ЙМОВІРНІСТЬ ВИПАДКОВОЇ ПОДІЇ

Розділ 3 ВІДНОШEННЯ І ПРОПОРЦІЇ

§ 20. ЙМОВІРНІСТЬ ВИПАДКОВОЇ ПОДІЇ

У повсякденному житті часто плануються різні події, про які можна сказати, відбудуться вони чи ні. Прикладом таких подій : святкування дня народження, похід до ніколи, отримання гарної оцінки, поїздка з батьками за місто тощо.

Явище, про яке можна сказати, що воно відбудеться чи не відбудеться за певних умов, називається випадковою подією, або (коротко) подією.

Події позначають буквами: A, 5, С. Читають: подія А, подія В, подія С.

Математики вважають, що будь-яка випадкова

подія відбувається (чи не відбувається) внаслідок проведення деякого експерименту. Такий експеримент називають випадковим, або стохастичним. Він є випробуванням. Умови проведення випробування є незмінними. Можливі результати випробування є відомими, але заздалегідь не можна знати, який саме з них матиме місце. Наприклад, якщо ми будемо підкидати монету один раз, то можливими є два результати: випаде або “герб”, або “цифра” (мал. 76), проте не можна точно сказати, що саме випаде. Тому підкидання
монети є випробуванням, а поява “герба” чи “цифри” – це події А і В.

Скільки подій можуть відбутися внаслідок підкидання грального кубика (мал. 77)?

Гральний кубик містить шість граней, отже, подій може бути шість: поява 1 очка, поява 2 очок, поява 3 очок, поява 4 очок, поява 5 очок, поява б очок.

 ЙМОВІРНІСТЬ ВИПАДКОВОЇ ПОДІЇ

Мал. 76

 ЙМОВІРНІСТЬ ВИПАДКОВОЇ ПОДІЇ

Мал. 77

Зверніть увагу:

Усі можливі результати випробування утворюють сукупність подій, проте випробування завершується настанням лише однієї із цих подій.

Наприклад, у результаті одного підкидання грального кубика із шести можливих подій відбудеться лише одна подія: або поява 1 очка, або поява 2 очок, або поява 2 очок, або поява 4 очок, або поява 5 очок, або поява 6 очок. Інакше кажуть: “Появі 1 очка сприяє лише одна подія” і т. д.

Подію, яка в результаті випробування неодмінно має статися, називають достовірною. Наприклад, подія А – “поява від 1 до б очок” у результаті підкидання грального кубика є достовірною подією.

Подію, яка внаслідок даного випробування не може відбутися, називають неможливою. Наприклад, подія В – “поява на одній із граней грального кубика 7 очок” неможливою.

Події називають несумісними, якщо поява однієї з них виключає появу другої. Такі події не можуть настати одночасно. Наприклад, подія С – “поява 3 очок” і подія D – “поява 5 очок” є несумісними подіями в результаті одного підкидання грального кубика.

Події називають рівноможливими, якщо в результаті випробування поява кожної з них є однаково можливою порівняно з іншими. Наприклад, під час підкидання грального кубика події “поява 1 очка”, “поява 2 очок”, “поява 3 очок”, “поява 4 очок”, “поява 5 очок”, “поява б очок” є рівноможливими.

Ймовірність події – це кількісна характеристика можливості настання цієї події в ході випробування.

Позначають: Р(А), Р(В), Р(С), Читають: “ймовірність події А”, “ймовірність події В”, “ймовірність події С”.

Для випробування, у якому всі можливі події є несумісними й рівноможливими, ймовірність події можна обчислювати за формулою.

Запам’ятайте!

Ймовірністю події А називається відношення кількості m сприятливих для А подій до кількості ті усіх рівноможливих у даному випробуванні подій:

 ЙМОВІРНІСТЬ ВИПАДКОВОЇ ПОДІЇ

? Чи правильно, що кількість тих випробувань т, які сприяють появі даної події, завжди менша від загальної кількості випробувань n? Ні. Числа m i n можуть також дорівнювати одне одному. Наприклад, ймовірність достовірної події “поява від 1 до 6 очок” у результаті одного підкидання грального кубика дорівнює 1, оскільки.

