Ірраціональні рівняння

Математика – Алгебра

Степенева функція

Ірраціональні рівняння

Рівняння, в яких невідоме міститься під знаком кореня, називають Ірраціональними. Розв’язуючи ірраціональні рівняння, намагаються привести їх до вигляду:
 Ірраціональні рівняння, або  Ірраціональні рівняння, а потім піднести обидві частини рівняння до n-го степеня. Але якщо піднести обидві частини рівняння до парного степеня, можуть з’явитися сторонні корені. Нариклад:
 Ірраціональні рівняння, ОДЗ:  Ірраціональні рівняння;
 Ірраціональні рівняння class=""/>,
 Ірраціональні рівняння,
 Ірраціональні рівняння,  Ірраціональні рівняння.
 Ірраціональні рівняння;  Ірраціональні рівняння – правильно.
Але якщо  Ірраціональні рівняння, маємо  Ірраціональні рівняння;
 Ірраціональні рівняння, тобто  Ірраціональні рівняння – сторонній корінь.
Доцільно розв’язувати ірраціональні рівняння одним із двох наведених способів.
І спосіб
Виконувати перетворення, не зважаючи

на їх рівносильність. Усі одержані корені перевірити. Зверніть увагу: для перевірки корінь треба підставляти тільки в умову, коли рівняння ще не зазнало ніяких перетворень.
При цьому способі розв’язання доцільно записати, при яких значеннях невідомого обидві частини рівняння мають зміст. Іноді в процесі розв’язування отримують сторонні корені, які не задовольняють ОДЗ. Але перевірка коренів за умовами ОДЗ не є достатньою. У наведеному вище прикладі сторонній корінь 1 задовольняє ОДЗ  Ірраціональні рівняння.
II спосіб
Можна розв’язувати ірраціональні рівняння, використовуючи тільки рівносильні переходи. Зручно користуватися такими твердженнями:
1)  Ірраціональні рівняння Ірраціональні рівняння
2)  Ірраціональні рівняння Ірраціональні рівняння
Приклади
1)  Ірраціональні рівняння
 Ірраціональні рівняння Ірраціональні рівняння Ірраціональні рівняння
 Ірраціональні рівняння Ірраціональні рівняння Ірраціональні рівняння Ірраціональні рівняння Ірраціональні рівняння
 Ірраціональні рівняння Ірраціональні рівняння Ірраціональні рівняння Ірраціональні рівняння.
2)  Ірраціональні рівняння Ірраціональні рівняння
 Ірраціональні рівняння Ірраціональні рівняння Ірраціональні рівняння
 Ірраціональні рівняння Ірраціональні рівняння Ірраціональні рівняння Ірраціональні рівняння Ірраціональні рівняння
 Ірраціональні рівняння Ірраціональні рівняння
Розглянемо ще декілька прикладів розв’язування ірраціональних рівнянь.
1. Відокремлювання кореня
 Ірраціональні рівняння Ірраціональні рівняння Ірраціональні рівняння Ірраціональні рівняння
 Ірраціональні рівняння Ірраціональні рівняння Ірраціональні рівняння Ірраціональні рівняння
 Ірраціональні рівняння Ірраціональні рівняння Ірраціональні рівняння Ірраціональні рівняння
 Ірраціональні рівняння Ірраціональні рівняння Ірраціональні рівняння
 Ірраціональні рівняння Ірраціональні рівняння Ірраціональні рівняння Ірраціональні рівняння Ірраціональні рівняння
 Ірраціональні рівняння
2. Ірраціональні рівняння, що зводяться до квадратних
Якщо рівняння містить вирази  Ірраціональні рівняння і  Ірраціональні рівняння, то можна використати, що  Ірраціональні рівняння для тих значень х, при яких  Ірраціональні рівняння.
Отже, введемо нову змінну  Ірраціональні рівняння Ірраціональні рівняння. Дістанемо  Ірраціональні рівняння.
Приклад
 Ірраціональні рівняння, ОДЗ:  Ірраціональні рівняння.
Нехай  Ірраціональні рівняння,  Ірраціональні рівняння.
 Ірраціональні рівняння,
 Ірраціональні рівняння,  Ірраціональні рівняння не задовольняє умову  Ірраціональні рівняння.
 Ірраціональні рівняння,
 Ірраціональні рівняння;  Ірраціональні рівняння.
Відповідь: 253.
3. Заміна змінної.
Приклад
 Ірраціональні рівняння,
ОДЗ:  Ірраціональні рівняння.
Нехай  Ірраціональні рівняння,  Ірраціональні рівняння.
Тоді  Ірраціональні рівняння.
Отже,  Ірраціональні рівняння,
 Ірраціональні рівняння,
 Ірраціональні рівняння,
 Ірраціональні рівняння,  Ірраціональні рівняння не задовольняє умову  Ірраціональні рівняння.
 Ірраціональні рівняння,
 Ірраціональні рівняння,
 Ірраціональні рівняння.
 Ірраціональні рівняння
Відповідь: 0; –5.
4. Рівняння виду  Ірраціональні рівняння
Скористаємось тотожністю
 Ірраціональні рівняння.
Приклад
 Ірраціональні рівняння.
Піднесемо обидві частини рівняння до третього степеня:
 Ірраціональні рівняння
 Ірраціональні рівняння.
Треба знайти такі значення х, для яких  Ірраціональні рівняння. Отже, маємо:
 Ірраціональні рівняння,
 Ірраціональні рівняння,
 Ірраціональні рівняння,
 Ірраціональні рівняння,
 Ірраціональні рівняння,
 Ірраціональні рівняння
Цей спосіб розв’язання потребує перевірки.
Перевірка
 Ірраціональні рівняння.
 Ірраціональні рівняння;
 Ірраціональні рівняння – правильно.
 Ірраціональні рівняння.
 Ірраціональні рівняння;
 Ірраціональні рівняння – правильно.
Відповідь: 80; –109.




Ірраціональні рівняння