Множення многочлена на многочлен

Розділ 1. ЦІЛІ ВИРАЗИ

& 11. Множення многочлена на многочлен

Помножимо многочлен a + b на многочлен х + у. Позначимо многочлен х + у буквою m. Маємо:

(а + b)(х + у) = (а + b)m = am + bm.

У виразі am + bm підставимо замість m многочлен х + у і знову скористаємося правилом множення одночлена на многочлен:

Am + bm – а(х + у) + b(х + у) = ах + ау + bх + by.

Отже,

(а + b)(х + у) = ах + ay + bх + by.

Многочлен ах + ау + bх + by є сумою всіх одночленів, які одержано множенням кожного члена многочлена а + b на кожний член многочлена х + у.

Приходимо до правила множення многочлена

на многочлен.

Процес множення многочлена на многочлен можна подати схематично:

 Множення многочлена на многочлен

Результатом множення многочлена на многочлен є многочлен. Якщо перший із співмножників добутку містить m членів, а другий – n членів, то, перемноживши їх, одержимо многочлен, що міститиме mn членів, а після зведення подібних доданків ця кількість може зменшитися.

Приклад 1. Виконати множення (2х – у)(4х – 3ху + 2у).

Р о з в’ я з а н н я.

(2х – у)(4х – 3ху + 2у) = 8х2 – 6х2у + 4ху4ху + 3ху2 – 2y2 = 8×2 – 6х2у + 3ху2 – 2у2.

Приклад 2. Спростити вираз (2х – 7)(x –

3) – 2х(х + 4).

Р о з в ‘ я з а н н я.

(2х – 7)(х – 3) – 2х(х + 4) – 2х27X + 21 – 2X28X = -21x + 21.

Якщо необхідно перемножити більше ніж два многочлени, то спочатку перемножають деякі два з них, потім отриманий результат множать на третій многочлен і т. д.

Приклад 3. Виконати множення: (х – 2)(х + 3)(х + 1).

Р о з в ‘ я з а н н я.

Спочатку помножимо перший многочлен на другий, а потім отриманий результат помножимо на третій многочлен:

(х – 2)(х + 3)(х + 1) = (х2 + – 6)(х + 1) = (х2 + х – 6) ∙ (х + 1) = х3 + Х3 + Х2 + Х – 6 = х3 + 2х2 – 5х – 6.

Сформулюйте правило множення многочлена на многочлен. Як перемножити більше ніж два многочлени?

339. (Усно.) Знайдіть добуток:

1) (х + y) (m + p);

2) (с – 2)(b + 1);

3) (3 – t)(a – b);

4) (1 – р)(2 – а).

340. Виконайте множення:

1) (а – b)(х + у);

2) (с + d)(m + n);

3) (с – а)(m – у);

4) (а + 5)(b – 2).

341. Перемножте двочлени:

1) (с – 8)(d + 1);

2) (m + n)(а + b);

3) (а + 2)(x – 3);

4) (m – р)(а – d).

342. Спростіть вираз:

1) (а + 3)(а + 2);

2) (у – 2)(у + 4);

3) (2 – р)(р + 1);

4) (b – 5)(2b + 1);

5) (3а – 4)(2а + 1);

6) (5у – 3)(1 – 2у).

343. Спростіть вираз:

1) (у + 2)(у – 3);

2) (а – 3)(а – 2);

3) (4 – р)(р + 3);

4) (5а – 2)(а + 3);

5) (4b – 3)(2b – 1)

6) (7m – 2x(1 + 2m).

344. Подайте вираз у вигляді многочлена стандартного вигляду:

1) (2 + 4х)(2у – 1);

2) (x2 + а)(x – а2);

3) (4р – 2m)(3р + 5m);

4) (2×2 – 1)(3х + 1);

5) (7×2 – 4х)(3х – 2);

6) (6 – 2)(3b3 – 4b2);

7) (m2 – 2m)(3m – 7m2);

8) (n3 – 2n2)(n + 7).

345. Спростіть вираз:

1) (3m2 – р)(m2 + р);

2) (5а2 + 6)(b2 – 4а2);

3) (12а2 – 3)(5а – 7а2);

4) (2а3 – 3а2)(а + 5).

346. Виконайте множення:

1) (m – n)(a + b – 1);

2) (3 – а)(р + 5 – m);

3) (а + х – 3)(n + 2);

4) (с – d – 7)(x + у).

347. Перетворіть вираз на многочлен:

1) (а + 6)(m – 2 + р);

2) (5 – x)(m – n – р);

3) (х + у – 2)(а – m);

4) (р + q + 3)(-а – x).

348. Виконайте дії:

1) (2х + 7х2 – 4) + 28;

2) 5m2 + (3 – 5m)(m + 2);

3) (а + 7)(а – 2) – а(а + 5);

4) (26 + 1)(3b – 1) – (6b2 – 1).