 ЙМОВІРНІСТЬ ВИПАДКОВОЇ ПОДІЇ

Зверніть увагу:

Ймовірність події може набувати значень лише від 0 до 1. Ймовірність достовірної події дорівнює 1, а ймовірність неможливої події – 0.

3адача 1. Із скриньки, де знаходяться 3 чорні та 5 білих кульок, вийняли навмання одну кульку. Яка. ймовірність того, що кулька: 1) чорна; 2) біла?

Розв’язання.

1. Подія А полягає в тому, що вийнято чорну кульку. Загальна кількість кульок, які можна вийняти зі скриньки, дорівнює 8, тому m = 8. Чорних кульок – 3, тому ш – 3. Ймовірність події. А дорівнює відношенню кількості m можливостей вийняти чорну кульку до загальної кількості nможливостей вийняти хоч якусь кульку, тому:  ЙМОВІРНІСТЬ ВИПАДКОВОЇ ПОДІЇ Отже, ймовірність вийняти чорну кульку становить  ЙМОВІРНІСТЬ ВИПАДКОВОЇ ПОДІЇ

2.

 ЙМОВІРНІСТЬ ВИПАДКОВОЇ ПОДІЇ

У розглянутій з здачі можливими були дві події: подія А – “вийняли чорну кульку” і подія В – “вийняли білу кульку”. Ймовірність події А дорівнює  ЙМОВІРНІСТЬ ВИПАДКОВОЇ ПОДІЇ а події В –  ЙМОВІРНІСТЬ ВИПАДКОВОЇ ПОДІЇ. Сума ймовірностей цих подій дорівнює  ЙМОВІРНІСТЬ ВИПАДКОВОЇ ПОДІЇ

Запам’ятайте!

Сума ймовірностей усіх можливих подій випробування дорівнює 1.

? Чи можна визначити ймовірність однієї з двох можливих подій випробування, знаючи ймовірність іншої події? Так. Ймовірність виймання білої кульки в розглянутій задачі можна було знайти і по-іншому:  ЙМОВІРНІСТЬ ВИПАДКОВОЇ ПОДІЇ

Задача 2. Кидають два гральні кубики. Яка ймовірність того, що в сумі випаде 6 очок?

Розв’язання. Подія С – “унаслідок підкидання двох кубиків у сумі випало б очок”. Появі події С сприяють такі комбінації чисел на двох гральних кубиках: 1 і 5, 2 і 4, 3 і 3,4 і 2, 5 і 1. Отже, m = 5. Загальна кількість варіантів, коли на першому кубику випало число від 1 до 6 і для кожного з них на другому кубику випало одне з шести чисел, дорівнює 36. Отже, n= 36. Ймовірність події С дорівнює відношенню чисел m i n:

 ЙМОВІРНІСТЬ ВИПАДКОВОЇ ПОДІЇ

Дізнайтеся більше

1. Стохастичність (від грецького – мета, припущення) означає випадковість.

2. Теорія ймовірностей – це розділ математики, який вивчає закономірності випадкових явищ. Як самостійна наука, теорія ймовірностей виникла в середині XVII століття. Тоді були поширені азартні ігри, тобто ігри, у яких результат залежав від випадку (ігри з кубиками, гра в “орлянку”, деякі картярські ігри). Вони і спонукали до аналізу випадкових подій.

 ЙМОВІРНІСТЬ ВИПАДКОВОЇ ПОДІЇ

Якоб Бернуллі

Вважають, що історія теорії ймовірностей розпочинається з роботи Якоба Бернуллі (1654-1705) “Ars Conjectandi” (“Мистецтво припущень”), яка була опублікована в 1713 році.

3. Позначення Р(А) походить від першої літери французького слова probabilite – ймовірність.

