Магнітне поле постійного електричного струму. Закон Біо – Савара – Лапласа

ФІЗИКА

Частина 3 ЕЛЕКТРИКА І МАГНЕТИЗМ

Розділ 9 МАГНЕТИЗМ. МАГНІТНЕ ПОЛЕ ЕЛЕКТРИЧНОГО СТРУМУ

9.3. Магнітне поле постійного електричного струму. Закон Біо – Савара – Лапласа

У 1820 р. французькі вчені Ж. Біо і Ф. Савар дослідили магнітні поля, створені в повітрі прямолінійним струмом, коловим струмом, соленоїдом тощо. На основі багатьох дослідів вони дійшли таких висновків:

А) в усіх випадках індукція В магнітного поля електричного струму пропорційна силі струму;

Б) магнітна індукція залежить від форми й розмірів провідника

зі струмом;

В) магнітна індукція В у довільній точці поля залежить від положення цієї точки щодо провідника зі струмом.

Ж. Біо і Ф. Савар намагалися знайти загальний закон, який би дав змогу визначити індукцію в кожній точці магнітного поля, утвореного електричним струмом, що проходить по провідниках довільної форми. Проте зробити це їм не вдалося. На їхнє прохання це завдання розв’язав видатний французький учений П. Лаплас. Урахувавши векторний характер індукції В, він висловив важливу гіпотезу про те, що індукція  Магнітне поле постійного електричного струму. Закон Біо   Савара   Лапласа у кожній точці магнітного поля довільного провідника зі струмом

є векторною сумою індукцій Δ Магнітне поле постійного електричного струму. Закон Біо   Савара   Лапласа елементарних магнітних полів, утворених кожною ділянкою Δl цього провідника (рис. 9.4). Інакше кажучи, П. Лаплас скористався принципом суперпозиції для магнітних полів. Він узагальнив результати експериментів Ж. Біо і Ф. Савара у вигляді диференціального закону, який пізніше дістав назву закону Біо – Савара – Лапласа:

 Магнітне поле постійного електричного струму. Закон Біо   Савара   Лапласа

У векторній формі закон Біо – Савара – Лапласа має такий вигляд:

 Магнітне поле постійного електричного струму. Закон Біо   Савара   Лапласа

Де I – сила струму, що проходить по провіднику; Δ Магнітне поле постійного електричного струму. Закон Біо   Савара   Лапласа – вектор, що чисельно дорівнює довжині Δl елемента провідника і за напрямом збігається з напрямом електричного струму;  Магнітне поле постійного електричного струму. Закон Біо   Савара   Лапласа – радіус-вектор, проведений від елемента провідника Δl у досліджувану точку поля; r – модуль радіуса-вектора  Магнітне поле постійного електричного струму. Закон Біо   Савара   Лапласа; α – кут між Δl і радіусом-вектором  Магнітне поле постійного електричного струму. Закон Біо   Савара   Лапласа; k’ – коефіцієнт пропорційності, що залежить від вибору одиниць фізичних величин, які входять у формули (9.4) і (9.5), а також від магнітних властивостей навколишнього середовища. Напрям вектора Δ Магнітне поле постійного електричного струму. Закон Біо   Савара   Лапласа визначається напрямом векторного добутку, а тому вектор Δ Магнітне поле постійного електричного струму. Закон Біо   Савара   Лапласа перпендикулярний до площини, що містить вектори Δ Магнітне поле постійного електричного струму. Закон Біо   Савара   Лапласа I  Магнітне поле постійного електричного струму. Закон Біо   Савара   Лапласа, і напрямлений так, що з кінця вектора Δ Магнітне поле постійного електричного струму. Закон Біо   Савара   Лапласа поворот від вектора Δ Магнітне поле постійного електричного струму. Закон Біо   Савара   Лапласа до суміщення з вектором  Магнітне поле постійного електричного струму. Закон Біо   Савара   Лапласа за найкоротшим шляхом відбувається проти ходу стрілки годинника.

 Магнітне поле постійного електричного струму. Закон Біо   Савара   Лапласа

Рис. 9.4

У СІ  Магнітне поле постійного електричного струму. Закон Біо   Савара   Лапласа, де μ – відносна магнітна проникність середовища, а μ0 – магнітна стала. Тоді

 Магнітне поле постійного електричного струму. Закон Біо   Савара   Лапласа

Таку форму запису закону Біо – Савара – Лапласа називають раціоналізованою. Далі користуватимемося саме нею.

Формули (9.4)-(9.6) визначають індукцію магнітного поля, що спричинюється в даній точці А елементом струму Δl. Повна індукція магнітного поля  Магнітне поле постійного електричного струму. Закон Біо   Савара   Лапласа у точці А дорівнюватиме векторній сумі Δ Магнітне поле постійного електричного струму. Закон Біо   Савара   Лапласа полів усіх елементів, на які умовно розбито контур зі струмом:

 Магнітне поле постійного електричного струму. Закон Біо   Савара   Лапласа

Крім магнітної індукції  Магнітне поле постійного електричного струму. Закон Біо   Савара   Лапласа вводиться також інша векторна характеристика магнітного поля, яку називають напруженістю. Напруженість магнітного поля  Магнітне поле постійного електричного струму. Закон Біо   Савара   Лапласа не залежить від магнітних властивостей середовища і характеризує магнітне поле, що його створює струм.

