Гомотетія і перетворення подібності

480.

 Гомотетія і перетворення подібності

ΔABC і ΔA1B1С1 гомотетичні з центром Р, R = 2.

481.

 Гомотетія і перетворення подібності

Тетраедр DA1B1С1 гомотетичний тетраедру DABC відносно т. D, R = 0,5.

482.

 Гомотетія і перетворення подібності

Р і A симетричні відносно В. Тетраедр A1B1C1D1 гомотетичний тетраедру ABCD відносно т. Р із коефіцієнтом R = -1.

483.

 Гомотетія і перетворення подібності

В результаті гомотетії відносно т. А т. О – центроїд грані ABC відобразиться в т. М – середину ВС.

 Гомотетія і перетворення подібності Звідси  Гомотетія і перетворення подібності або R = 1,5.

В результаті гомотетії відносно т. А з коефіцієнтом R = 1,5 тетраедр ABCD відобразиться в тетраедр AB1C1D.

484.

 Гомотетія і перетворення подібності

Куб A′B′C′D′A′1B′1C′1D′1 гомотетичний кубу ABCDA1B1C1D1, відносно т. А з коефіцієнтом R = -2.

485.

Так, може. Наприклад, дві сфери різного радіуса зі спільним центром гомотетичні відносно центра сфер.

486.

Одна з них може лежати у внутрішній області другої, можуть перетинатися, можуть не мати спільних точок.

487.

 Гомотетія і перетворення подібності

А) якщо центри сфер збігаються, то сфери гомотетичні; R = 2, центр гомотетії – центр сфер;

Б)якщо

сфери мають внутрішній дотик, то центр гомотетії – точка дотику;

R = 2;

В) якщо сфери мають зовнішній дотик, то сфери гомотетичні. Центр гомотетії – точка дотику; R = -2 (більша сфера гомотетична меншій).

488.

X2 + (y – 1)2 + (z + 3)2 -4 – сфера, (0; +1; -3) – центр; R = 2.

А) при гомотетії з центром в початку координат і R = З центр сфери буде в точці (0; 3; -9); R = 6.

Сфера задається рівнянням: х2 +(у – 3)2 +(z + 9)2 =36;

Б) при гомотетії з центром (0; 0; 0) і коефіцієнтом R = -2 центр сфери буде в точці (0; -2; 6); R = 4.

Сфера задається рівнянням: х2 + (у + 2)2 + (z – 6)2 =16.

489.

Виберемо на даній площині довільну точку А(0; 0; 2)

А) при гомотетії з центром в початку координат, R = 2, ця т. А відобразиться в т. A1(0; 0; 4); площина – в паралельну їй площину. Складемо рівняння площини, паралельній площині 2х + у – Зz + 6 = 0 і яка проходить через т. A1 (0; 0; 4):

2(х – 0) + (у – 0) – 3(z – 4) = 0; 2х + у – 3z + 12 = 0;

Б) при гомотетії з центром (0; 0; 0) і коефіцієнтом R = – З т. А відобразиться в т. 4, (0; 0; -6), площина – в паралельну їй площину. Складемо рівняння площини, яка паралельна площині 2x + y – 3z + 6 = 0 i проходить через т. A1 (0; 0;-6):

2(x – 0) + 1(у – 0) – 3(z + 6) = 0

2х + у – 3z – 13 = 0.

490.

Нехай О – центр гомотетії, а – пряма, яка проходить через О.

 Гомотетія і перетворення подібності

X – довільна точка а. Щоб побудувати точку, гомотетичну точці X, треба провести пряму через X і центр гомотетії і образ т. X буде належати цій прямій. Але через О і X проходить пряма а, а через дві точки можна провести лише одну пряму. Тому X1 – образ т. X належить прямій а. Таким чином, кожна точка прямої а відобразиться в точку цієї ж прямої. Тому пряма а відобразиться сама в себе.

491.

 Гомотетія і перетворення подібності

О — центр гомотетії, α – площина, О? α.

Проведемо в площині а через т. О дві прямі а і b, які перетинаються.

При гомотетії відносно т. О пряма а перейде в себе, пряма b перейде в себе (№ 490). Тоді образ площини а буде проходити через образи прямих а і b.

Оскільки а і b відобразились на себе, то і площина а при такій гомотетії відобразиться сама в себе.

492.

А)

 Гомотетія і перетворення подібності

Якщо два куби симетричні відносно площини їх спільної грані, то вони гомотетичні відносно т. О – точки перетину діагоналей спільної грані; R = -1;

Б)

 Гомотетія і перетворення подібності

Якщо два куби симетричні відносно прямої, яка містить їх спільне ребро, то вони гомотетичні відносно т. О – середини спільного ребра. Коефіцієнт гомотетії

R = – 1.

493.

Не можуть, бо в результаті гомотетії фігури лежать в одній або в паралельних площинах.

494.

 Гомотетія і перетворення подібності

Нехай в результаті композиції двох гомотетій: відрізок АВ відобразився на А1В1 (R = R1), а відрізок А1В1 відобразився в А2В2 (R = R2). Центр гомотетії спільний.

A1В1 = R1 × АВ,  Гомотетія і перетворення подібності

Тоді  Гомотетія і перетворення подібності або А2В2 = R1 × R2 × АВ.

Отже, А2В2 можна було одержати в результаті гомотетії відносно т. О, відобразивши відрізок АВ із коефіцієнтом R1 × R2.

495.

 Гомотетія і перетворення подібності

Гомотетій, які відображають один із двох нерівних паралельних відрізків на другий, існує 4.

Гомотетія відносно т. О переведе АВ в A1B1 (R > 1), а відрізок Α1Β1 в АВ.(R < 1).

