ГЕОМЕТРИЧНЕ МІСЦЕ ТОЧОК

РОЗДІЛ 4 КОЛО І КРУГ. ГЕОМЕТРИЧНІ ПОБУДОВИ

& 19. ГЕОМЕТРИЧНЕ МІСЦЕ ТОЧОК

Щоб розв’язувати складніші задачі на побудову, потрібно знати, що таке геометричне місце точок.

Геометричним місцем точок (ГМТ) називають фігуру, яка складається з усіх точок, що мають певну властивість.

Розглянемо кілька геометричних місць точок площини.

Коло – геометричне місце точок, рівновіддалених від даної точки.

Круг радіуса r – геометричне місце точок, відстані від яких до даної точки не перевищують r.

ЗАДАЧА 1

Знайдіть геометричне

місце точок, рівновіддалених від кінців даного відрізка.

РОЗВ’ЯЗАННЯ. Нехай дано відрізок АВ.

Його середина М рівновіддалена від А і В (мал. 236, а). Проведемо пряму МК, перпендикулярну до АВ. Кожна її точка К, відмінна від M, також рівновіддалена від точок А і В, бо ∆КАМ = ∆КВМ. Отже, КА = КВ.

Якщо ж точка Р не лежить на прямій МK, вона не може бути рівновіддаленою від А і В (мал. 236. б). Справді, з припущення, що РА = РВ, випливає перпендикулярність прямих PМ і АВ, бо медіана PМ рівнобедреного трикутника

РАВ є його висотою. Тоді сума двох прямих кутів PAВ і КМА не дорівнювала б 180°. Цього не може бути. Отже, поза прямою МК не існує точки, рівновіддаленої від точок А і В.

Таким чином, кожна точка прямої МК рівновіддалена від точок А і В, а точка, яка не лежить на прямій МК, не може бути рівновіддаленою від точок А і В.

Пряму, що проходить через середину відрізка перпендикулярно до нього, називають серединним перпендикуляром до даного відрізка. З попередніх міркувань випливає, таке твердження.

Геометричним місцем точок, рівновіддалених від кінців відрізка, є його серединний перпендикуляр.

 ГЕОМЕТРИЧНЕ МІСЦЕ ТОЧОК

Мал. 236

ЗАДАЧА 2

Знайдіть геометричне місце точок, які лежать усередині кута і рівновіддалені від його сторін.

1. Нехай М точка кута, рівновіддалена від його сторін ОА і ОВ (мал. 237). Перпендикуляри МА і МВ, опущені з точки М на сторони кута, рівні. Тому ∆MОА = ∆МОВ за катетом і гіпотенузою.

Отже, ∠АОМ = ∠ВОМ, тобто точка М належить бісектрисі даного кута АОВ.

2. Якщо М – довільна точка бісектриси кута АОВ, а МА і MB – перпендикуляри на ОА і ОВ (див. мал. 237), то ∆ОAM = ∆ОВМ (за гіпотенузою і гострим кутом). Тому МА = МВ, тобто точка М рівновіддалена від сторін даного кута.

Геометричним місцем точок кута, рівновіддалених від ного сторін, є бісектриса цього кути.

 ГЕОМЕТРИЧНЕ МІСЦЕ ТОЧОК

Мал. 237

Зверніть увагу! Тут мають на увазі кути, менші від розгорнутого.

Для допитливих

Чи правильно говорити, що геометричним місцем точок, рівновіддалених від сторін кута, є бісектриса цього кута? Ні. Коли в планіметрії говорять про геометричне місце точок, не уточнюючи про які саме точки йдеться, то мають на увазі точки площини, якій належить дана фігура. За такої умови геометричним місцем точок, рівновіддалених від сторін кута, є об’єднання бісектриси І даного кута і всіх точок деякого іншого кута, показаного на малюнку 238. Адже кожна точка кута КОР також рівновіддалена від сторін даного кута АОВ. Йдеться про куги, менші від розгорнутого.

 ГЕОМЕТРИЧНЕ МІСЦЕ ТОЧОК

Мал. 238

 ГЕОМЕТРИЧНЕ МІСЦЕ ТОЧОК

Мал. 239

Говорячи, що геометричним місцем точок, рівновіддалених від кінців відрізка, є серединний перпендикуляр до цього відрізка, мають на увазі, що йдеться про геометричне місце точок площини, у якій лежить відрізок. А геометричним місцем точок простору, рівновіддалених від кінців відрізка, є деяка площина (мал. 239). Подумайте, як розташована ця площина відносно даного відрізка.

Геометричні місця точок простору розглядають у старших класах.

Запитання і завдання для самоконтролю

1. Що таке геометричне місце точок? Наведіть приклади.

2. Що таке серединний перпендикуляр до даного відрізка?

3. Що є геометричним місцем точок, рівновіддалених від кінців відрізка?

4. Що є геометричним місцем точок кута, рівновіддалених від його сторін?

Виконаємо разом

Доведіть, що серединні перпендикуляри двох сторін трикутника перетинаються.

– Нехай n і m – серединні перпендикуляри до сторін ВС і АВ трикутника АВС (мал. 240).

