Математика – Алгебра
Натуральні числа і дії над ними
Дії над натуральними числами
Додавання
У записі числа a і b – доданки, число с, а також вираз – сума чисел а і b.
Властивості додавання
1. Переставна. Від перестановки доданків сума не змінюється: .
2. Сполучна. Щоб до суми двох чисел додати третє число, можна до першого числа додати суму другого й третього чисел: .
Переставна й сполучна властивості
.
3. Якщо один із двох доданків 0, то їх сума дорівнює другому доданку:
; .
Віднімання
Дія, за допомогою якої за відомою сумою двох доданків і одним із них знаходять другий доданок, називається дією віднімання: .
У цьому записі число а – зменшуване, b – від’ємник, c – різниця.
Різниця двох натуральних чисел показує, на скільки перше число більше від
Властивості віднімання
1. Щоб відняти суму від числа, можна спочатку відняти від цього числа один доданок, а потім від отриманої різниці – другий:
.
2. Щоб від суми відняти число, можна відняти його від одного з доданків, а до отриманої різниці додати другий доданок:
;
.
3. Якщо від числа відняти нуль, воно не зміниться: .
4. Якщо від числа відняти те ж саме число, одержимо 0: .
Множення
Помножити число a на число b означає знайти суму b доданків, кожний із яких дорівнює а:
або ,
де a і b – множники, c – добуток.
Властивості множення
1. Переставна. Від перестановки множників добуток не змінюється:
.
2. Сполучна. Щоб добуток двох чисел помножити на третє число, можна перше число помножити на добуток другого й третього чисел:
.
Сполучна й переставна властивості множення поширюються на довільну кількість множників і дозволяють виконувати множення у довільному порядку: .
3. Розподільна.
Щоб помножити суму на число, можна кожний доданок помножити на це число і знайдені добутки додати:
.
Щоб помножити різницю на число, можна зменшуване і від’ємник помножити на це число й від першого добутку відняти другий:
.
4. Якщо одиницю помножити на будь-яке число, дістанемо те саме число:
.
5. Якщо хоча б один множник дорівнює 0, добуток дорівнює 0:
.
Приклади
;
.
Ділення
Ділення – дія, за допомогою якої за відомим добутком і одним із множників знаходиться другий множник.
Якщо , то і .
У записі число с – ділене, b – дільник, число а, а також вираз – частка.
Частка показує, у скільки разів ділене більше дільника.
Властивості ділення
1. На 0 ділити не можна.
2. Якщо розділити число на 1, дістанемо те саме число: .
3. Якщо розділити число на себе, дістанемо 1: .
4. Якщо розділити 0 на будь-яке число, крім 0, дістанемо 0: .
Ділення з остачею
Число а ділиться на число b націло, якщо , де n – яке-небудь натуральне число.
Наприклад, 15 ділиться націло на 3, оскільки .
В іншому випадку можна поділити а на b з остачею. Наприклад:
.
У цьому записі число 289 – ділене, 15 – дільник, 19 – неповна частка, 4 – остача.
Для будь-яких чисел а та b завжди знайдуться такі числа с і r (натуральні або 0), що , де . Коли , то , тобто число а ділиться як на число b, так і на число c.