Формули суми (різниці) однойменних тригономет­ричних функцій. Перетворення добутку тригономет­ричних функцій у суму

УРОК 15

Тема. Формули суми (різниці) однойменних тригономет­ричних функцій. Перетворення добутку тригономет­ричних функцій у суму

Мета уроку: вивчення формул суми і різниці однойменних три­гонометричних функцій і формул перетворення до­бутку тригонометричних функцій у суму. Формування умінь учнів застосовувати вивчені формули для спро­щення виразів та обчислень.

Обладнання. Таблиця “Формули перетворення суми в добуток (добутку в суму)”.

І. Перевірка домашнього завдання

1. Два учні на дошці розв’язують

№ 26 (1) і 26 (2). Один учень в цей час коментує розв’язання № 52 (12).

2. Розв’язування аналогічних вправ. Спростіть вирази:

А)  Формули суми (різниці) однойменних тригономет­ричних функцій. Перетворення добутку тригономет­ричних функцій у суму;

Б)  Формули суми (різниці) однойменних тригономет­ричних функцій. Перетворення добутку тригономет­ричних функцій у суму;

В)  Формули суми (різниці) однойменних тригономет­ричних функцій. Перетворення добутку тригономет­ричних функцій у суму;

Г)  Формули суми (різниці) однойменних тригономет­ричних функцій. Перетворення добутку тригономет­ричних функцій у суму.

Відповідь: а) соs2 ?; б)  Формули суми (різниці) однойменних тригономет­ричних функцій. Перетворення добутку тригономет­ричних функцій у суму; в) 1; г) tg?.

II. Повідомлення теми і завдань уроку

III. Сприймання і усвідомлення нового матеріалу

Демонструється таблиця 7.

 Формули суми (різниці) однойменних тригономет­ричних функцій. Перетворення добутку тригономет­ричних функцій у суму;  Формули суми (різниці) однойменних тригономет­ричних функцій. Перетворення добутку тригономет­ричних функцій у суму class=""/>;

 Формули суми (різниці) однойменних тригономет­ричних функцій. Перетворення добутку тригономет­ричних функцій у суму;  Формули суми (різниці) однойменних тригономет­ричних функцій. Перетворення добутку тригономет­ричних функцій у суму.

 Формули суми (різниці) однойменних тригономет­ричних функцій. Перетворення добутку тригономет­ричних функцій у суму

Пояснення вчителя

1. Виведемо формулу перетворення суми синусів в добуток.

Позначимо  Формули суми (різниці) однойменних тригономет­ричних функцій. Перетворення добутку тригономет­ричних функцій у суму,  Формули суми (різниці) однойменних тригономет­ричних функцій. Перетворення добутку тригономет­ричних функцій у суму, тоді? + ? = x, ? – ? = y, і тому

1) sin х + sin y = sin(? + ?) + sin(? – ?) = sin? – соs? + соs? – sіn? + sin? – cоs? – cos? – sіn? = 2sіn? – соs? = 2sіn  Формули суми (різниці) однойменних тригономет­ричних функцій. Перетворення добутку тригономет­ричних функцій у сумуСоs  Формули суми (різниці) однойменних тригономет­ричних функцій. Перетворення добутку тригономет­ричних функцій у суму.

Отже, сума синусів дорівнює подвоєному добутку синуса півсуми на косинус піврізниці.

Для суми косинусів маємо:

2) соs х + соs у = соs(? + ?) + соs(? – ?) = соs? соs? – sіn? sin? + соs? соs? + sіn? sіn? = 2 соs? соs? = 2 соs  Формули суми (різниці) однойменних тригономет­ричних функцій. Перетворення добутку тригономет­ричних функцій у сумуСоs  Формули суми (різниці) однойменних тригономет­ричних функцій. Перетворення добутку тригономет­ричних функцій у суму.

Отже, сума косинусів дорівнює подвоєному добутку косинуса півсуми на косинус піврізниці.

Для різниці косинусів маємо:

3) соs х – соs у = соs(? + ?) – соs(? – ?) = соs? соs? – sіn? sin? – соs? соs? – sіn? sіn? = – 2 sin? sin? = 2 sin  Формули суми (різниці) однойменних тригономет­ричних функцій. Перетворення добутку тригономет­ричних функцій у сумуSin  Формули суми (різниці) однойменних тригономет­ричних функцій. Перетворення добутку тригономет­ричних функцій у суму.

Отже, різниця косинусів дорівнює числу, протилежному подвоєному добутку синуса півсуми на синус піврізниці.

