Множення двох многочленів

Урок № 35

Тема. Множення двох многочленів

Мета: сформувати в учнів знання алгоритму множення двох багаточленів як наслідку з алгоритму множення одночлена на багаточлен; виробити вміння перетворювати добуток двох багаточленів у багаточлен стандартного вигляду за названим алгоритмом.

Тип уроку: засвоєння знань.

Хід уроку

I. Перевірка домашнього завдання

@ Обов’язково перевіряємо № 2, бо в ньому відпрацьовуються вміння складати рівняння за текстовим завданням. Бажано звернути увагу на те, що за одними й тими

самими умовами можна скласти не одне, а кілька (у даному випадку 3) рівносильних рівнянь (див. 5 клас), серед яких змісту дії віднімання найбільше відповідає рівняння 3(2х2 + 5) – 4(1,5х2 – 2х) = 6.

II. Актуалізація опорних знань

1. Що таке багаточлен?

2. У чому полягає зведення багаточленів до стандартного вигляду?

3. Які тотожні перетворення багаточленів вам відомі?

4. Чому дорівнює добуток одночлена на багаточлен? Яка властивість арифметичних дій при цьому використовується?

5. Чи будь-який добуток одночлена на багаточлен можна перетворити у багаточлен стандартного вигляду?

III. Робота з випереджальним

домашнім завданням

@ Ідеальним варіантом проведення цього етапу уроку було б зіставлення результатів виконання випереджального домашнього завдання усіх трьох типів (запропонованих на попередньому уроці, бо таке зіставлення (порівняння) допомагає різнобічно побачити проблему множення багаточлена на багаточлен, а отже, домогтися свідомого розуміння алгоритму множення двох багаточленів). У такому, ідеальному, випадку варіант дій учителя й учнів може бути: три учні, які отримали завдання №3, 3а та 3b, відповідно, презентують виконане завдання і роблять свої висновки, після чого результати обговорюються (під час фронтальної бесіди) та коригуються (у разі необхідності), проводиться відповідний запис на дошці і в зошитах учнів.

IV. Узагальнення висновків, яких дійшли під час перевірки випереджального домашнього завдання. Засвоєння знань

@ Щоб узагальнити висновки і сформулювати загальний алгоритм множення двох багаточленів, учитель пропонує прочитати утворені рівності, використовуючи спочатку поняття “сума”, “добуток”, “доданок”, а потім замінивши ці поняття на більш широкі: “багаточлен”, “член багаточлена”, “добуток”, “сума”. Дуже важливо, щоб учні зрозуміли зміст сформованого алгоритму, а також акцентуємо увагу учнів на тому, що в загальній тотожності, яка виражає зміст цього алгоритму:

(a + b)(c + d) = ac + bc + ad + bd,

Де a, b, c, d – це не тільки числа, але й вирази. У зошитах учнів після обговорення бажано записати як алгоритм, так і формулу.

Конспект 11

Множення двох багаточленів

У словесній формі

У вигляді тотожності

Щоб помножити багаточлен на багаточлен, треба кожний член першого багаточлена помножити на кожний член другого багаточлена й утворені добутки додати.

 Множення двох многочленів

Приклади:

1) (а + 2)(Ь + 1) = аb + 2b + а • 1 + 2 • 1 = ab+ 2b + а+ 2;

2) (2х2 – ху + 4у2)(2х – 3у) = 2х2 • 2х – ху • 2х + 4у2 • 2х + 2х2 • (-3у) + (-ху) • (-3у) + 4у2 • (-3у) = 4х3 – 2х2у + 8ху3 – 6х2у + 3ху2 – 12у2 = 4х2 – 8х2у + 11ху2 – 12у3.

Зауваження:

1) у результаті множення двох багаточленів утворюється багаточлен;

2) багаточлен – добуток, зводимо до стандартного вигляду (якщо це можливо)

V. Засвоєння вмінь

@ Оскільки алгоритм, сформульований на уроці, є зовсім новим для учнів, вироблення вмінь його застосовувати починаємо з найпростіших вправ, в яких знаходимо добуток лінійних виразів різного типу. При цьому, у разі необхідності, головне – детальний покроковий запис виразів згідно з вивченим алгоритмом і обгрунтованими усними міркуваннями, наприклад:

(а – х)(b – у) = а • b + (-х) • b + а • (-у) + (-х) • (-у) = аb – bх – ау + ху.

