Лінійне рівняння з однією змінною. Розв’язування лінійних рівнянь з однією змінною і рівнянь, що зводяться до них

Розділ 3. ЛІНІЙНІ РІВНЯННЯ ТА ЇХ СИСТЕМИ

& 23. Лінійне рівняння з однією змінною. Розв’язування лінійних рівнянь з однією змінною і рівнянь, що зводяться до них

Ми знаємо, як розв’язувати рівняння 2х = -8;  Лінійне рівняння з однією змінною. Розвязування лінійних рівнянь з однією змінною і рівнянь, що зводяться до них х – 5; 0,01х -17.

Кожне із цих рівнянь має вигляд ах = b, де х – змінна, а і b – деякі числа.

Числа а і b називають коефіцієнтами рівняння.

Якщо а ≠ 0, то рівняння ах = b називають рівнянням першого степеня з однією змінною. Поділивши обидві частини такого рівняння на а, одержимо х =  Лінійне рівняння з однією змінною. Розвязування лінійних рівнянь з однією змінною і рівнянь, що зводяться до них class=""/>, тобто єдиним коренем цього рівняння є число  Лінійне рівняння з однією змінною. Розвязування лінійних рівнянь з однією змінною і рівнянь, що зводяться до них

Якщо а – 0 і b – 0, то лінійне рівняння має вигляд 0х – 0. Коренем такого рівняння є будь-яке число, оскільки при будь – якому значенні х значення лівої і правої частин рівняння є рівні і дорівнюють нулю. Тому рівняння 0х = 0 має безліч коренів.

Якщо а – 0, а b ≠ 0, то лінійне рівняння матиме вигляд 0х – b. При цьому не існує жодного значення змінної х, яке б перетворювало ліву і праву частини рівняння на одне й те саме число.

Адже значення лівої частини рівняння при будь-якому значенні х дорівнюватиме нулю, а значення правої частини – числу b, відмінному від нуля. Тому рівняння 0х = b при b ≠ 0 не має коренів.

Систематизуємо дані про розв’язки лінійного рівняння ах = b у вигляді схеми:

 Лінійне рівняння з однією змінною. Розвязування лінійних рівнянь з однією змінною і рівнянь, що зводяться до них

Приклад 1. Розв’язати рівняння:

1) 0,2х = 7;

2)-  Лінійне рівняння з однією змінною. Розвязування лінійних рівнянь з однією змінною і рівнянь, що зводяться до нихХ = 2-;

3) 0х = 7.

Р о з в ‘ я з а н н я.

1) 0,2х = 7; х = 7 : 0,2; х = 35.

Відповідь: 35.

2) –  Лінійне рівняння з однією змінною. Розвязування лінійних рівнянь з однією змінною і рівнянь, що зводяться до нихХ = 2  Лінійне рівняння з однією змінною. Розвязування лінійних рівнянь з однією змінною і рівнянь, що зводяться до них;

Х = 2  Лінійне рівняння з однією змінною. Розвязування лінійних рівнянь з однією змінною і рівнянь, що зводяться до них: ( –  Лінійне рівняння з однією змінною. Розвязування лінійних рівнянь з однією змінною і рівнянь, що зводяться до них);

Х = -4.

Відповідь: – 4.

3)0х = 7; рівняння не має коренів.

Відповідь: коренів не має.

Процес розв’язування багатьох рівнянь є зведенням цих рівнянь до лілійних шляхом рівносильних перетворень за властивостями рівнянь.

Приклад 2. Розв’язати рівняння:

1) 3(х + 1) – 2х = 6 – 4х;

2)  Лінійне рівняння з однією змінною. Розвязування лінійних рівнянь з однією змінною і рівнянь, що зводяться до них +  Лінійне рівняння з однією змінною. Розвязування лінійних рівнянь з однією змінною і рівнянь, що зводяться до них =  Лінійне рівняння з однією змінною. Розвязування лінійних рівнянь з однією змінною і рівнянь, що зводяться до них.

