КОЛО І ТРИКУТНИК

РОЗДІЛ 4 КОЛО І КРУГ. ГЕОМЕТРИЧНІ ПОБУДОВИ

& 20. КОЛО І ТРИКУТНИК

Коло і трикутник можуть не мати спільних точок або мати 1, 2, 3, 4, 5, 6 спільних точок (відповідні малюнки виконайте самостійно). Заслуговують на увагу випадки, коли коло проходить через усі три вершини трикутника або коли воно дотикається до всіх сторін трикутника. Розглянемо такі випадки детальніше.

1. Описане коло.

Коло називають описана навколо трикутника, якщо воно проходить через усі вершини трикутника (мал. 244).

 КОЛО І ТРИКУТНИК

Мал. 244

Теорема

23 Навколо кожного трикутника можна описати лише одне коло. Його центром є точка перетину серединних перпендикулярів до двох сторін трикутника.

Доведення. Нехай ABC – довільний трикутник (мал. 246). Знайдемо точку, рівновіддалену від вершин А, В і С. Геометричне місце точок, рівновіддалених від точок А і В, – серединний перпендикуляр n до відрізка АВ; геометричне місце точок, рівновіддалених від точок В і С, – серединний перпендикуляр n до відрізка ВС. Ці два серединні перпендикуляри не можуть бути

паралельними, вони перетинаються в деякій точці О. А вона рівновіддалена від точок А, В і С. Отже, ОА = ОВ = ОС, тому О – центр кола, описаного навколо трикутника ABC.

Для кожного відрізка АВ існує серединний перпендикуляр m, і лише один, а для ВС – серединний перпендикуляр n, і тільки один. Точка їх перетину завжди існує, і вона – тільки одна. Отже, навколо кожного трикутника можна описати коло, і тільки одне.

 КОЛО І ТРИКУТНИК

Мал. 245

Насділки 1. Серединні перпендикуляри до всіх трьох сторін довільного трикутника проходять через одну й ту саму тонку.

2. Через будь-які три точки, які не лежать на одній прямій, можна провести коло, і тільки одне.

Із доведеної теореми випливає спосіб побудови кола, описаного навколо трикутника. Щоб описати навколо трикутника ABC коло, досить:

1) побудувати серединні перпендикуляри до двох сторін даного трикутника;

2) визначити точку О, у якій ці серединні перпендикуляри перетинаються;

3) із центра О провести коло радіусом ОА.

Центр кола, описаного навколо трикутника, може лежати у внутрішній (див. мал. 244) або зовнішній області даного трикутника або на його стороні (мал. 246).

 КОЛО І ТРИКУТНИК

Мал. 246

 КОЛО І ТРИКУТНИК

Мал. 247

2. Вписане коло.

Коло називають вписаний у трикутник, якщо воно дотикається до всіх сторін трикутника (мал. 247). Центр кола, вписаного в трикутник, лежить у внутрішній області цього трикутника.

Теорема 24 У кожний трикутник можна вписати лише одне коло. Його центром є точка перетину двох бісектрис трикутника.

Доведення. Нехай ABC – довільний трикутник. Визначимо точку, рівно віддалену від усіх його сторін (мал. 248). Геометричне місце точок, які лежать всередині кута А і рівновіддалені від сторін АВ і АС, бісектриса І кута А. Геометричне місце точок, які рівновіддалені від сторін АВ і ВС та лежать всередині кута В, – бісектриса і кута В. Ці дві бісектриси обов’язково перетинаються (доведіть це!).

Точка І, в якій перетинаються бісектриси І і t, рівновіддалена від усіх трьох сторін даного трикутника. Отже, точка І – центр кола, вписаного в трикутник ABC.

 КОЛО І ТРИКУТНИК

Мал. 248

Наслідок У кожному трикутнику всі три бісектриси перетинаються в одній точці.

З доведеної теореми випливає спосіб побудови кола, вписаного в трикутник. Щоб у даний трикутник вписати коло, досить:

1) провести дві його бісектриси;

2) з точки їх перетину І опустити перпендикуляр IL на довільну сторону трикутника;

3) із центра/описати коло радіуса ІL. Воно дотикатиметься до кожної сторони трикутника, а отже, буде вписаним у даний трикутник.

Для допитливих

Для розв’язування задач корисно знати властивості прямокутного трикутника, вписаного в коло.

