Кути, утворені при перетині двох прямих січною. Ознаки паралельності прямих

Розділ 2. Взаємне розміщення прямих па площині

§ 9. Кути, утворені при перетині двох прямих січною. Ознаки паралельності прямих

170. Рис. 119: ∠1 і ∠2 – внутрішні різносторонні кути.

Рис. 120: ∠1 і ∠2 – відповідні кути.

Рис,121: ∠1 i ∠2 – внутрішні різносторонні кути.

171. Внутрішні односторонні кути: ∠ANM і ∠NMB, ∠CNM і ∠NMD.

Внутрішні різносторонні кути: ∠ANM і ∠NMD, ∠CNM і ∠NMB.

Відповідні кути: ∠AKN і ∠NMB, ∠CKN і ∠NMD, ∠CNM і ∠DML, ∠ANM i ∠BML.

172. Внутрішні односторонні кути: ∠FCM та ∠CML, ∠PCM

та ∠CMD.

Внутрішні різносторонні кути: ∠FCM та ∠CMD, ∠PCM та ∠CML.

Відповідні кути: ∠BCF та ∠CML, ∠FCM та ∠LMK, ∠BCP та ∠CMD, ∠PCM та ∠DMK.

174. Рис. 125: а || b (згідно з наслідком 1, оскільки внутрішні різносторонні кути рівні).

Рис. 126: прямі а і b перетинаються (згідно з наслідком 2, оскільки сума внутрішніх односторонніх кутів не дорівнює 180°).

Рис. 127: а || b (згідно з ознакою паралельності прямих, оскільки відповідні кути рівні).

Рис. 128: а і b перетинаються, бо внутрішні різносторонні кути не рівні.

Рис. 129: а || b, оскільки сума внутрішніх односторонніх кутів дорівнює 180° (наслідок 2).

Рис.

130: а і b перетинаються, бо відповідні кути не рівні.

175.

Позначимо кути цифрами від 1 до 8.

∠2 = 70° (як вертикальний кут до ∠4).

∠1 = 180° – 70° = 110° (як суміжний кут до ∠4).

∠3 = 110° (як вертикальний до ∠1).

∠5 = 120° (як вертикальний кут до ∠8).

∠6 = 180° – 120° = 60° (як суміжний кут до ∠8).

∠7 = ∠6 = 60° (як вертикальний до ∠6).

Прямі m і n перетинаються.

176.

Позначимо кути цифрами від 1 до 8.

∠4 = ∠1 = 50° (як вертикальний кут до ∠1).

∠2 = 180° – 50° = 130° (як суміжний з ∠1).

∠3 = ∠2 = 130° (як вертикальний до ∠2).

∠7 = ∠6 = 130° (як вертикальний до ∠6).

∠5 = 180° – 130° = 50° (як суміжний з ∠6).

∠5 = ∠8 = 50° (як вертикальний до ∠3).

А || b, оскільки ∠2 = ∠6 = 130° (відповідні кути).

Відповідь: а || b.

177.

∠ABC і ∠BCM – внутрішні різносторонні кути для прямих AB і CM і січної ВC. Точки А і М розміщені по різні боки від ВС.

178.

∠AKN і ∠KNP – внутрішні односторонні кути для прямих AK і PN і січної KN.

179. На рисунку 135 а || b, оскільки сума внутрішніх односторонніх кутів ∠1 та ∠2 дорівнює 180°.

180. На рисунку 135 b || с, оскільки відповідні кути рівні (∠2 = ∠3 = 60°).

181.

Проведемо через спільну сторону косинців пряму с.

С ⊥ а, с ⊥ b. Отже, прямі а і b перпендикулярні до однієї прямої.

За наслідком 3 (дві прямі, перпендикулярні до третьої прямої, паралельні) пряма а || b.

182.

1) ∠ABC= 115°.

2) За допомогою транспортира будуємо кут ∠PCK = 115°.

3) AB || PC, оскільки відповідні кути ∠ABC і ∠PCK рівні (згідно з ознакою паралельності прямих).

183.

1) ∠MNP = 125°.

2) За допомогою транспортира будуємо ∠APB = 125°.

3) MN || АР, оскільки відповідні кути ∠MNP і ∠APB рівні (згідно з ознакою Паралельності прямих).

184.

Оскільки прямі CD і MN перпендикулярні до однієї прямої AB, то за наслідком 3 – CD || MN.

185.

Доведення. ∠1 і ∠3 – суміжні. За властивістю суміжних кутів ∠1 + ∠3 = 180°. Звідси ∠3 = 180° – ∠1. За умовою ∠1 + ∠2 = 180°, тоді ∠2 = 180° – ∠1. ∠4 = ∠2, як вертикальні кути, отже, ∠4 = 180° – ∠1. Звідси маємо ∠3 = ∠4. Оскільки ∠3 і ∠4 Відповідні і рівні, то а || b.