Р о з в ‘ я з а н н я.

1. Позбудемося знаменників (якщо вони є):

1)3(х + 3) – 2х = 6 – 4х.

2)  Лінійне рівняння з однією змінною. Розвязування лінійних рівнянь з однією змінною і рівнянь, що зводяться до них +  Лінійне рівняння з однією змінною. Розвязування лінійних рівнянь з однією змінною і рівнянь, що зводяться до них =  Лінійне рівняння з однією змінною. Розвязування лінійних рівнянь з однією змінною і рівнянь, що зводяться до них

Помножимо обидві частили рівняння на 6 (6 – найменший спільний знаменник дробів). Маємо:

 Лінійне рівняння з однією змінною. Розвязування лінійних рівнянь з однією змінною і рівнянь, що зводяться до них +  Лінійне рівняння з однією змінною. Розвязування лінійних рівнянь з однією змінною і рівнянь, що зводяться до них =  Лінійне рівняння з однією змінною. Розвязування лінійних рівнянь з однією змінною і рівнянь, що зводяться до них

3(х + 1) + 2(5 – х) = х + 13.

2. Розкриємо дужки (якщо вони є):

3х + 9 – 2х = 6 – 4х;

3х + 3 + 10 – 2х = х + 13.

3. Перенесемо доданки, що містять змінну, у ліву частину, а інші – у праву, змінивши знаки цих доданків, на протилежні:

3х – 2х + 4х = 6 – 9;

3х – 2х – х = 13 – 3 – 10.

4. Зведемо подібні доданки:

5х = – 3;

0х = 0.

5. Розв’яжемо отримане лінійне рівняння:

Х = -3 : 5;

Х = -0,6;

Відповідь: -0,6.

Х – будь-яке число.

Відповідь: будь-яке число.

Приклад 3. Розв’язати рівняння 5(х + р) = 3х – 7р відносно х.

Р о з в ‘ я з а н н я. Розкриємо дужки в лівій частині рівняння: 5х + 5р – 3х – 7р. Перенесемо доданок 3х у ліву частину, а 5р – у праву. Маємо: 5х – 3х = -7р – 5р; 2х = -12р. Тоді х = (-12р) : 2; х = (-12 : 2)р; х = -6р.

Відповідь: -6р.

Яке рівняння називають лінійним рівнянням з однією змінною? Наведіть приклади лінійних рівнянь. У якому випадку рівняння ах – b має єдиний корінь? У якому випадку коренем рівняння ах – b є будь-яке число? У якому випадку рівняння ах = b не має коренів?

848. (Усно) Яке з рівнянь є лінійним:

1)17х = 0;

2) -5х = –  Лінійне рівняння з однією змінною. Розвязування лінійних рівнянь з однією змінною і рівнянь, що зводяться до них;

3) х2 = 7х;

4) 0х = 17;

5) х + 7 = х2;

6) 0х = 0?

849. (Усно) Скільки коренів має рівняння:

1) 2х = -7;

2) 0х = 5;

3) 0х = 0?

850. З’ясуйте, яке з даних рівнянь має лише один розв’язок, не має розв’язків, має безліч розв’язків:

1) -5х = -3;

2) 0х = 0;

3) 0,14х = 0;

4) 7 = 0х;

5)  Лінійне рівняння з однією змінною. Розвязування лінійних рівнянь з однією змінною і рівнянь, що зводяться до них = -5;

6) 0х =-15.

851. (Усно) Розв’яжіть рівняння:

1) -2х = 12;

2) 0,5х = -2,5;

3) -2,5х = 7,5;

4)  Лінійне рівняння з однією змінною. Розвязування лінійних рівнянь з однією змінною і рівнянь, що зводяться до нихХ =  Лінійне рівняння з однією змінною. Розвязування лінійних рівнянь з однією змінною і рівнянь, що зводяться до них;

5) Лінійне рівняння з однією змінною. Розвязування лінійних рівнянь з однією змінною і рівнянь, що зводяться до них х = 1;

6)5х = -12.