349. Спростіть вираз:

1) (2р – 1)(3р + 5) – 6р2;

2) 12 + (3m – 2)(5m + 6);

3) (m + 3)(m – 5) – m(m – 2);

4) (3а – 2)(4а + 1) – (12а2 – 2).

350. Перетворіть вираз на многочлен стандартного вигляду і знайдіть його значення:

1) (2а – 3)(3а + 5) – 6а2, якщо а = 13,5;

2) (5х – 1)(1 – 2х) – 7х, якщо х = -2.

351. Спростіть вираз і обчисліть його значення:

1) (7х + 3)(2х – 1) – 14х2, якщо х = -8;

2) (2а + 4)(1 – 3а) + 10а, якщо а = -1.

352. Виконайте дії:

1) х(х – 5) + (х + 4)(х + 2);

2) (m + 3)(m – 4) – m(m – 1) + 5;

3) (а + 3)а – (а + 1) + (4 – а)(4 + а);

4) (у + 2)(у – 3) – 2у(1 – у).

353. Спростіть вираз:

1) (5x -1)(4x + 7) – 4x(5x – 8);

2) (а + 3)(а – 2) – а(а + 9) + 6;

3) 2x(3x – 1) + (x – 9)(5x – 6);

4) (2x + 3)(5x – 4) – 2x(x – 3) – 13(x – 1).

354. Розв’яжіть рівняння:

1) (x – 1)(x + 2) – х2 = -8;

2) (3x + 1)(5 – 2x) + 6×2 = 5.

355. Розв’яжіть рівняння:

1) (х + 3)(2x – 1) – 2х2 = 7;

2) 10х2 + (5х – 1)(4 – 2х) = -4.

356. Перетворіть вираз на многочлен стандартного вигляду:

1) (а2 + ab – b2)(а – b);

2) (х2 – ху – у2)(х + у);

3) (m – n)(-m2 – 3mn + n2);

4) (р – 2)(р2 + 3р – 4);

5) (9 – 5m – m2)(m – 2);

6) (у2 – 3у – 7)(4у – 2).

357. Виконайте множення та спростіть одержаний вираз:

1) (а + b)(-a2 + ab + аb – b2);

2) (х – у)(-х2 – ху + у2);

3) (7а2 + а – 1)(а + 1);

4) (2m2 – 3m – 2)(m + 5).

358. Перетворіть на многочлен стандартного вигляду:

1) (3m + 2n)(9m2 – 6nn + 4n2);

2) (4х2 + 10ху + 25у2)(2х – 5у);

3) (-x2 + 3ха – а2)(х + 2а);

4) (3m – х)(5mх – m2 + х2).

359. Подайте добуток у вигляді многочлена:

1) (3х – у)(9х2 + 3ху + у2);

2) (9а2 – 2аb – b2)(3а + 2b).

360. Виконайте дії:

1) 9m2 – (3m – 2)(3m + 7);

2) 18у – (3у + 1)(6у + 4);

3) (а + 4)а – (а + 2)(а – 2);

4) (b + 7)(b + 1) – (b + 8)(b – 1).

361. Спростіть вираз:

1) 8х – (х + 5)(х + 3);

2) а(а + 8) – (а + 2)(а – 5);

3) 12х2 + 5 – (4х + 7)(3х – 1);

4) (х + 1)(х – 5) – (х + 3)(x – 7).

362. Перетворіть на многочлен стандартного вигляду:

1) а2(а – 2)(а + 5);

2) -5m2(m – 1)(2 – m);

3) -4х3(2х – 3)(х – х2);

4) 0,2b2(5b + 10)(b2 – 2).

363. Розкрийте дужки і спростіть одержаний вираз:

1) m2(m – 4)(m + 2);

2) – а2(2а – 3)(3а + 7);

3) -5b3(2b + b2)(x – 1);

4) 0,5х2(2х – 6)(х2 + х).

364. Доведіть тотожність:

1) (m – 3m)(m + 7) – 10 = (m + 8)(m – 4) + 1;

2) (2х – )(3х + 5) + 9х = (3х – 1)(2х + 5) + 3х.

365. Доведіть, що для кожного значення змінної а:

1) значення виразу (а – 8)(а + 3) – (а – 7)(а + 2) дорівнює 10;

2) значення виразу (а2 – 2)(а2 + 5) – (а2 – 4)(а2 + 4) – 3а2 дорівнює 6.

366. Доведіть, що значення виразу не залежить від значення змінної:

1) (m – 7)(m + 1) – (m + 2)(m – 8);

2) а2(a2 – 1) – (а2 – 2)(а2 + 3) + 2а2.

367. Доведіть, що при будь-якому значенні змінної а значення виразу (а + 7)(а – 3) – 4(а – 8) є додатним числом.