При цьому нагадуємо учням про культуру запису (буквені множники у складі членів багаточлена записуємо в алфавітному порядку).

Під час виконання таких найпростіших завдань корисно звернути увагу учнів на те, що в результаті множення багаточлена, що містить т членів, на багаточлен, що містить п членів, у добутку утвориться багаточлен, що містить тп членів (можна спонукати учнів зробити цей загальний висновок, виходячи з їхніх умінь розв’язувати найпростіші комбінаторні задачі).

Якщо учні засвоюють цей вид роботи, можна переходити до розв’язування завдань, в яких, окрім вказаного алгоритму, обережно вводяться інші, відомі учням перетворення (але і в цих завданнях не слід згортати записи, бо головна мета – вироблення вмінь правильного застосування алгоритму множення двох багаточленів).

Виконання письмових вправ

1. Виконайте множення:

1) (х + m)(у + n);

2) (а – b)(х + у);

3) (а – х)(b – у);

4) (х + 8)(у – 1);

5) (b – 3)(а – 2);

6) (-а + у)(-1 – у).

2. Спростіть вираз:

1) (x + 6)(x + 5);

2) (a – 4)(a + 1);

3) (2 – у)(y – 8);

4) (a – 4)(2a + 1);

5) (2у – 1)(3у + 2);

6) (5х – 3)(4 – 3х).

3. Запишіть у вигляді багаточлена вираз:

1) (х2 + у)(х + у2);

2) (m – n)(m2 + 2n2);

3) (4a2 + b2)(3a2 – b2);

4) (5×24х)(х + 1).

4. Подайте у вигляді багаточлена вираз:

1) (х2 + ху – у2)(х + у);

2) (n2 – nр + р2)(n – р);

3) (а + х)(а2 – ах – x2);

4) (b – c)(b2 – bc – c2).

5. Розкрийте дужки:

1) (4n2 – 6nр + 9р2)(2n + 3р + 1);

2) (х2 – х + 2)(3х2 + х + 2).

6*. Подайте у вигляді багаточлена:

1) у2(y + 5)(y – 3);

2) -2a2(a – 1)(3 – a);

3) (x + 1)(x + 2)(x + 3);

4) (а – 1)(а – 4)(а + 5);

5) (х + 2)(х – 5) – 3х;

6) х3 – (х2 – 3х)(х + 3).

VI. Підсумок уроку
Бліц-тест

1. Яка з рівностей правильна? Чому?

1) (х + у)(а + b) = ха + уb;

2) (х + у)(а + b) = ау + bх;

3) (х + у)(а + b) – ax + ay + bx;

4) (х + у)(а + b) = ах + ау + bх + bу.

2. Який з виразів є добутком багаточленів (а + 5) та (а + 3)?

1) a2 + 5a + 3a + 3;

2) 2a + 5a + 3a + 15;

3) а2 + 8a + 15;

4) a2 + 5a + 3a + 8.

VII. Домашнє завдання

Спираючись на алгоритм множення двох багаточленів:

№ 1. Перетворіть у багаточлен вираз:

1) (а + 2)(а – 3);

2) (m – 4)(m + 5);

3) (3х – 1)(2х + 5);

4) (4х – у)(2х – 3у);

5) (-х – 2)(2х3 – 3);

6) (у + 3)(у2 – 2у + 5);

7) 2х(3х – 1)(2х + 5);

8) (у – 7)(у + 1)(у + 2);

9) (3 – 2а + а2)(4а2 – 3a – 1).

№ 2. Випереджальне. 1) Повторіть означення степеня числа з натуральним показником (за підручником або конспектом).

2) Використовуючи повторене означення, подайте у вигляді добутку вирази: а) (а + b)2; б) (а + b)3; в) (а + b)4; г) (а – b)2; д) (а – b)3; е) (а – b)4.

Чи можна перетворити ці добутки у багаточлен стандартного вигляду? Чому? Як?




Множення двох многочленів