Теорема 25 Центром кола, описаного навколо прямокутного трикутника, є середина ного гіпотенузи.

Доведення. Нехай ABC – довільний трикутник із прямим кутом С, t – серединний перпендикуляр катета АС і t перетинає гіпотенузу АВ в точці О (мал. 249).

Оскільки точка О лежить на серединному перпендикулярі до відрізка АС, то ОА = ОС і ∠1 = ∠2.

Тоді ∠B = 90° – ∠1 і ∠З = 90° – ∠1, тобто ∠B = ∠3 i OB = OC.

 КОЛО І ТРИКУТНИК

Мал. 249

ОА = ОС = ОВ, тобто точка О – середина гіпотенузи АВ, рівновіддалена від усіх вершин трикутника. Отже, коло з центром О і радіусом ОА проходить через усі вершини даного трикутника.

Наслідок Діаметр кола” описаного навколо прямокутного трикутника, дорівнює ного гіпотенузі.

Теорема 26. Із будь-якої точки кола його діаметр, що не виходить з цієї точки, видно під прямим кутом.

Доведення. Нехай АВ – довільний діаметр кола з центром О, а С довільна точка кола, відмінна від А і В (мал. 250). Покажемо, що ∠AСВ = 90°. Оскільки ОА = ОВ = ОС, то ∠1 = ∠2 і ∠3 = ∠4. Тоді ∠1 + ∠2 + ∠3 + ∠4 = 180°, звідси ∠C = ∠2 + ∠3 = 180° : 2 = 90°.

Іноді говорять:

Геометричним місцем точок площини, з яких відрізок АВ видно під прямим кутом, є коло діаметра АВ.

Насправді цьому ГМТ точки А і В не належать. Докладніше про це дізнаєтесь у старших класах.

 КОЛО І ТРИКУТНИК

Мал. 250

Запитання і завдання для самоконтролю

1. Яке коло називають описаним навколо трикутника?

2. Яке коло називають вписаним у трикутник?

8. Чи навколо кожного трикутника можна описати коло?

4. Чи в кожний трикутник можна вписати коло?

5. Де лежить центр кола, вписаного в трикутник?

6. Де лежить центр кола, описаного навколо трикутника? А навколо прямокутного трикутника?

Виконаємо разом

1. Знайдіть радіус кола, описаного навколо прямокутного трикутника з гіпотенузою 6 см.

– Діаметр кола, описаного навколо прямокутного трикутника, є його гіпотенузою. Радіус цього кола вдвічі менший, тобто дорівнює 3 см.

2. Доведіть, що діаметр кола, вписаного в прямокутний трикутник з катетами а і b та гіпотенузою с, дорівнює а + b – с.

 КОЛО І ТРИКУТНИК

Мал. 251

Нехай у трикутника ABC кут С – прямий, а K, Р, Т – точки дотику вписаного в трикутник кола (мал. 251).

Оскільки АР = AT і ВК = BT, то АС + ВС – АВ = PC + СК = 2r,

Або 2r = а + b – с.

ЗАДАЧІ І ВПРАВИ

Виконайте усно

585. Скільки спільних точок можуть мата коло і пряма?

586. Скільки спільних точок можуть мати круг і пряма?

587. Скільки спільних точок мають трикутник і описане навколо нього коло?

588. Скільки спільних точок можуть мата трикутник і коло?

589. Чи через будь-які 4 точки можна провести коло?

590. Чи можна в коло діаметра 1 м вписати трикутник з периметром 8 м? А трикутник з периметром 8 см?

А

591. Hакресліть довільний трикутник і опишіть навколо нього коло.

592. Hакресліть довільний трикутник і впишіть у нього коло.

593. Кожна з хорд АВ і ВС дорівнює радіусу кола. Знайдіть кути трикутника ABC.

594. Скільки різних кіл можна провести через: а) одну точку; б) дві точки;

В) три точки, що не лежать на одній прямій. Доведіть, що не існує кола, яке б проходило через три точки однієї прямої.

595. Чому два різні кола не можуть мати три спільні точки?

596. Накресліть прямокутний трикутник і опишіть навколо нього коло. Виконайте необхідні вимірювання та обчислення і порівняйте довжину кола та периметр вписаного в нього трикутника.

