Формули радіусів вписаних і описаних кіл правильних многокутників

УРОК № 18

Тема. Формули радіусів вписаних і описаних кіл правильних многокутників

Мета уроку: Виведення формул для радіусів вписаних і описаних кіл правильного многокутника. Формування вмінь застосовувати виведені формули до розв’язування задач.

Тип уроку: комбінований.

Наочність і обладнання: табл. 5, 6.

Вимоги до рівня підготовки учнів: записують і пояснюють формули радіусів вписаного та описаного кіл правильного многокутника; радіусів вписаного й описаного кіл правильного трикутника, чотирикутника (квадрата),

шестикутника та доводять їх.

Хід уроку

І. Перевірка домашнього завдання

Перевірити наявність виконаних домашніх завдань та відповісти на запитання, які виникли в учнів під час виконання домашніх завдань.

Задача 1. Розв’язання

Оскільки  Формули радіусів вписаних і описаних кіл правильних многокутників = 150°, то 180 • (n – 2) = 150n; 180n – 360 = 150n; 30n = 360; n = 12.

Відповідь. 12 сторін.

Задача 2. Розв’язання

Оскільки  Формули радіусів вписаних і описаних кіл правильних многокутників = 24°, то 360 = 24n; n = 15.

Відповідь. 15 сторін.

Задача 3. Доведення

Нехай А1А2…Аn – даний правильний n-кутник (рис. 74), точка О – його центр. В1, В2, …, Вn – середини сторін А1А2,

А2А3, …, АnА1.

Тоді ОВ1 = ОВ2 = … = ОВn – як радіуси вписаного кола в многокутник А1А2…Аn і  Формули радіусів вписаних і описаних кіл правильних многокутниківВ1ОВ2 =  Формули радіусів вписаних і описаних кіл правильних многокутниківВ2ОВ3 = … =  Формули радіусів вписаних і описаних кіл правильних многокутниківBnOB1 = 2 Формули радіусів вписаних і описаних кіл правильних многокутниківB1OA2. Рівнобедрені трикутники В1ОВ2, В2ОВ3,…, ВnОВ1 рівні за двома сторонами і кутом між ними. Із рівності трикутників маємо: В1В2 = В2В3 = … = ВnВ1і  Формули радіусів вписаних і описаних кіл правильних многокутниківB1B2B3=  Формули радіусів вписаних і описаних кіл правильних многокутниківB2B3B4 = …=  Формули радіусів вписаних і описаних кіл правильних многокутниківBnB1B2 = 2 Формули радіусів вписаних і описаних кіл правильних многокутниківOB1B2. Отже, n-кутник В1В2…Вn правильний.

 Формули радіусів вписаних і описаних кіл правильних многокутників

Математичний диктант

Дано правильний п-кутник.

Варіант 1 (n = 4), варіант 2 (n = 6).

Знайдіть:

А) суму кутів многокутника;

Б) внутрішній кут многокутника;

В) зовнішній кут многокутника;

Г) центральний кут многокутника;

Д) сторону многокутника, якщо його периметр дорівнює 24 см;

Є) апофему многокутника, якщо його сторона дорівнює 20 см.

Відповіді

Варіант 1. а) 360°; б) 90°; в) 90°; г) 90°; д) 6 см; є) 10 см.

Варіант 2. а) 720°; б) 120°; в) 60°; г) 60°; д) 4 см; є) 10 Формули радіусів вписаних і описаних кіл правильних многокутників см.

II. Сприймання й усвідомлення нового матеріалу

Виведення формул радіусів вписаного і описаного кіл правильного многокутника

Нехай задано сторону an правильного n-кутника (рис. 75), знайдемо радіус R описаного кола і радіус r вписаного кола.

