Корінь n-го степеня. Арифметичний корінь n-го степеня і його властивості

УРОК 33

Тема. Корінь n – го степеня. Арифметичний корінь n – го степеня і його властивості

Мета уроку. Повторити відомості про квадратний корінь. Формування понять корінь n-го степеня і арифметичний корінь n-го степеня. Вивчення властивостей коренів n-го степеня.

І. Аналіз контрольної роботи з теми “Тригонометричні рівняння і нерівності”

II. Повторення відомостей про квадратний корінь

Повторити відомості про квадратний корінь можна у вигляді фронтальної бесіди з використанням таблиці 13.

1. Що називається

квадратним коренем з числа?

2. Чому дорівнює квадратний корінь з чисел: а) 25; б)16; в) 100; г) 0; д) -10?

3. Чому квадратний корінь з від’ємного числа не існує?

4. Що називається арифметичним квадратним коренем з чис­ла а?

5. Виконайте вправу № 1 до розділу III.

6. При яких значеннях а має смисл вираз  Корінь n го степеня. Арифметичний корінь n го степеня і його властивості?

7. Виконання вправи № 5 до розділу III.

8. Виконання вправи № 2 до розділу III.

Квадратні корені

Означення квадратного

кореня з числа а:

Означення арифметичного квадратного кореня з числа а:

Число, квадрат якого дорівнює а.

 Корінь n го степеня. Арифметичний корінь n го степеня і його властивості

Корінь рівняння:

Х2 = а.

 Корінь n го степеня. Арифметичний корінь n го степеня і його властивості

 Корінь n го степеня. Арифметичний корінь n го степеня і його властивості

 Корінь n го степеня. Арифметичний корінь n го степеня і його властивості

 Корінь n го степеня. Арифметичний корінь n го степеня і його властивості = а, а > 0.

 Корінь n го степеня. Арифметичний корінь n го степеня і його властивості = |a|, a Корінь n го степеня. Арифметичний корінь n го степеня і його властивостіR.

 Корінь n го степеня. Арифметичний корінь n го степеня і його властивості,  Корінь n го степеня. Арифметичний корінь n го степеня і його властивості,  Корінь n го степеня. Арифметичний корінь n го степеня і його властивості.

 Корінь n го степеня. Арифметичний корінь n го степеня і його властивості,  Корінь n го степеня. Арифметичний корінь n го степеня і його властивості,  Корінь n го степеня. Арифметичний корінь n го степеня і його властивості.

 Корінь n го степеня. Арифметичний корінь n го степеня і його властивості,  Корінь n го степеня. Арифметичний корінь n го степеня і його властивості, k Корінь n го степеня. Арифметичний корінь n го степеня і його властивостіN.

 Корінь n го степеня. Арифметичний корінь n го степеня і його властивості,  Корінь n го степеня. Арифметичний корінь n го степеня і його властивості

III. Сприймання і усвідомлення нового матеріалу (таблиця 14)

Коренем n-го степеня із дійсного числа а називається число, n-й степінь якого дорівнює а.

Наприклад: корінь третього степеня із числа 8 дорівнює 2, бо 23 = 8. Корінь четвертого степеня з числа 81 є числа 3 і -3, бо 34 = 81, (-3)4 = 81.

Згідно даного означення, корінь п-го степеня – це корінь рівняння хn = а. Число коренів цього рівняння залежить від n і а.

Якщо n – парне, тобто n = 2k, k Корінь n го степеня. Арифметичний корінь n го степеня і його властивостіN, то рівняння х2k = а має два корені, якщо а > 0; один корінь, якщо а = 0; не має коренів, якщо а < 0.

Якщо n – непарне, тобто n = 2k + 1, k Корінь n го степеня. Арифметичний корінь n го степеня і його властивостіN, то рівняння х2k+1 = а завжди має лише один корінь.

Таблиця 14

Корінь n-гo степеня

Означення кореня n-го степеня з числа а:

Число, n – й степінь якого дорівнює а.

Корінь рівняння: х2 = а

Означення арифметичного кореня

N-го степеня з числа а:

 Корінь n го степеня. Арифметичний корінь n го степеня і його властивості

 Корінь n го степеня. Арифметичний корінь n го степеня і його властивості

 Корінь n го степеня. Арифметичний корінь n го степеня і його властивості

 Корінь n го степеня. Арифметичний корінь n го степеня і його властивості

 Корінь n го степеня. Арифметичний корінь n го степеня і його властивості,  Корінь n го степеня. Арифметичний корінь n го степеня і його властивості,…, Корінь n го степеня. Арифметичний корінь n го степеня і його властивості – існують для а Корінь n го степеня. Арифметичний корінь n го степеня і його властивостіR.