У випадку однорідного й ізотропного середовища

 Магнітне поле постійного електричного струму. Закон Біо   Савара   Лапласа

Закон Біо – Савара – Лапласа можна записати і для напруженості магнітного поля

 Магнітне поле постійного електричного струму. Закон Біо   Савара   Лапласа

Або у векторній формі

 Магнітне поле постійного електричного струму. Закон Біо   Савара   Лапласа

Порівняння векторних характеристик електростатичного ( Магнітне поле постійного електричного струму. Закон Біо   Савара   Лапласа і  Магнітне поле постійного електричного струму. Закон Біо   Савара   Лапласа) та магнітного ( Магнітне поле постійного електричного струму. Закон Біо   Савара   Лапласа і  Магнітне поле постійного електричного струму. Закон Біо   Савара   Лапласа) полів показує, що аналогом вектора напруженості електростатичного поля  Магнітне поле постійного електричного струму. Закон Біо   Савара   Лапласа є вектор магнітної індукції  Магнітне поле постійного електричного струму. Закон Біо   Савара   Лапласа, оскільки  Магнітне поле постійного електричного струму. Закон Біо   Савара   Лапласа і  Магнітне поле постійного електричного струму. Закон Біо   Савара   Лапласа визначають силові дії полів і залежать від властивостей середовища, в якому створено відповідні поля. У свою чергу, аналогом вектора електричної індукції  Магнітне поле постійного електричного струму. Закон Біо   Савара   Лапласа є вектор напруженості  Магнітне поле постійного електричного струму. Закон Біо   Савара   Лапласа магнітного поля.

Розглянемо застосування закону Біо – Савара – Лапласа до розрахунків конкретних полів.

Визначимо індукцію магнітного поля струму, що проходить по нескінченно довгому прямолінійному провіднику, в точці А, яка розміщена на відстані R від провідника (рис. 9.5). За законом Біо – Савара – Лапласа елемент Δli провідника зі струмом І створює в точці А магнітне поле з індукцією

 Магнітне поле постійного електричного струму. Закон Біо   Савара   Лапласа

Оскільки вектори Δ Магнітне поле постійного електричного струму. Закон Біо   Савара   ЛапласаI i  Магнітне поле постійного електричного струму. Закон Біо   Савара   ЛапласаІ для всіх ділянок прямолінійного провідника містяться у площині рисунка, всі вектори Δ Магнітне поле постійного електричного струму. Закон Біо   Савара   ЛапласаI, що характеризують магнітні поля, від окремих елементів провідника в точці А напрямлені перпендикулярно до площини рисунка (до читача). Це спрощує визначення індукції  Магнітне поле постійного електричного струму. Закон Біо   Савара   Лапласа результуючого магнітного поля. Вектор  Магнітне поле постійного електричного струму. Закон Біо   Савара   Лапласа напрямлений також перпендикулярно до площини рисунка, а його модуль дорівнює алгебраїчній сумі модулів векторів Δ Магнітне поле постійного електричного струму. Закон Біо   Савара   Лапласа:

 Магнітне поле постійного електричного струму. Закон Біо   Савара   Лапласа

 Магнітне поле постійного електричного струму. Закон Біо   Савара   Лапласа

Рис. 9.5

Із трикутників abc і Aba (див. рис. 9.5), які мають спільну сторону аb, випливає, що  Магнітне поле постійного електричного струму. Закон Біо   Савара   Лапласа Звідси

 Магнітне поле постійного електричного струму. Закон Біо   Савара   Лапласа

Розділивши ліву і праву частини рівності (9.13) на ri2 і замінивши ri sin αi = R, дістанемо

 Магнітне поле постійного електричного струму. Закон Біо   Савара   Лапласа

Підставивши вираз (9.14) у (9.12), перейдемо до інтегрування, беручи Δαi та Δli нескінченно малими. У випадку нескінченно довгого прямолінійного провідника кут φ змінюватиметься від 0 до π. Ці значення візьмемо за межі інтегрування. Тоді можна записати

 Магнітне поле постійного електричного струму. Закон Біо   Савара   Лапласа

Отже, індукція В у кожній точці магнітного поля нескінченно довгого прямолінійного провідника зі струмом І прямо пропорційна силі струму і обернено пропорційна найкоротшій відстані цієї точки від провідника зі струмом.

Напруженість магнітного поля нескінченно довгого прямолінійного провідника зі струмом визначають за формулою

 Магнітне поле постійного електричного струму. Закон Біо   Савара   Лапласа

Обчислимо індукцію магнітного поля в центрі колового струму. Нехай струм проходить по кільцевому провіднику радіуса R. Тоді, за законом Біо – Савара – Лапласа, індукція магнітного поля dВ від елемента dl у центрі кільця буде

 Магнітне поле постійного електричного струму. Закон Біо   Савара   Лапласа

Оскільки в цьому разі r = R і α =  Магнітне поле постійного електричного струму. Закон Біо   Савара   Лапласа, то

 Магнітне поле постійного електричного струму. Закон Біо   Савара   Лапласа

Напруженість магнітного поля в центрі колового струму визначають зі співвідношення

 Магнітне поле постійного електричного струму. Закон Біо   Савара   Лапласа

Аналогічно можна показати, що індукція та напруженість магнітного поля нескінченно довгого соленоїда на його осі

 Магнітне поле постійного електричного струму. Закон Біо   Савара   Лапласа

Де n – число витків, що припадає на одиницю довжини соленоїда.




Магнітне поле постійного електричного струму. Закон Біо – Савара – Лапласа