4) sin х – sin y = sin х + sin(-y) = 2 sin Формули суми (різниці) однойменних тригономет­ричних функцій. Перетворення добутку тригономет­ричних функцій у сумуСоs  Формули суми (різниці) однойменних тригономет­ричних функцій. Перетворення добутку тригономет­ричних функцій у суму.

Отже, різниця синусів дорівнює подвоєному добутку синуса пів­різниці на косинус півсуми.

2. Для одержання формул перетворення добутку у суму випи­шемо підряд чотири формули:

Sin(x + у) = sin x cos у + cos x sin у; (1)

Sin(x – у) = sin x cos у – cos x sin у; (2)

Cos(x + у) = cos x cos у – sin x sin у; (3)

Cos(x – у) = cos x cos у + sin x sin у. (4)

Віднявши почленно із рівності (4) рівність (3), одержимо:

Cos(x – у) – cos(x + у) = 2 sin x sin у або sin x sin у =  Формули суми (різниці) однойменних тригономет­ричних функцій. Перетворення добутку тригономет­ричних функцій у суму (cos(х – у) – cos(x + y))

Добуток синусів двох чисел дорівнює піврізниці косинуса різниці і косинуса суми цих чисел.

Додавши почленно рівності (4) і (3), маємо:

Соs(x – у) + соs(х + у) = 2 соs х соs у або cos x cos у =  Формули суми (різниці) однойменних тригономет­ричних функцій. Перетворення добутку тригономет­ричних функцій у суму (cos(x – у) + cos(х + у))

Добуток косинусів двох чисел дорівнює півсумі косинуса різниці і косинуса суми цих чисел.

Додавши почленно рівності (1) і (2), одержимо

Sin(x – у) + sin(х + у) = 2 sin x cos у або sin x cos у =  Формули суми (різниці) однойменних тригономет­ричних функцій. Перетворення добутку тригономет­ричних функцій у суму (sin(x – у) + sin(x + у))

Добуток синуса одного числа на косинус другого числа дорівнює півсумі синуса різниці і синуса суми цих чисел.

Виконання вправ

1. Спростіть вирази:

А)  Формули суми (різниці) однойменних тригономет­ричних функцій. Перетворення добутку тригономет­ричних функцій у суму Формули суми (різниці) однойменних тригономет­ричних функцій. Перетворення добутку тригономет­ричних функцій у суму;

Б)  Формули суми (різниці) однойменних тригономет­ричних функцій. Перетворення добутку тригономет­ричних функцій у суму Формули суми (різниці) однойменних тригономет­ричних функцій. Перетворення добутку тригономет­ричних функцій у суму;

В) sіn? –  Формули суми (різниці) однойменних тригономет­ричних функцій. Перетворення добутку тригономет­ричних функцій у суму ;

Г)  Формули суми (різниці) однойменних тригономет­ричних функцій. Перетворення добутку тригономет­ричних функцій у суму+ Формули суми (різниці) однойменних тригономет­ричних функцій. Перетворення добутку тригономет­ричних функцій у суму.

Відповідь: а)  Формули суми (різниці) однойменних тригономет­ричних функцій. Перетворення добутку тригономет­ричних функцій у сумуSin?; б) sin 2?; в)  Формули суми (різниці) однойменних тригономет­ричних функцій. Перетворення добутку тригономет­ричних функцій у суму; г)  Формули суми (різниці) однойменних тригономет­ричних функцій. Перетворення добутку тригономет­ричних функцій у сумуСоs?.

2. Обчисліть:

А) соs 22° – соs 38°;

Б) sin 5° + sin 55°.

Відповідь: а) sіn 8°; б) соs 25°.

3. Перетворіть в добуток:

А) соs 2? + соs 14? + соs 6? + соs 10?;

Б) sin 4? + sin 10? + sin 22? + sin 16?.

Відповідь: а) 4соs 2? соs 4? соs 8?; б) 4 соs 3? соs 6? sіn 13?.

4. Доведіть тотожність:

А)  Формули суми (різниці) однойменних тригономет­ричних функцій. Перетворення добутку тригономет­ричних функцій у суму; б)  Формули суми (різниці) однойменних тригономет­ричних функцій. Перетворення добутку тригономет­ричних функцій у суму.

IV. Підведення підсумків уроку

V. Домашнє завдання

Розділ І § 10 (5, 6). Запитання і завдання для повторення до розділу І № 69-70. Вправи № 52 (8; 15), № 53 (8; 15; 16)




Формули суми (різниці) однойменних тригономет­ричних функцій. Перетворення добутку тригономет­ричних функцій у суму