Гомотетія відносно т. О, переведе відрізок АВ в A1B1 (R < -1), а відрізок А1В1 у відрізок АВ (-1 < R < 0).

496.

 Гомотетія і перетворення подібності

Коло радіуса r перейде в коло радіуса R у результаті гомотетії відносно т. О

(R > 1) або відносно т. О1, (R < -1). Коло радіуса R перейде в коло радіуса r у результаті гомотетії з центром О (0 < R < 1) або з центром О1 (-1 < R < 0).

497.

А) т. А(1; 0; 2) гомотетією з коефіцієнтом R =10 відносно

Т. O(0; 0; 0) відобразиться в т. А(10; 0; 20);

Б) т. А(1; 0; 2) гомотетією з коефіцієнтом R = 10 відносно

Т. В(2; 0; 0) відобразиться в т. А1. Точки В; А і А, лежать у площині хz.

ВА1 = 10 × ВА, тоді Α1Ν = 10 × ΑΡ = 20. BN = 10 × ВР = 10 × 1 = 10.

Оскільки ВО = 2, то ¦ON¦ = 8 і т. N(-8: 0; 0). Звідси А(-8; 0; 20).

498.

ΔABC і ΔА1В1С1 гомотетичні відносно початку координат; R = 4.

499.

A1(5; 5; 5); В1(5; 10, 15); C1(-5; 10; -15); D(20; 0; 25).

500.

А) тетраедр ОА1В1С1, гомотетичний тетраедру ОАВС

Відносно O(0; 0; 0) із коефіцієнтом R = -1, має такі, координати вершин:

O(0; 0; 0); A1(-4; 0; 0); B1(0; -4; 0); С1(0; 0; -4);

Б)

 Гомотетія і перетворення подібності

Тетраедр О1АВ1С1 гомотетичний даному відносно т. А і R = 2,

Має координати: А(4; 0; 0); О1(-4; 0; 0); B1 (-4; 8; 0) ; С1(-4; 0; 8).

501.

За умовою SO : OO1 = 2 : 3, тоді SO : SO1 =2 : 5.

 Гомотетія і перетворення подібності

Нехай SA1B1C1D1= x, тоді SABCD = х + 84.

 Гомотетія і перетворення подібності

 Гомотетія і перетворення подібності

25x = 4х = 336

21х = 336

X = 336 : 21

Х = 16 см2 – площа перерізу.

502.

Якщо бічне ребро поділити на 10 рівних частин і провести площини, паралельні основі, то на 10 рівних частин розіб’ється і висота тетраедра і інші бічні ребра. Площі перерізів відносяться до площі основи як квадрати відношень висот, тобто: S1; S2; S3 … S9– площі перерізів, відповідні висоти тетраедрів з основами S1; S2; S3 … S9- h1; h2; h3 … h9 відповідно дорівнюють: h1 = 0,2h; h2=0,2h; hз = 0,3h… h9 = 0,9h.

Тоді Гомотетія і перетворення подібності або Гомотетія і перетворення подібності звідси S1 =0,01S; S2 =(0,2)2

S = 0,04S; S3=0,09S; S4 = 0,16S, …, S9 = 0,81S.

503.

 Гомотетія і перетворення подібності

Нехай А і В – довільні точки фігури. F, А1, R, – образи точок А і В у результаті перетворення подібності, з коефіцієнтом R1, тоді А1В1 = R1 × АВ; точки А2 і В2 – образи точок A1 і B1 у результаті перетворення подібності з коефіцієнтом R2, тоді А2В2 = R2× А1В1. Звідси  Гомотетія і перетворення подібності Тоді  Гомотетія і перетворення подібності звідси A2В2 = R1 × R2 × АВ.

Отже, при певному перетворенні подібності точки A2 і R2, можуть бути образом точок А і В. R – коефіцієнт подібності. R = R1 × R2.

504.

 Гомотетія і перетворення подібності

У призми, в якої сторона основи вдвічі коротша від її бічного ребра, поверхню утворюють: 2 квадрати зі стороною а і 4 прямокутники зі сторонами а і 2а.

У призми, в якої сторона основи вдвічі довша від її бічного ребра, поверхню утворюють: 2 квадрати зі стороною 26 і 4 прямокутники зі сторонами 6 і 26.

Якщо призми подібні, то при перетворенні подібності квадрат перейде у квадрат  Гомотетія і перетворення подібності, тоді сторони прямокутника, подібного прямокутнику зі сторонами а і 2а, будуть рівні:

 Гомотетія і перетворення подібності і  Гомотетія і перетворення подібності а сторони нашого прямокутника 2b і b. Отже, призми не подібні.

505.

 Гомотетія і перетворення подібності

А1 – точка перетину медіан грані ADB; С1 – точка перетину медіан грані ADC.

 Гомотетія і перетворення подібності  Гомотетія і перетворення подібності  Гомотетія і перетворення подібності

Аналогічно можна довести, що  Гомотетія і перетворення подібності і т. д.

Тоді тетраедри подібні з коефіцієнтом подібності  Гомотетія і перетворення подібності

507.

 Гомотетія і перетворення подібності

Площина КК1Р1 відітнула від призми ABCA1B1C1, призму АКРА1К1Р1; основа ABC призми АВСA1B1С1 і основа АКР призми ΑΚΡΑ1Κ1Ρ1 – подібні трикутники.  Гомотетія і перетворення подібності Але висоти цих призм рівні. Тому дані призми не можуть бути подібними.


1 Star2 Stars3 Stars4 Stars5 Stars (1 votes, average: 5,00 out of 5)


Гомотетія і перетворення подібності - ГДЗ з математики


Гомотетія і перетворення подібності