Розглянемо трикутник АОВ, у якому АВ = an,  Формули радіусів вписаних і описаних кіл правильних многокутниківАОВ =  Формули радіусів вписаних і описаних кіл правильних многокутників як центральний кут правильного n-кутника. Проведемо висоту ОС цього трикутника, тоді  Формули радіусів вписаних і описаних кіл правильних многокутниківАОС =  Формули радіусів вписаних і описаних кіл правильних многокутників =  Формули радіусів вписаних і описаних кіл правильних многокутників =  Формули радіусів вписаних і описаних кіл правильних многокутників.

 Формули радіусів вписаних і описаних кіл правильних многокутників

Із трикутника АОС знаходимо:

R = AO =  Формули радіусів вписаних і описаних кіл правильних многокутників =  Формули радіусів вписаних і описаних кіл правильних многокутників ; r = OC =  Формули радіусів вписаних і описаних кіл правильних многокутників =  Формули радіусів вписаних і описаних кіл правильних многокутників.

Отже,  Формули радіусів вписаних і описаних кіл правильних многокутників,  Формули радіусів вписаних і описаних кіл правильних многокутників.

Виведення формул радіусів вписаного і описаного кіл правильного трикутника, чотирикутника, шестикутника.

Виразимо радіуси описаного та вписаного кіл через сторону правильного трикутника, чотирикутника і шестикутника.

Для правильного трикутника (рис. 76):

 Формули радіусів вписаних і описаних кіл правильних многокутників;

 Формули радіусів вписаних і описаних кіл правильних многокутників.

 Формули радіусів вписаних і описаних кіл правильних многокутників

Для правильного чотирикутника (рис. 77):

 Формули радіусів вписаних і описаних кіл правильних многокутників;

 Формули радіусів вписаних і описаних кіл правильних многокутників.

 Формули радіусів вписаних і описаних кіл правильних многокутників

Для правильного шестикутника (рис. 78):

 Формули радіусів вписаних і описаних кіл правильних многокутників;

 Формули радіусів вписаних і описаних кіл правильних многокутників.

 Формули радіусів вписаних і описаних кіл правильних многокутників

Результати наших досліджень оформимо у вигляді табл. 5.

Таблиця 5

N

R, r

N – довільне,

N = 3

N = 4

N = 6

R

 Формули радіусів вписаних і описаних кіл правильних многокутників

 Формули радіусів вписаних і описаних кіл правильних многокутників

 Формули радіусів вписаних і описаних кіл правильних многокутників

A6

R

 Формули радіусів вписаних і описаних кіл правильних многокутників

 Формули радіусів вписаних і описаних кіл правильних многокутників

 Формули радіусів вписаних і описаних кіл правильних многокутників

 Формули радіусів вписаних і описаних кіл правильних многокутників

Виконання вправ

1) Сторона квадрата дорівнює 20 см. Знайдіть радіуси вписаного й описаного кіл. 2) Сторона правильного трикутника дорівнює 15 см. Знайдіть радіуси вписаного й описаного кіл. 3) Сторона правильного шестикутника дорівнює 12 см. Знайдіть радіуси вписаного й описаного кіл. 4) У правильного трикутника радіус вписаного кола вдвічі менший за радіус описаного кола. Доведіть це.

Доведення

Оскільки R =  Формули радіусів вписаних і описаних кіл правильних многокутників, а r =  Формули радіусів вписаних і описаних кіл правильних многокутників, то R : r =  Формули радіусів вписаних і описаних кіл правильних многокутників Формули радіусів вписаних і описаних кіл правильних многокутників = 2, що і треба було довести.

5) Радіус кола, описаного навколо правильного трикутника, дорівнює 2 Формули радіусів вписаних і описаних кіл правильних многокутників см. Знайдіть сторону трикутника і радіус кола, вписаного в цей трикутник. 6) Радіус кола, вписаного в правильний чотирикутник, дорівнює  Формули радіусів вписаних і описаних кіл правильних многокутників см. Знайдіть сторону чотирикутника і радіус кола, описаного навколо цього чотирикутника. 7) Радіус кола, описаного навколо правильного шестикутника, дорівнює  Формули радіусів вписаних і описаних кіл правильних многокутників см. Знайдіть сторону цього шестикутника та діаметр кола, вписаного в цей шестикутник.