852. Розв’яжіть рівняння:

1) – 3х = -21;

2) -2х =  Лінійне рівняння з однією змінною. Розвязування лінійних рівнянь з однією змінною і рівнянь, що зводяться до них;

3) –  Лінійне рівняння з однією змінною. Розвязування лінійних рівнянь з однією змінною і рівнянь, що зводяться до нихХ = -5;

4) 50х = 5;

5) – х = 1  Лінійне рівняння з однією змінною. Розвязування лінійних рівнянь з однією змінною і рівнянь, що зводяться до них;

6) -0,01х = 0,17;

7) – х = –  Лінійне рівняння з однією змінною. Розвязування лінійних рівнянь з однією змінною і рівнянь, що зводяться до них;

8)-1,2х = -4,2;

9)  Лінійне рівняння з однією змінною. Розвязування лінійних рівнянь з однією змінною і рівнянь, що зводяться до них х = 0.

853. Знайдіть корінь рівняння:

1) 2х = -8;

2)  Лінійне рівняння з однією змінною. Розвязування лінійних рівнянь з однією змінною і рівнянь, що зводяться до нихХ = 9;

3) -3х =  Лінійне рівняння з однією змінною. Розвязування лінійних рівнянь з однією змінною і рівнянь, що зводяться до них;

4) -10х = -5;

5)  Лінійне рівняння з однією змінною. Розвязування лінійних рівнянь з однією змінною і рівнянь, що зводяться до них х = 0;

6) 0,1х = 0,18.

854. Визначте, що має бути записано праворуч у рівнянні замість пропусків, якщо відомо його корінь:

1) 8х = … ;

Х = -9;

2) -9х = … ;

Х = 0;

3)  Лінійне рівняння з однією змінною. Розвязування лінійних рівнянь з однією змінною і рівнянь, що зводяться до нихХ = … ;

х = 12.

855. Знайдіть корінь рівняння:

1) 7х + 14 = 0;

2) 0, 3х – 21 = 0,5х – 23;

3) 1х + 3 = 6х – 13;

4) 5х + (3х – 7) = 9;

5) 47 = 10 – (9х + 2);

6) (3х + 2) – (8х + 6) = 14.

856. Розв’яжіть рівняння:

1)2х -10 = 0;

2) 1,4х – 12 = 0,9х + 4;

3) 3х + 14 = 5х – 16;

4) 12 – (5х + 10) = -3;

5) 6 – (8х + 11) = -1;

6) (3х – 4) – (6 – 4х) = 4.

857. Яке з рівнянь рівносильне рівнянню 5х = 10:

1) х + 3 = 5;

2) 5 – х = 7;

3) х + 2 = х + 1;

4) х – 7 = -5;

5) х = 8 – 3х;

6)1х – 7 = 4х?

858. Чи є рівняння рівносильними:

1) 4х – х = 17 і 3х = 17;

2) 5х – 9 = 3х і 6х = 21;

3) 2х = -12 і х + 6 = 0;

4) 12х = 0 і 15х = 15?

859. При якому значенні х значення виразу:

1) 3х + 7 дорівнює -2;

2) 4(х + 1) дорівнює значенню виразу 5х – 9?

860. При якому значенні у:

1) значення виразу 5у – 13 дорівнює -3;

2) значення виразів 3(у – 2) і 13у – 8 рівні між собою?

861. Розв’яжіть рівняння:

1) х +  Лінійне рівняння з однією змінною. Розвязування лінійних рівнянь з однією змінною і рівнянь, що зводяться до них = 5;

2) 2х –  Лінійне рівняння з однією змінною. Розвязування лінійних рівнянь з однією змінною і рівнянь, що зводяться до них = 1;

3)  Лінійне рівняння з однією змінною. Розвязування лінійних рівнянь з однією змінною і рівнянь, що зводяться до них +  Лінійне рівняння з однією змінною. Розвязування лінійних рівнянь з однією змінною і рівнянь, що зводяться до них = 8;

4)  Лінійне рівняння з однією змінною. Розвязування лінійних рівнянь з однією змінною і рівнянь, що зводяться до них Лінійне рівняння з однією змінною. Розвязування лінійних рівнянь з однією змінною і рівнянь, що зводяться до них = 1.

