Узагалі, всі числа, які кратні числу а, можна одержати, помноживши а послідовно на числа 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, …, а саме:

А ∙ 1; а ∙ 2; а ∙ 3; а ∙ 4; а ∙ 5; а ∙ 6; а ∙ 7; …

Зауважимо, що слова “ділиться” і “кратне” замінюють одне одного. Наприклад, вирази “40 ділиться на 8” і “40 кратне числу 8” мають один і той самий зміст.

Приклад 2. Знайти найменше та найбільше чотирицифрові числа, які кратні числу 23.

Розв’язання. 1) 1000 – найменше чотирицифрове число. 1000 : 23 = 43 (ост. 11). Тому 23 ∙ 44 = 1012 – найменше чотирицифрове число, яке кратне числу 23.

2) 9999 – найбільше чотирицифрове число. 9999 : 23 = = 434 (ост. 17). Тому 23 ∙ 434 = 9982 – найбільше чотирицифрове число, яке кратне числу 23.

– Яке число називають дільником даного натурального числа а? Назви дільники числа 8. Яке натуральне число називають кратним числу а? Назви чотири числа, які кратні числу 8.

1. Назви ті пари чисел, у яких перше число є дільником другого:

1) 2 і 8; 2) 3 і 5; 3) 14 і 7;

4) 5 і 18; 5) 10 і 50; 6) 1 і 2012.

2. Перевір, чи є перше число дільником другого:

1) 25 і 400; 2) 13 і 1613; 3) 123 і 3321.

3. Перевір, чи є перше число дільником другого:

1) 3 і 112; 2) 42 і 1050; 3) 37 і 1645.

4. Назви пари чисел, у яких перше число є кратним другому:

1) 12 і 3; 2) 17 і 9; 3) 18 і 1; 4) 23 і 23.

5. Перевір, чи є перше число кратним другому:

1) 810 і 5; 2) 1036 і 45; 3) 4144 і 37.

6. Перевір, чи є перше число кратним другому:

1) 189 і 3; 2) 1051 і 6; 3) 3000 і 24.

7. Запиши всі дільники числа:

1) 12; 2) 19; 3) 27; 4) 36.

8. Запиши всі дільники числа: 1) 15; 2) 23; 3) 28; 4) 40.

9. Запиши чотири числа, кратні числу: 1) 8; 2) 10; 3) 19.

10. Запиши чотири числа, кратні числу: 1) 6; 2) 11; 3) 23.

11. Треба поділити порівну між кількома дітьми 24 цукерки. Скільки може бути дітей?

12. Чи можна дати здачу 2 грн 25 коп. монетами:

1) по 25 коп.; 2) по 50 коп.?

13. Чи можна 65 огірків розкласти порівну:

1) в 2 кошики; 2) в 3 кошики; 3) в 5 кошиків?

14. Запиши всі двоцифрові числа, які кратні числу 17.

15. Запиши всі двоцифрові числа, які кратні числу 13.

16. Вкажи яке-небудь число, що є дільником чисел:

1) 8 і 12; 2) 20 і 30; 3) 13 і 26; 4) 7 і 15.

17. Вкажи яке-небудь число, що є дільником чисел:

1) 4 і 9; 2) 15 і 10.

18. Вкажи яке-небудь число, що є кратне числам:

1) 2 і 5; 2) 3 і 6; 3) 9 і 12.

19. Вкажи яке-небудь число, що є кратне числам:

1) 3 і 7; 2) 8 і 12.

20. Запиши значення х, які кратні числу 5, при яких подвійна нерівність 23 < х < 36 буде правильною.

21. Запиши значення у, що є дільниками числа 30, при яких подвійна нерівність 2 < у < 14 буде правильною.

22. Запиши значення b, при яких подвійна нерівність 4 < b < 17 буде правильною і які:

1) кратні числу 3; 2) є дільниками числа 36.

23. Знайди:

1) найбільше чотирицифрове число, що кратне числу 115;

2) найменше п’ятицифрове число, що кратне числу 12.

24. Яка найменша кількість горіхів повинна бути в кошику, щоб їх можна було розкласти на купки або по 6, або по 8, або по 9 горіхів у кожній?

25. На координатному промені позначено число b (мал. 1). Познач на такому промені у зошиті три числа, які кратні числу b.

 Дільники і кратні натурального числа

Мал. 1

26. Знайди периметр і площу квадрата, сторона якого дорівнює 2,4 см. Вирази площу цього квадрата у мм2.

27. Округли:

1) 17,89 до одиниць; 2) 15,135 до десятих;

3) 18,475 до сотих; 4) 189,145 до десятків.

28. Доведи, що два натуральних числа а і b мають таку властивість: або а, або b, або а + b, або а – b ділиться на 3.




Дільники і кратні натурального числа - Математика


Дільники і кратні натурального числа