ПРИГАДАЙТЕ ГОЛОВНЕ

1. Що таке випадкова подія, або (коротко) подія?

2. Яку подію називають достовірною? неможливою?

3. Які події називають несумісними? рівноможливими?

4. Що таке ймовірність події? Як знайти ймовірність події?

5. Яких значень може набувати ймовірність події?

РОЗВ’ЯЖІТЬ ЗАДАЧІ

883′. Які події можна отримати внаслідок проведення випробування: 1) монету підкидають один раз; 2) гральний кубик кидають один раз; 3) стріляють по мішені один раз; 4) із скриньки, у якій лежать біла і чорна кульки, виймають кульку?

884′. У скриньці лежать 4 кульки: біла, чорна, зелена і синя. Виймають одну кульку. Для цього випробування назвіть: 1) усі рівноможливі події; 2) приклад неможливої події; 3) приклад несумісних подій.

885′. Чи могла Наталка правильно розв’язати задачу, якщо у відповіді ймовірність шуканої події дорівнює 1? Чи можна сказати, ймовірність якої події шукала Наталка?

886°. У кошику лежать однакові на вигляд червоні яблука. Із нього вийнято одне яблуко. Якою є подія: 1) “Вийнято червоне яблуко”; 2) “Вийнято зелене яблуко”?

887°. У скриньці знаходяться сині кульки, із неї вийнято одну кульку. Якою є подія: 1) “Вийнято синю кульку”; 2) “Вийнято червону кульку”?

888°. Монету підкидають один раз. Яка ймовірність того, що випаде “цифра”?

889°. Монету підкидають один раз. Яка ймовірність того, що випаде “герб”?

890°. Тарас загадав двоцифрове просте число. Яка ймовірність того, що це число: 1) 13; 2) більше за 20?

891°. Катруся загадала одноцифрове число. Яка ймовірність того, що це число:1)8; 2)парне?

892°. Гральний кубик кидають один раз. Підрахуйте ймовірність події: 1) “Випаде 2 очки”; 2) “Випаде 5 очок”; 3) “Випаде парна кількість очок”; 4) “Випаде кількість очок, кратна числу З”.

893°. Гральний кубик кидають один раз. Підрахуйте ймовірність події: 1) “Випаде 3 очки”; 2) “Випаде непарна кількість очок”.

894°. У класі навчаються 14 хлопців і 16 дівчат. Під час епідемії грипу один учень захворів. Яка ймовірність того, що це: 1) хлопець; 2) дівчина?

895°. У змаганнях брали участь 17 хлопців і 15 дівчат, які мають рівні шанси на перемогу. Яка ймовірність того, що перше місце виборе: 1) хлопець; 2) дівчина?

896°. Із скриньки, де знаходяться б червоних та 4 білі кульки, вийнято навмання одну кульку. Яка ймовірність того, що вийнята кулька: 1) червона; 2) біла?

897°. Із скриньки, де знаходяться 4 сині та 5 зелених кульок, вийнято навмання одну кульку. Яка ймовірність того, що вийнята кулька: 1) синя; 2) зелена?

898. У родині двоє дітей. Яка ймовірність того, що обидві дитини – хлопчики, якщо припускати, що випадки народження хлопчика і дівчинки є рівноможливими подіями?

899. У родині двоє дітей. Яка ймовірність того, що в родині є хлопчик і дівчинка, якщо випадки народження хлопчика і дівчинки є рівноможливими подіями?

900. Монету підкидають два рази. Яка ймовірність того, що випадуть: 1) дві “цифри”; 2) два “герби”?

901. Підкидають дві монети. Яка ймовірність того, що монети впадуть однаковою стороною доверху?

902. У змаганнях зі штовхання ядра беруть участь 9 спортсменів із Данії, 3 спортсмени – зі Швеції, 8 спортсменів – з Норвегії та 5 – із Фінляндії. Порядок, у якому виступають спортсмени, визначається жеребкуванням. Знайдіть імовірність того, що спортсмен, який виступає останнім, виявиться з Фінляндії.