862. Знайдіть корінь рівняння:

1) х –  Лінійне рівняння з однією змінною. Розвязування лінійних рівнянь з однією змінною і рівнянь, що зводяться до них = 1;

2) 3х +  Лінійне рівняння з однією змінною. Розвязування лінійних рівнянь з однією змінною і рівнянь, що зводяться до них = 4;

2)  Лінійне рівняння з однією змінною. Розвязування лінійних рівнянь з однією змінною і рівнянь, що зводяться до них Лінійне рівняння з однією змінною. Розвязування лінійних рівнянь з однією змінною і рівнянь, що зводяться до них = 1;

4)  Лінійне рівняння з однією змінною. Розвязування лінійних рівнянь з однією змінною і рівнянь, що зводяться до них +  Лінійне рівняння з однією змінною. Розвязування лінійних рівнянь з однією змінною і рівнянь, що зводяться до них = 10.

863. Складіть лінійне рівняння, коренем якого є:

1) число -2;

2) число -0,2.

864. Складіть лінійне рівняння:

1) яке не має коренів;

2) коренем якого є будь-яке число.

865. Складіть лінійне рівняння, коренем якого було б:

1) число -8;

2) будь-яке число.

866. Знайдіть корінь рівняння:

1)(4х – 2) + (5х – 4) – 9 – (5 – 11х);

2) (7 – 8х) – (9 – 12х) – (5х + 4) = -16;

3) 3(4х – 5) – 10(2х – 1) = 33;

4) 9(3(х + 1) 2х) = 7(х + 1).

867. Розв’яжіть рівняння:

1) (9х – 4) + (15х – 5) = 18 – (25 – 22х);

2) (10х + 6) – (9 – 9х) + (8 – 11х) = -19;

3) 7(х – 1) – 3(2х + 1) = – х – 15;

4) 5(4(х – 1) – 3х) = 9х.

868. Розв’яжіть рівняння відносно х:

1) 2х + а = х + а;

2) b + х = с – х;

3) 6х + 2m = х – 8m;

4) 9а + х = 3b – 2х.

Р о з в ‘ я з а н н я.

4) 9a – х = 3b – 2х; х + 2х = 3b – 9а; 3х = 3(b – 3а). Поділимо обидві частини рівняння на 3. Одержимо: х = b – 3а.

Відповідь: b – 3а.

869. Розв’яжіть рівняння відносно х:

1) 7х + m = 2х + m;

2) а + х = 2m – х;

3) 3х + b = 9b – х;

4) 5р + 2х = 10а – 3х.

870. Чи є рівносильними рівняння:

1) 2х – 4 = 2 і 5(х – 3) + 1 = 3х – 8;

2) 5х + 3 = 8 і 7(х – 2) + 20 = 4х + 3;

3) 5х = 0 і 0 х = 5;

4) 7х + 1 = 7х 2 і 5(х + 1) = 5х + 5;

5) 0 : х = 7 і 0 ∙ х = 7;

6) 3(х – 2) = 3х – 6 і 2(х + 7) – 2(х + 1) + 12?

871. При якому значенні у значення виразу:

1) 5у + 7 утричі більше за значення виразу у + 5;

2) 2у – 4 на 7,4 більше за значення виразу 3 – 7у?

872. При якому значенні х значення виразу:

1) 7х + 8 удвічі більше за значення виразу х + 7;

2) 5х – 8 па 17,2 менше від значення виразу х + 2 ?

873. Складіть рівняння, яке було б рівносильним рівнянню 7(2х – 8) = 5(7х – 8) – 15х.

