Математика – Алгебра
Степенева функція
Ірраціональні рівняння
Рівняння, в яких невідоме міститься під знаком кореня, називають Ірраціональними. Розв’язуючи ірраціональні рівняння, намагаються привести їх до вигляду:
, або
, а потім піднести обидві частини рівняння до n-го степеня. Але якщо піднести обидві частини рівняння до парного степеня, можуть з’явитися сторонні корені. Нариклад:
, ОДЗ:
;





Але якщо




Доцільно розв’язувати ірраціональні рівняння одним із двох наведених способів.
І спосіб
Виконувати перетворення, не зважаючи на їх рівносильність. Усі одержані корені перевірити. Зверніть увагу: для перевірки корінь треба підставляти
При цьому способі розв’язання доцільно записати, при яких значеннях невідомого обидві частини рівняння мають зміст. Іноді в процесі розв’язування отримують сторонні корені, які не задовольняють ОДЗ. Але перевірка коренів за умовами ОДЗ не є достатньою. У наведеному вище прикладі сторонній корінь 1 задовольняє ОДЗ

II спосіб
Можна розв’язувати ірраціональні рівняння, використовуючи тільки рівносильні переходи. Зручно користуватися такими твердженнями:
1)


2)


Приклади
1)













2)












Розглянемо ще декілька прикладів розв’язування ірраціональних рівнянь.
1. Відокремлювання кореня





















2. Ірраціональні рівняння, що зводяться до квадратних
Якщо рівняння містить вирази




Отже, введемо нову змінну



Приклад


Нехай









Відповідь: 253.
3. Заміна змінної.
Приклад

ОДЗ:

Нехай


Тоді

Отже,










Відповідь: 0; –5.
4. Рівняння виду

Скористаємось тотожністю

Приклад

Піднесемо обидві частини рівняння до третього степеня:


Треба знайти такі значення х, для яких







Цей спосіб розв’язання потребує перевірки.
Перевірка






Відповідь: 80; –109.