186.

Доведення. ∠2 i ∠3 – вертикальні, ∠2 = ∠3. За умовою ∠1 = ∠2. Звідси ∠3 = ∠1. Оскільки ці кути відповідні і рівні, то m || n.

187.

∠4 + ∠5 = 190°.

1) ∠2 = ∠4 (як вертикальні кути), ∠7 = ∠5 (як вертикальні кути). Отже, ∠2 + ∠7 = ∠4 + ∠5 = 190°.

2) ∠1 + ∠4 = 180° (як суміжні кути). Звідси ∠1 = 180° – ∠4.

∠5 + ∠8 = 180° (як суміжні кути). Звідси ∠8 = 180° – ∠5.

Отже, ∠1 + ∠8 = 180° – ∠4 + 180° – ∠5 = 360° = (∠4 + ∠5) = 360° – 190° = 170°.

3) ∠5 + ∠6 = 180° (як суміжні кути). Звідси ∠6 = 180° – ∠5.

∠3 + ∠4 = 180° (як суміжні кути). Звідси ∠3 = 180° – ∠4.

Отже, ∠3 + ∠6 = 180° – ∠4 + 180° – ∠5 = 360° – (∠4 + ∠5) – 360° – 190° = 170°.

Відповідь: 1) 190°; 2) 170°; 3) 170°.

188. ∠3 + ∠6 = 160°.

1) ∠2 + ∠3 = 180° (як суміжні кути). Звідси ∠2 = 180° – ∠3.

∠6 + ∠7 = 180° (як суміжні кути). Звідси ∠7 = 180° – ∠6.

Отже, ∠2 + ∠7 = 180° – ∠3 + 180° – ∠6 = 360°-160° = 200°.

2) ∠1 = ∠3 (як вертикальні кути). ∠8 = ∠6 (як вертикальні кути).

Отже, ∠1 + ∠8 = ∠3 + ∠6 = 160°.

3) ∠4 + ∠3 = 180° (як суміжні кути). Звідси ∠4 = 180° – ∠3.

∠5 + ∠6 = 180° (як суміжні кут). Звідси ∠5 = 180° = ∠6.

Отже, ∠4 + ∠5 = 180° – ∠3 + 180° – ∠6 = 360° – (∠3 + ∠6) = 360° – 160° = 200°.

Відповідь: 1) 200°; 2) 160°; 3) 200°.

189.

∠ABC i ∠BCD – внутрішні односторонні кути. ∠ABC + ∠BCD = 70° + 100° = 170°. Прямі AB і CD не можуть бути паралельні, оскільки у паралельних прямих сума внутрішніх односторонніх кутів дорівнює 180° (наслідок 2).

190.

∠MNP і ∠NРК – внутрішні різносторонні кути. Якби прямі MN і РК були паралельні, то кути MNP і NPK були б рівні. Але ∠MNP = 60°, ∠NPK = 120°. Отже, MN і РК не паралельні.

191.

Прямі а і с паралельні, оскільки відповідні кути при перетині прямих а і с прямою b, рівні.

192.

Так, прямі а і b паралельні.

193.

Доведення. ∠NMK і ∠MKP – внутрішні односторонні кути. Знайдемо їх суму. MF – бісектриса кута NMK, ∠NMK = 2∠FMK.

KF – бісектриса кута МКР, ∠MKP = 2∠MKF.

За умовою ∠MKF + ∠FMK = 90°. Знайдемо суму кутів ∠NMK і ∠MKP.

∠NMK + ∠MKP = 2∠FMK + 2∠MKF = 2(∠FMK + ∠MKF) = 2 x 90° = 180°. Оскільки сума внутрішніх односторонніх кутів дорівнює 180°, то MN || KP.

194.

Оскільки прямі а і b перпендикулярні до прямої m, то за наслідком 3 вони паралельні між собою, а || b. Позначимо К – точку перетину прямих а і с. Припустимо, що прямі b і с не перетинаються. Тоді через т. К проходять дві різні прямі а і с, що паралельні прямій b, що суперечить аксіомі про паралельність прямих. Отже, прямі с і b перетинаються.

195.

1) ∠ABC = 70°.

2) m ⊥ ВА, n ⊥ ВС.

3) Кут між прямими m і n дорівнює 70°.

196.

∠AOB = ∠BOC = 130°. ∠AOC = ∠AOD + ∠DOC, ∠AOD + ∠AOB = 180° (як суміжні кути). Звідси ∠AOD = 180° – 130° = 50°. ∠DOC + ∠BOC = 180° (як вертикальні кути). ∠DOC = 180° – 130° = 50°.

∠AOC = 50° + 50° = 100°.

Відповідь: 100°.

197. Так, можна. Наприклад так.