368. Запишіть вираз у вигляді многочлена:

1) (х – у)2;

2) (р + 2а)2;

3) (4х – 3у)2;

4) (7а + 2b)2.

369. Перетворіть вираз на многочлен:

1) (2а – 3b)2;

2) (4x + 5у)2.

370. Спростіть вираз і обчисліть його значення:

1) (2х2 – x)(3×2 + х) – (х2 + х)(6×2 – 2х), якщо х = -2;

2) (а + 2b)(а2 – 2ab + 4b2) – 8b3, якщо а = 3, b = – 2015.

371. Спростіть вираз і знайдіть його значення:

1) (х – 9)(x + 9) – (х – 3)(х + 27), якщо х = 1  Множення многочлена на многочлен ;

2) 8а3 – (2а – 3b)(4а2 + 6аb + 9b2), якщо а = –  Множення многочлена на многочлен, b =  Множення многочлена на многочлен.

372. Знайдіть корені рівняння:

1) 4x – (х + 2)(х – 3) = (5 – x)(x + 3);

2) 2х(х + 1) – (х + 2)(x – 3) = х2 + 7.

373. Розв’яжіть рівняння:

1) х(2х – 5)- х2 = 2 – (х – 1)(2 – x);

2) 2×2 – (х + 1)(x + 19) = (х + 3x)(x – 2) + 8.

374. Замість зірочки запишіть такі одночлени, щоб рівність стала тотожністю:

1) (х – 1)(* + 3) = х2 + * – *;

2) (у + 2)(у -*) = * + у – *.

375. Доведіть, що для будь-якого натурального значення n значення виразу:

1) (n + 2)(n + 3) – n(n – 1) є кратним числу 6;

2) (n – 5)(n + 8) + (n + 1)(2n – 5) + 46 при діленні на 3 дає в остачі 1.

376. Знайдіть три послідовних натуральних числа, якщо квадрат меншого з них на 44 менший від добутку двох інших.

377. Дано два добутки 27 ∙ 18 і 12 ∙ 42. На яке одне й те саме число треба зменшити кожен із чотирьох множників, щоб значення нових добутків стали між собою рівними?

378. Дано два добутки 22 ∙ 15 і 27 ∙ 12. На яке одне й те саме число треба збільшити кожен із чотирьох множників, щоб значення нових добутків стали між собою рівними?

379. Виконайте множення:

1) (а2 – 2а + 1)(а2 + 3а – 7);

2) (7 – 2b + 3b)(2b2 – 2b – 1).

380. Виконайте множення:

1) (х2 – х – 1)(х2 + 3x + 5);

2) (7 – а – 2а2)(а2 + 3а – 1).

381. Знайдіть чотири послідовних цілих числа, якщо добуток двох більших з них на 78 більший за добуток двох менших.

382. Знайдіть чотири послідовних натуральних числа, якщо добуток двох менших з них на 102 менший від добутку двох більших.

383. Перетворіть вираз на многочлен стандартного вигляду:

1) (а + 2)(а – 1)(а + 3);

2) (а – 4)(а – 7)(а + 1).

384. Виконайте множення:

1) (х + 1)(x4 – х3 + х2 – х + 1);

2) (b – 1)(b4 + b3 + b2 + b + 1).

385. Периметр прямокутника дорівнює 60 см. Якщо його довжину збільшити на 1 см, а ширину зменшити на 3 см, то його площа зменшиться на 45 см2. Знайдіть довжину і ширину даного прямокутника.

Вправи для повторення

386. Швидкість автомобіля 70 км/год, а мотоцикла – км/год. Шлях від села до міста мотоцикл долає на 2 год довше, ніж автомобіль. Знайдіть відстань від села до міста.

387. Знайдіть додатне число, яке при піднесенні до квадрата:

1) збільшується у 4 рази; 2) зменшується у 5 разів.

388. У першій каністрі було втричі більше бензину, ніж у другій. Коли з першої каністри перелили 2 л у другу, виявилося, що тепер об’єм бензину другої каністри складає  Множення многочлена на многочлен від об’єму першої. Скільки бензину було у кожній каністрі спочатку?

389. Подайте вираз у вигляді різниці двох многочленів, один з яких містить змінну х, а другий – її не містить:

1) (5х2 – 8b + а) – (b2 – 5х + 1) – (2b – х2 + 7х);

2) (8mх2 + 7mn2 – р) – (х2 + mх2 + 2р) – 17х.

Цікаві задачі для учнів неледачих

390. Обчисліть: 2  Множення многочлена на многочлен ∙ 4  Множення многочлена на многочлен + 3  Множення многочлена на многочлен Множення многочлена на многочлен.


1 Star2 Stars3 Stars4 Stars5 Stars (2 votes, average: 4,00 out of 5)


Множення многочлена на многочлен - Математика


Множення многочлена на многочлен