 Корінь n го степеня. Арифметичний корінь n го степеня і його властивості= –  Корінь n го степеня. Арифметичний корінь n го степеня і його властивості.

 Корінь n го степеня. Арифметичний корінь n го степеня і його властивості,  Корінь n го степеня. Арифметичний корінь n го степеня і його властивості, … ,  Корінь n го степеня. Арифметичний корінь n го степеня і його властивості– існують для а  Корінь n го степеня. Арифметичний корінь n го степеня і його властивості 0.

Якщо  Корінь n го степеня. Арифметичний корінь n го степеня і його властивості існує, то  Корінь n го степеня. Арифметичний корінь n го степеня і його властивості= а.

 Корінь n го степеня. Арифметичний корінь n го степеня і його властивості, а Корінь n го степеня. Арифметичний корінь n го степеня і його властивостіR

 Корінь n го степеня. Арифметичний корінь n го степеня і його властивості, а Корінь n го степеня. Арифметичний корінь n го степеня і його властивостіR.

 Корінь n го степеня. Арифметичний корінь n го степеня і його властивості =  Корінь n го степеня. Арифметичний корінь n го степеня і його властивості Корінь n го степеня. Арифметичний корінь n го степеня і його властивості, Корінь n го степеня. Арифметичний корінь n го степеня і його властивості,  Корінь n го степеня. Арифметичний корінь n го степеня і його властивості.

 Корінь n го степеня. Арифметичний корінь n го степеня і його властивості,  Корінь n го степеня. Арифметичний корінь n го степеня і його властивості,  Корінь n го степеня. Арифметичний корінь n го степеня і його властивості.

 Корінь n го степеня. Арифметичний корінь n го степеня і його властивості

 Корінь n го степеня. Арифметичний корінь n го степеня і його властивості,

 Корінь n го степеня. Арифметичний корінь n го степеня і його властивості,

 Корінь n го степеня. Арифметичний корінь n го степеня і його властивості.

Невід’ємний корінь рівняння хn = а називають арифметичним коренем n-го степеня із числа а.

Арифметичним коренем n-го степеня із невід’ємного числа а називається таке невід’ємне число, n-й степінь якого дорівнює а.

Арифметичний корінь п-го степеня із числа а позначають так:  Корінь n го степеня. Арифметичний корінь n го степеня і його властивості. Число n називають показником кореня, число а – підкоре­невим числом (виразом).

Якщо n = 2, то замість  Корінь n го степеня. Арифметичний корінь n го степеня і його властивості пишуть  Корінь n го степеня. Арифметичний корінь n го степеня і його властивості і називають арифме­тичним квадратним коренем.

Арифметичний корінь третього степеня називають кубічним коренем.

У тих випадках, коли зрозуміло, що мова йде про арифметич­ний корінь n-го степеня, коротко говорять “корінь n-го степеня”.

Приклад. Знайдемо значення: а)  Корінь n го степеня. Арифметичний корінь n го степеня і його властивості; б)  Корінь n го степеня. Арифметичний корінь n го степеня і його властивості; в)  Корінь n го степеня. Арифметичний корінь n го степеня і його властивості; г)  Корінь n го степеня. Арифметичний корінь n го степеня і його властивості.

А)  Корінь n го степеня. Арифметичний корінь n го степеня і його властивості = 2, оскільки 23 = 8 і 2 > 0;

Б)  Корінь n го степеня. Арифметичний корінь n го степеня і його властивості = 3, оскільки 34 = 81 і 3 > 0;

В)  Корінь n го степеня. Арифметичний корінь n го степеня і його властивості = 1, оскільки 15 = 1 і 1 > 0;

Г)  Корінь n го степеня. Арифметичний корінь n го степеня і його властивості = 0, оскільки 0100 = 0.

Корінь парного степеня існує лише з невід’ємних чисел, отже, вираз  Корінь n го степеня. Арифметичний корінь n го степеня і його властивості має смисл, якщо  Корінь n го степеня. Арифметичний корінь n го степеня і його властивості і набуває невід’ємних значень.

Корінь непарного степеня існує з будь-якого дійсного числа і до того ж тільки один.

Для коренів непарного степеня справедлива рівність  Корінь n го степеня. Арифметичний корінь n го степеня і його властивості= –  Корінь n го степеня. Арифметичний корінь n го степеня і його властивості.