Колективне розв’язування задачі

Виразіть сторону аn правильного n-кутника через радіус R описаного навколо нього і радіус r вписаного в нього кола. Обчисліть аn, якщо n = 3, 4, 6.

Результати розв’язування задачі можна оформити у вигляді табл. 6.

Таблиця 6

R, r

An

R

Г

An

2R sin Формули радіусів вписаних і описаних кіл правильних многокутників

2r tg Формули радіусів вписаних і описаних кіл правильних многокутників

A3

R Формули радіусів вписаних і описаних кіл правильних многокутників

2r Формули радіусів вписаних і описаних кіл правильних многокутників

A4

R Формули радіусів вписаних і описаних кіл правильних многокутників

2r

А6

R

 Формули радіусів вписаних і описаних кіл правильних многокутників r

III. Закріплення й осмислення нового матеріалу

Розв’язування задач

1. Хорда, яка перпендикулярна до радіуса й проходить через його середину, дорівнює стороні правильного вписаного трикутника. Доведіть це.

Доведення

Нехай AB  Формули радіусів вписаних і описаних кіл правильних многокутників OD, DC = CO (рис. 79). У прямокутному трикутнику ВОС катет CO дорівнює половині гіпотенузи ВО. Нехай

BO = R, тоді СО =  Формули радіусів вписаних і описаних кіл правильних многокутників, АВ = 2 • ВС = 2  Формули радіусів вписаних і описаних кіл правильних многокутників =  Формули радіусів вписаних і описаних кіл правильних многокутників = R Формули радіусів вписаних і описаних кіл правильних многокутників.

Отже, довжина хорди дорівнює стороні правильного трикутника.

 Формули радіусів вписаних і описаних кіл правильних многокутників

2. Сторона правильного трикутника, вписаного в коло, дорівнює а. Знайдіть сторону правильного шестикутника:

А) вписаного в це коло;

Б) описаного навколо цього кола.

Розв’язання

Сторона правильного трикутника дорівнює а, отже, радіус описаного кола R =  Формули радіусів вписаних і описаних кіл правильних многокутників.

А) Радіус кола, описаного навколо трикутника, дорівнює радіусу кола, описаного навколо шестикутника, і тому сторона цього шестикутника b = R =  Формули радіусів вписаних і описаних кіл правильних многокутників.

Б) Радіус кола, описаного навколо трикутника, є апофемою правильного шестикутника, і тому сторона цього шестикутника b =  Формули радіусів вписаних і описаних кіл правильних многокутників =  Формули радіусів вписаних і описаних кіл правильних многокутників =  Формули радіусів вписаних і описаних кіл правильних многокутників.

Відповідь: а) b =  Формули радіусів вписаних і описаних кіл правильних многокутників; б) b =  Формули радіусів вписаних і описаних кіл правильних многокутників.

IV. Домашнє завдання

1. Вивчити формули радіусів вписаного і описаного кіл правильного n-кутника. 2. Розв’язати задачі. 1) Сторона правильного вписаного в коло трикутника дорівнює а. Знайдіть сторону квадрата, вписаного в це коло. 2) У коло радіуса 4 см вписано правильний трикутник, на стороні якого побудовано квадрат. Знайдіть радіус кола, описаного навколо квадрата.

V. Підбиття підсумків уроку

Запитання до класу

1. Запишіть, як виражаються радіуси вписаного й описаного кіл правильного n-кутника через його сторону. 2. Чому дорівнюють радіуси вписаних і описаних кіл для правильного трикутника, чотирикутника, шестикутника?


1 Star2 Stars3 Stars4 Stars5 Stars (2 votes, average: 2,50 out of 5)


Формули радіусів вписаних і описаних кіл правильних многокутників - Плани-конспекти уроків по математиці


Формули радіусів вписаних і описаних кіл правильних многокутників