597. Накресліть рівносторонній трикутник. Побудуйте коло, вписане в цей трикутник і описане навколо нього. Де лежать центри цих кіл?

598. Чи можуть дотикатися два кола: вписане в трикутник і описане навколо того самого трикутника?

599. Трикутник зі сторонами 6 см, 8 см і 10 см – прямокутний. Чому дорівнює радіус описаного навколо нього кола? А вписаного?

600. Покажіть на малюнку, що центр кола, описаного навколо трикутника, може лежати в його внутрішній області, або на його стороні, або поза трикутником.

601. Навколо рівностороннього трикутника описано коло. Під яким кутом із центра цього кола видно сторону трикутника?

602. У рівносторонній трикутник вписано коло. Під яким кутом із центра цього кола видно сторону трикутника?

Б

603. Центр кола О, вписаного в рівносторонній трикутник ABC, сполучено відрізками з вершинами трикутника. Доведіть, що трикутники ОАВ, ОВС і ОСА дорівнюють один одному. Знайдіть кути цих трикутників.

604. Доведіть, що одна з медіан (яка?) розбиває прямокутний трикутник на два рівнобедрені трикутники.

605. Будь-який трикутник, сторони якого пропорційні числам 3, 4 і 5, – прямокутний. Знайдіть радіус і довжину кола: а) описаного навколо трикутника зі сторонами 15 м, 20 м і 25 м; б) вписаного у трикутник зі сторонами 15 м, 12 м і 9 м.

606. Одне коло вписане в рівносторонній трикутник, друге – описане навколо того самого трикутника. Доведіть, що:

1) центри цих кіл збігаються;

2) радіуси кіл відносяться як 1 : 2.

607. Вписане в трикутник ABC коло дотикається до його сторін у точках К, Р і Т (мал. 252). Доведіть, що:

1) АР + СК + ВТ = АТ + ВК + CP,

2) ВК = 0,5(АО – ВС – АС).

 КОЛО І ТРИКУТНИК

Мал. 252

608. Трикутник зі сторонами 26 см, 24 см і 10 см – прямокутний. Знайдіть радіус і площу круга: а) вписаного в цей трикутник; б) описаного навколо цього трикутника.

609. Знайдіть периметр прямокутного трикутника, описаного навколо кола радіуса г, якщо його гіпотенуза дорівнює с.

610. Вписане в прямокутний трикутник ABC коло дотикається до катетів АС і СВ в точках Р і К. Знайдіть довжину ламаної КВАР, якщо АВ = 17 см.

611. На сторонах кута В, що дорівнює 120°, відкладено відрізки ВА = ВС = 4 см. Проведіть коло через точки А, В, С і знайдіть його радіус.

Практичне завдання

612. Побудуйте зовні вписане коло трикутника – коло, яке дотикається до однієї зі сторін трикутника (зовні) і до продовження двох інших його сторін. Де лежить центр такого кола? Скільки зовні вписаних кіл можна побудувати для кожного трикутника? Чи належать вершини заданого трикутника відрізкам, що сполучають центри зовні вписаних кіл? Яку фігуру утворюють відрізки, що сполучають усі центри зовні вписаних кіл? Чи може цією фігурою бути тупокутний трикутник? А прямокутний?

ВПРАВИ ДЛЯ ПОВТОРЕННЯ

613. Побудуйте рівнобедрений трикутник за основою і прилеглим кутом.

614. Знайдіть площу прямокутника, периметр якого дорівнює 200 м, а одна сторона в півтора разу більша за іншу.

615. ∆АВС = ∆MNK. Сторони трикутника ABC відносяться як 2 : 3 : 4. Знайдіть сторони трикутника MNK, якщо його периметр дорівнює 45 см.

616. ∆АВС = ∆MNK, АС = 17 см, MN – NK = 5 см. Знайдіть сторони трикутника ABC, якщо Р∆АВС = 38 см.

617. Сторони трикутника пропорційні числам 7, 5 і 8. Знайдіть периметр трикутника, якщо:

А) сума найменшої і найбільшої його сторін дорівнює 39 см;

Б) різниця найбільшої і найменшої його сторін дорівнює 9 см;

В) найменша його сторона на 12 см менша від півпериметра;

Г) найбільша його сторона менша від суми двох інших сторін на 8 см.




КОЛО І ТРИКУТНИК