Дійсно  Корінь n го степеня. Арифметичний корінь n го степеня і його властивості.

Рівність  Корінь n го степеня. Арифметичний корінь n го степеня і його властивості= –  Корінь n го степеня. Арифметичний корінь n го степеня і його властивості дозволяє виразити корінь непарно­го степеня з від’ємного числа через арифметичний корінь того ж степеня.

Приклад. Знайдемо значення: а)  Корінь n го степеня. Арифметичний корінь n го степеня і його властивості; б)  Корінь n го степеня. Арифметичний корінь n го степеня і його властивості; в)  Корінь n го степеня. Арифметичний корінь n го степеня і його властивості.

A)  Корінь n го степеня. Арифметичний корінь n го степеня і його властивості = –  Корінь n го степеня. Арифметичний корінь n го степеня і його властивості = -2; б)  Корінь n го степеня. Арифметичний корінь n го степеня і його властивості= –  Корінь n го степеня. Арифметичний корінь n го степеня і його властивості = -2 ; в)  Корінь n го степеня. Арифметичний корінь n го степеня і його властивості= –  Корінь n го степеня. Арифметичний корінь n го степеня і його властивості = -3 .

Отже, вираз  Корінь n го степеня. Арифметичний корінь n го степеня і його властивості має смисл для будь-якого а  Корінь n го степеня. Арифметичний корінь n го степеня і його властивості R і може набувати будь-яких значень.

Виконання вправ

1. Вправа № 7 до розділу III.

2. Розв’яжіть рівняння:

А) х3 = 64; б) х5 = –  Корінь n го степеня. Арифметичний корінь n го степеня і його властивості; в) х4 = 81; г) х6 = – 64; д) х3 = 15; е) х4 = 15.

Відповідь: а) 4; б) –  Корінь n го степеня. Арифметичний корінь n го степеня і його властивості; в) 3; – 3; г) немає коренів; д)  Корінь n го степеня. Арифметичний корінь n го степеня і його властивості; е)  Корінь n го степеня. Арифметичний корінь n го степеня і його властивості; –  Корінь n го степеня. Арифметичний корінь n го степеня і його властивості.

3. Знайдіть область визначення функцій:

А) у = Корінь n го степеня. Арифметичний корінь n го степеня і його властивості; б) у =  Корінь n го степеня. Арифметичний корінь n го степеня і його властивості; в) у =  Корінь n го степеня. Арифметичний корінь n го степеня і його властивості; г) у =  Корінь n го степеня. Арифметичний корінь n го степеня і його властивості; д) у =  Корінь n го степеня. Арифметичний корінь n го степеня і його властивості+ Корінь n го степеня. Арифметичний корінь n го степеня і його властивості; е) у =  Корінь n го степеня. Арифметичний корінь n го степеня і його властивості.

Відповідь: а) х  Корінь n го степеня. Арифметичний корінь n го степеня і його властивості 2; б) х Корінь n го степеня. Арифметичний корінь n го степеня і його властивостіR; в) х  Корінь n го степеня. Арифметичний корінь n го степеня і його властивості 3; г) х? 0; д) 0; е) не визначена.

Безпосередньо з означення арифметичного кореня n-го степе­ня випливає:

існує, то ( Корінь n го степеня. Арифметичний корінь n го степеня і його властивості)n = а.

2.  Корінь n го степеня. Арифметичний корінь n го степеня і його властивості

3.  Корінь n го степеня. Арифметичний корінь n го степеня і його властивості

Ми згадали властивості квадратного кореня. Аналогічні вла­стивості мають і корені n-го степеня.

Властивість 1. Для невід’ємних чисел а і b добуток коренів n-­го степеня із чисел a і b дорівнює кореню n-го степеня із їх добутку:  Корінь n го степеня. Арифметичний корінь n го степеня і його властивості Корінь n го степеня. Арифметичний корінь n го степеня і його властивості= Корінь n го степеня. Арифметичний корінь n го степеня і його властивості.

Властивість 2. Для невід’ємного числа а і додатного числа b частка коренів n-го степеня із чисел а і b. дорівнює кореню n-го степеня із їх частки:  Корінь n го степеня. Арифметичний корінь n го степеня і його властивості.

Властивість 3. Будь-який цілий степінь k кореня n-го степеня із невід’ємного числа а дорівнює кореню n-го степеня із степеня k числа а:  Корінь n го степеня. Арифметичний корінь n го степеня і його властивості.