903. У змаганнях з плавання беруть участь 4 спортсмени з Польщі, 8 спортсменів – з Болгарії, 7 спортсменів – з Румунії і 5 – зі Словенії. Порядок, у якому виступають спортсмени, визначається жеребкуванням. Знайдіть імовірність того, щоспортсмен, який виступає першим, виявиться з Польщі.

904. На завод привезли партію, що містить 1000 підшипників, із яких 30 підшипників не відповідають стандарту. Знайдіть імовірність того, що взятий навмання підшипник виявиться стандартним.

905. На фабриці виготовляють сумки. За день було виготовлено 170 сумок, із яких 5 сумок виявилися з прихованими дефектами. Знайдіть імовірність того, що куплена в магазині сумка з цієї партії виявиться якісною.

906. Синоптики прогнозують на наступний тиждень 3 сонячні дні та 4 похмурі. Яка подія є більш імовірною: “понеділок – сонячний день” чи “понеділок – похмурий день”?

907*. У випадковому експерименті кидають два гральні кубики. Знайдіть імовірність того, що в сумі випаде 8 очок.

908*. У випадковому експерименті кидають два гральні кубики. Знайдіть імовірність того, що на кубиках випадуть однакові очки.

909*. У випадковому експерименті кидають три гральні кубики. Знайдіть імовірність того, що в сумі випаде 14 очок.

910*. У випадковому експерименті монету кидають тричі. Знайдіть імовірність того, що “герб” випаде всі три рази.

911 *. У шостому класі – 30 учнів. Зі списку учнів випадково обирають одного учня, імовірність того, що вік навмання взятого учня меншин від 12 років, дорівнює  ЙМОВІРНІСТЬ ВИПАДКОВОЇ ПОДІЇ . Знайдіть кількість учнів цього класу, які мають вік, менший від 12 років.

ЗАСТОСУЙТЕ НА ПРАКТИЦІ

912. Петрик і Сергійко придумали гру. Кидають два гральні кубики. Якщо сума очок дорівнює 11, то виграє Петрик, а якщо сума очок дорівнює 12, то виграє Сергійко. У кого із хлопців більше шансів виграти?

913. Проведіть випробування з підкиданням трьох монет і вкажіть, які з наступних подій у цьому випробуванні відбулися, а які – ні:

1) подія А – “гербів і цифр випало порівну”;

2) подія В – “гербів випало більше”;

3) подія С – “цифр випало більше”.

ЗАДАЧІ НА ПОВТОРЕННЯ

914. Обчисліть зручним способом:

1)(8.73 ∙ (4.85 +5.15)-3.53 ∙ (3.15 +6.85)): 26;

2)430-2.55 ∙ 8 ∙ 20 ∙ 0.05 ∙ 12.5.

915. На уроці присутні ЗО учнів. Кількість учнів, які відсутні, становить  ЙМОВІРНІСТЬ ВИПАДКОВОЇ ПОДІЇ загальної кількості учнів класу. Скільки учнів у цьому класі?

916. Мотузку завдовжки 20 м розрізано на дві частини. Довжина першої частини дорівнює 12 м. У скільки разів довжина першої частини більша за довжину другої? Яку частину довжини мотузки становить довжина її першої частини, а яку – довжина другої?

917. Автобус проїхав задень 500 км. До обіду він проїхав 240 км за 4 год. Після обіду автобус був у дорозі ще 4 год. Коли швидкість руху автобуса була більшою: до чи після обіду?

918. Скільки коштують 6 кг печива, якщо за 3 кг такого печива заплатили 48 грн?

919. Турист пройшов 15 км за 5 год. За скільки годин турист подолає відстань 12 км. рухаючись із такою самою швидкістю?

 ЙМОВІРНІСТЬ ВИПАДКОВОЇ ПОДІЇ




ЙМОВІРНІСТЬ ВИПАДКОВОЇ ПОДІЇ