874. При якому значенні а рівняння:

1) 2ах = 16 має корінь, що дорівнює 4;

2) 3х – а має корінь, що дорівнює  Лінійне рівняння з однією змінною. Розвязування лінійних рівнянь з однією змінною і рівнянь, що зводяться до них;

3) 5(а + 1)х = 40 має корінь, що дорівнює -1 ?

875. При якому значенні b коренем рівняння:

1) 3bх = -24 є число -4;

2) (2а – 5)х = 45 с число 3?

876. Розв’яжіть рівняння:

1) 4х + 7 = 3(х – 2) + х:

2) 2х + 5 – 2(х – 4) + 13;

3) 2х(1 – 3х) + 5х(3 – х) = 17х – 8х2;

4) (7х3 + 2х2 – 4х – 5) – (6х3 – х2 + 2х) = 3х2 – (6х – х3).

877. Знайдіть корінь рівняння:

1) 3(х – 2) + 4х = 7(х -1) + 1;

2) 2(х + 1) + х = 6(х + 3);

3) 3х(2 + х) – 4 (1 – х2) = 7х2 + 6х;

4) (х2 + 4х – 8) – (7х – 2х2 – 5) = 3х2 – (3х + 3).

878. Розв’яжіть рівняння:

1)  Лінійне рівняння з однією змінною. Розвязування лінійних рівнянь з однією змінною і рівнянь, що зводяться до них +  Лінійне рівняння з однією змінною. Розвязування лінійних рівнянь з однією змінною і рівнянь, що зводяться до них = 10

2)  Лінійне рівняння з однією змінною. Розвязування лінійних рівнянь з однією змінною і рівнянь, що зводяться до них Лінійне рівняння з однією змінною. Розвязування лінійних рівнянь з однією змінною і рівнянь, що зводяться до них = 2

3) Лінійне рівняння з однією змінною. Розвязування лінійних рівнянь з однією змінною і рівнянь, що зводяться до них +  Лінійне рівняння з однією змінною. Розвязування лінійних рівнянь з однією змінною і рівнянь, що зводяться до них =  Лінійне рівняння з однією змінною. Розвязування лінійних рівнянь з однією змінною і рівнянь, що зводяться до них +  Лінійне рівняння з однією змінною. Розвязування лінійних рівнянь з однією змінною і рівнянь, що зводяться до них

4)  Лінійне рівняння з однією змінною. Розвязування лінійних рівнянь з однією змінною і рівнянь, що зводяться до них Лінійне рівняння з однією змінною. Розвязування лінійних рівнянь з однією змінною і рівнянь, що зводяться до них =  Лінійне рівняння з однією змінною. Розвязування лінійних рівнянь з однією змінною і рівнянь, що зводяться до них

879. Знайдіть корінь рівняння:

1)  Лінійне рівняння з однією змінною. Розвязування лінійних рівнянь з однією змінною і рівнянь, що зводяться до них +  Лінійне рівняння з однією змінною. Розвязування лінійних рівнянь з однією змінною і рівнянь, що зводяться до них = 5

2)  Лінійне рівняння з однією змінною. Розвязування лінійних рівнянь з однією змінною і рівнянь, що зводяться до них Лінійне рівняння з однією змінною. Розвязування лінійних рівнянь з однією змінною і рівнянь, що зводяться до них = 1

3) Лінійне рівняння з однією змінною. Розвязування лінійних рівнянь з однією змінною і рівнянь, що зводяться до них +  Лінійне рівняння з однією змінною. Розвязування лінійних рівнянь з однією змінною і рівнянь, що зводяться до них =  Лінійне рівняння з однією змінною. Розвязування лінійних рівнянь з однією змінною і рівнянь, що зводяться до них +  Лінійне рівняння з однією змінною. Розвязування лінійних рівнянь з однією змінною і рівнянь, що зводяться до них