Властивість 4. Щоб добути корінь із кореня із невід’ємного числа можна перемножити показники коренів, а підкореневий вираз залишити без змін:  Корінь n го степеня. Арифметичний корінь n го степеня і його властивості.

Властивість 5. Значення кореня із степеня невід’ємного числа не зміниться, якщо показник кореня і показник підкоре­невого виразу помножити (або поділити) на одне і те саме натуральне число:  Корінь n го степеня. Арифметичний корінь n го степеня і його властивості.

Властивості 1, 2 доводяться аналогічно тому, як це зроблено для квадратних коренів. Доведемо властивості 3-5:

3) Так як а  Корінь n го степеня. Арифметичний корінь n го степеня і його властивості 0, то ліва і права частини формули невід’ємні. Тому для доведення цієї рівності досить впевнитися в тому, що n-ий степінь лівої частини дорівнює аk. Згідно з властиво­стями степенів з цілим показником маємо:  Корінь n го степеня. Арифметичний корінь n го степеня і його властивості

4) При а > О ліва і права частини невід’ємні. Тоді  Корінь n го степеня. Арифметичний корінь n го степеня і його властивості. Отже,  Корінь n го степеня. Арифметичний корінь n го степеня і його властивості.

5) Згідно з означенням кореня  Корінь n го степеня. Арифметичний корінь n го степеня і його властивості – це таке невід’ємне чис­ло, n-й степінь якого дорівнює аmp, тобто досить довести  Корінь n го степеня. Арифметичний корінь n го степеня і його властивості.

Маємо  Корінь n го степеня. Арифметичний корінь n го степеня і його властивості.

Виконання вправ

1. Знайдіть значення виразів:

А)  Корінь n го степеня. Арифметичний корінь n го степеня і його властивості; б)  Корінь n го степеня. Арифметичний корінь n го степеня і його властивості; в)  Корінь n го степеня. Арифметичний корінь n го степеня і його властивості; г)  Корінь n го степеня. Арифметичний корінь n го степеня і його властивості; д)  Корінь n го степеня. Арифметичний корінь n го степеня і його властивості.

Відповідь: а) 1,5; б) 1,2; в) 0,5; г) 2,5; д)  Корінь n го степеня. Арифметичний корінь n го степеня і його властивості.

2. Обчисліть:

А)  Корінь n го степеня. Арифметичний корінь n го степеня і його властивості Корінь n го степеня. Арифметичний корінь n го степеня і його властивості; б)  Корінь n го степеня. Арифметичний корінь n го степеня і його властивості Корінь n го степеня. Арифметичний корінь n го степеня і його властивості; в)  Корінь n го степеня. Арифметичний корінь n го степеня і його властивості; г)  Корінь n го степеня. Арифметичний корінь n го степеня і його властивості.

Відповідь: а) 10; б) 6; в) 3; г) 2.

3. Знайдіть корінь із степеня:

А)  Корінь n го степеня. Арифметичний корінь n го степеня і його властивості; б)  Корінь n го степеня. Арифметичний корінь n го степеня і його властивості; в)  Корінь n го степеня. Арифметичний корінь n го степеня і його властивості; г)  Корінь n го степеня. Арифметичний корінь n го степеня і його властивості.

Відповідь: а) 125; б) 0,09; в) 0,72; г) 16.

4. Спростіть вирази:

А)  Корінь n го степеня. Арифметичний корінь n го степеня і його властивості; б)  Корінь n го степеня. Арифметичний корінь n го степеня і його властивості; в)  Корінь n го степеня. Арифметичний корінь n го степеня і його властивості; г)  Корінь n го степеня. Арифметичний корінь n го степеня і його властивості.

Відповідь: а)  Корінь n го степеня. Арифметичний корінь n го степеня і його властивості =  Корінь n го степеня. Арифметичний корінь n го степеня і його властивості; б)  Корінь n го степеня. Арифметичний корінь n го степеня і його властивості; в)  Корінь n го степеня. Арифметичний корінь n го степеня і його властивості; г)  Корінь n го степеня. Арифметичний корінь n го степеня і його властивості.

IV. Підсумок проведення уроку

V. Домашнє завдання

Розділ III § 1 (1-2). Запитання і завдання для повторення роз­ділу III. № 1-12, 17-24. Вправи № 14 (1, 2, 4-6), № 15.




Корінь n-го степеня. Арифметичний корінь n-го степеня і його властивості