Доведемо, що вони не можуть бути паралельними один одному. Доводитимемо від супротивного. Припустимо, що n ‖ m. Тоді пряма, перпендикулярна до n, має бути перпендикулярною і до m. Отже, ВС ⏊n і ВС ⏊ m. Алеза умовою і АВ ⏊ m. А дві прямі, перпендикулярні до третьої прямої, – паралельні. Отже, із припущення, що n | m, випливає паралельність сторін АВ і ВС трикутника. Цього не може бути. Тому прямі n і m не можуть бути паралельними. Отже, вони перетинаються.

 ГЕОМЕТРИЧНЕ МІСЦЕ ТОЧОК

Мал. 240

ЗАДАЧІ І ВПРАВИ

Виконайте усно

565. Чи правильно, що кожна точка бісектриси кута рівновіддалена від сторін цього кута?

556. Чи правильно, що бісектриса кута є геометричним місцем точок, рівновіддалених від сторін цього кута?

557. Чим є геометричне місце точок, які лежать на відстані 2 м від деякої точки?

558. Чим є геометричне місце точок, рівновіддалених від двох паралельних прямих?

559. АВСК – квадрат (мал. 241). Чим є геометричне місце точок, рівновіддалених від точок А і С? А від точок В і К?

560. АВ і СК – перпендикулярні діаметри одного кола (мал. 242). Чим є серединний перпендикуляр до діаметра АВ?

 ГЕОМЕТРИЧНЕ МІСЦЕ ТОЧОК

Мал. 241

 ГЕОМЕТРИЧНЕ МІСЦЕ ТОЧОК

Мал. 242

561. Серединний перпендикуляр до відрізка АВ проходить через точку С. Чи правильно, що трикутник ABC рівнобедреник?

562. Два рівні кола з центрами О і О1 дотикаються зовнішнім способом (мал. 243). Чи правильно, що їх спільна дотична, проведена через точку дотику, є серединним перпендикуляром до відрізка ОО1?

 ГЕОМЕТРИЧНЕ МІСЦЕ ТОЧОК

Мал. 243

А

56З. Дано точки А і В. Побудуйте геометричне місце точок, рівновіддалених від А і В.

564. Дано прямий кут. Побудуйте геометричне місце точок, які лежать усередині цього кута і рівновіддалені від його сторін.

565. Побудуйте геометричне місце точок, які віддалені від даної точки на дану відстань а.

566. Чим є геометричне місце точок, які лежать на даній відстані від даної прямої? Виконайте відповідний малюнок.

567. Дано дві паралельні прямі. Побудуйте геометричне місце точок, рівновіддалених від цих прямих.

568. Знайдіть геометричне місце центрів кіл, що проходять через дві дані точки.

569. Знайдіть геометричне місце центрів рівних кіл, які дотикаються до даної прямої.

570. Знайдіть геометричне місце центрів рівних кіл, які проходять через дану точку.

571. Дано гострий кут. Побудуйте геометричне місце центрів кіл, які дотикаються до сторін цього кута.

Б

572. Знайдіть геометричне місце центрів кіл радіуса 2 r, які дотикаються до кола радіуса: а) г; б) 3r.

573. Дано коло радіуса 6 см. Чим є ГМТ, які ділять усі його діаметри у відношенні 1 : 2?

574. Чим є геометричне місце вершин прямих кутів, обидві сторони яких дотикаються до даного кола?

575. Дано дві паралельні прямі а і b. Побудуйте ГМТ, які лежать між даними прямими і відстані від яких до а і b відносяться як 1 : 2.

576. Дано дві паралельні прямі. Чим є ГМТ, відстані від яких до даних прямих відносяться як 2 : 3?

577 Дано відрізок АВ завдовжки 10 см. Чим є ГМТ, які віддалені від одного з кінців на 6 см, а від іншого – на 8 см?

578. Дано прямокутник зі сторонами 3 см і 5 см. Чим є ГМТ, які віддалені від якої-небудь із його найближчих сторін на 1 см і лежать:

А) в його внутрішній області; б) поза прямокутником?

579. Доведіть, що точка перетину двох бісектрис трикутника рівновіддалена від усіх сторін трикутника.

Практичне завдання

580. Виріжте із цупкого паперу квадрат. Перегніть його так, щоб утворилося геометричне місце точок квадрата, рівновіддалених від: а) двох сусідніх вершин; б)протилежних вершин; в) усіх вершин квадрата. Виготовте модель, на якій визначено геометричне місце точок простору, рівновіддалених від усіх вершин квадрата.

ВПРАВИ ДЛЯ ПОВТОРЕННЯ

581. Знайдіть міру кута, який у 3 рази більший за суміжний із ним кут.

582. У якому трикутнику бісектриси кутів перетинаються під кутом 45°?

583. Висота рівнобедреного прямокутного трикутника, опущена на гіпотенузу, дорівнює 7 см. Знайдіть гіпотенузу цього трикутника.

584. Знайдіть міри двох рівних тупих кутів, у яких одна сторона – спільна, а дві інші – перпендикулярні.




ГЕОМЕТРИЧНЕ МІСЦЕ ТОЧОК