4)  Лінійне рівняння з однією змінною. Розвязування лінійних рівнянь з однією змінною і рівнянь, що зводяться до них Лінійне рівняння з однією змінною. Розвязування лінійних рівнянь з однією змінною і рівнянь, що зводяться до них =  Лінійне рівняння з однією змінною. Розвязування лінійних рівнянь з однією змінною і рівнянь, що зводяться до них

880. Розв’яжіть рівняння:

1)  Лінійне рівняння з однією змінною. Розвязування лінійних рівнянь з однією змінною і рівнянь, що зводяться до них Лінійне рівняння з однією змінною. Розвязування лінійних рівнянь з однією змінною і рівнянь, що зводяться до них +  Лінійне рівняння з однією змінною. Розвязування лінійних рівнянь з однією змінною і рівнянь, що зводяться до них =  Лінійне рівняння з однією змінною. Розвязування лінійних рівнянь з однією змінною і рівнянь, що зводяться до них

2) х2 – 5х + 3 – 6х2 – 30х +  Лінійне рівняння з однією змінною. Розвязування лінійних рівнянь з однією змінною і рівнянь, що зводяться до них =  Лінійне рівняння з однією змінною. Розвязування лінійних рівнянь з однією змінною і рівнянь, що зводяться до них .

881. Розв’яжіть рівняння:

1)  Лінійне рівняння з однією змінною. Розвязування лінійних рівнянь з однією змінною і рівнянь, що зводяться до них Лінійне рівняння з однією змінною. Розвязування лінійних рівнянь з однією змінною і рівнянь, що зводяться до них +  Лінійне рівняння з однією змінною. Розвязування лінійних рівнянь з однією змінною і рівнянь, що зводяться до них =  Лінійне рівняння з однією змінною. Розвязування лінійних рівнянь з однією змінною і рівнянь, що зводяться до них

2) х2 – 7х + 4 – 4х2 – 28х +  Лінійне рівняння з однією змінною. Розвязування лінійних рівнянь з однією змінною і рівнянь, що зводяться до них =  Лінійне рівняння з однією змінною. Розвязування лінійних рівнянь з однією змінною і рівнянь, що зводяться до них.

882. При якому значенні b рівняння мають однакові корені:

1) 4х – 3 = 5 і 3х + b = 17;

2) х + 6 = 9 і 2х – b = х?

883. Розв’яжіть рівняння:

1) 2(|х| – 3) = |х);

2) |2х +1| = 7.

884. Розв’яжіть рівняння:

1)|х + 1| = 0,2;

2) 2(|х| – 3 ) = |х|).

885. Знайдіть усі цілі значення m, при яких корінь рівняння mх = 4 є цілим числом.

886. Знайдіть усі цілі значення b, при яких корінь рівняння bх – -6 є натуральним числом.

Вправи для повторення

887. Тетянка на канікулах розв’язала х задач з математики, а її однокласник Ігор – на 18 задач більше. Виразіть через х кількість задач, які розв’язав Ігор.

888. Подайте вираз у вигляді многочлена:

1) (7х – 1)2 – (2х – 1)(3х -1);

2) (2х – 3)(2х + 3) – (4х – 5)(х + 1);

3) 8х(2х – 5) – (4х – + 3)2;

4) (4х – 7)(4х + 7) (2х – 5)(2х + 5).

889. Знайдіть нулі функції:

1) у – 36 – х2;

2) у =  Лінійне рівняння з однією змінною. Розвязування лінійних рівнянь з однією змінною і рівнянь, що зводяться до нихХ2 – 3х.

890. Побудуйте графік функції:

 Лінійне рівняння з однією змінною. Розвязування лінійних рівнянь з однією змінною і рівнянь, що зводяться до них

Цікаві задачі для учнів неледачих

891. Відомо, що х + у = 13. При яких натуральних значеннях х і у вираз ху набуває найбільшого значення?




Лінійне рівняння з однією змінною. Розв’язування лінійних рівнянь з однією змінною і рівнянь, що зводяться до них