Об’єм прямокутного паралелепіпеда і куба

Розділ 1 НАТУРАЛЬНІ ЧИСЛА І ДІЇ З НИМИ. ГЕОМЕТРИЧНІ ФІГУРИ І ВЕЛИЧИНИ

§ 26. Об’єм прямокутного паралелепіпеда і куба

Сірникова коробочка повністю вміщується у пеналі, пенал – у коробці з-під взуття. Кажуть, що об’єм пенала більший за об’єм сірникової коробочки, а об’єм коробки з-під взуття більший за об’єм пенала.

Об’єм має кожне тіло. Об’єм можна вимірювати і виражати числом, якщо задано одиницю об’єму. За одиницю об’єму беруть об’єм одиничного куба, тобто об’єм куба, довжина ребра якого дорівнює 1 одиниці

довжини: 1 мм, 1 см, 1 дм тощо. Одиницями об’єму є, наприклад, 1 кубічний сантиметр (1 см3) – об’єм куба, довжина ребра якого дорівнює 1 см (рис. 197); 1 кубічний дециметр (1 дм3) – об’єм куба, довжина ребра якого дорівнює 1 дм; 1 кубічний метр (1 м3) – об’єм куба, довжина ребра якого дорівнює 1 м.

На рисунку 198 зображено фігуру, яка складається з 3 кубиків з ребром 1 см. Тому об’єм такої фігури 3 см3.

Якщо виміри прямокутного паралелепіпеда виражено натуральними числами, то його об’єм показує,

скільки одиничних кубів треба, щоб його заповнити. Виведемо правило обчислення об’єму прямокутного паралелепіпеда. Нехай його виміри 5 см, 4 см і 3 см (рис. 199).

 Обєм прямокутного паралелепіпеда і куба

Рис. 197

 Обєм прямокутного паралелепіпеда і куба

Рис. 198

 Обєм прямокутного паралелепіпеда і куба

Рис. 199

Обчислимо, скільки одиничних кубів з ребром 1 см, тобто кубів з об’ємом 1 см3, уміститься у цьому паралелепіпеді. Основою прямокутного паралелепіпеда є прямокутник зі сторонами 5 см і 4 см, тому основа містить 5 ∙ 4 кубиків, тобто 20 кубиків. Щоб повністю заповнити паралелепіпед, треба викласти три таких шари, оскільки висота паралелепіпеда 3 см. Отже, кількість усіх кубиків: 20 ∙ 3 = 60. Об’єм одного кубика 1 см3, тому об’єм прямокутного паралелепіпеда 60 см3.

Ми знайшли об’єм прямокутного паралелепіпеда як добуток трьох його вимірів 5 ∙ 4 ∙ 3 (см3).

Об’єм прямокутного паралелепіпеда дорівнює добутку трьох його вимірів (довжини, ширини висоти).

Якщо позначити об’єм буквою V1, а виміри – буквами a, b і с, то маємо формулу

V = abc.

Під час обчислень треба стежити, щоб усі виміри виражалися в одних і тих самих одиницях довжини: якщо, наприклад, усі виміри подано в сантиметрах, то дістанемо об’єм у см3.

Приклад 1. Виміри прямокутного паралелепіпеда дорівнюють 3 дм, 12 см і 60 мм. Знайди об’єм паралелепіпеда.

Розв’язання. Виразимо виміри в сантиметрах: 3 дм = 30 см, 60 мм = 6 см. Тоді V = 30 ∙ 12 ∙ 6 = 2160 (см3).

Добуток довжини і ширини (а ∙ b) – це площа основи. Отже,

Об’єм прямокутного паралелепіпеда дорівнює добутку площі основи на висоту.

Якщо позначити площу основи буквою S, а висоту – буквою h (рис. 200), то дістанемо формулу

V = Sh.

 Обєм прямокутного паралелепіпеда і куба

Рис. 200

1 V – перша буква латинського слова volume – об’єм.

Об’єм куба, ребро якого дорівнює а, обчислимо за формулою: V = а ∙ а ∙ а, або:

V = a3

Саме тому третій степінь числа називають кубом цього числа.

Знайдемо співвідношення між одиницями об’єму: 1 дм3 – це об’єм куба з ребром 1 дм, або 10 см. Об’єм цього куба в кубічних сантиметрах дорівнює 103 = 10 ∙ 10 ∙ 10 = 1000. Отже,

1 дм3 = 1000 см3

1 м3 = 1000 дм3 .

Оскільки 1 м = 100 см, то 1 м3 = 100 ∙ 100 ∙ 100 = = 1 000 000 см3. Отже,

1 м3 = 1 000 000 см3

Для вимірювання об’єму рідини використовують літр (1 л). Літр містить 1 дм3 рідини:

1 л = 1 дм3

Для вимірювання дуже великих об’ємів, наприклад морів і океанів, використовують 1 кубічний кілометр – об’єм куба, ребро якого дорівнює 1 км. Оскільки 1 км = 1000 м, то 1 км3 = 10003 м3, тобто:

1 км3 = 1 000 000 000 м3

Початковий рівень

872. Обчисли (усно) об’єм прямокутного паралелепіпеда, якщо його виміри a, b, с дорівнюють:

1) а = 2 см, b = 5 см, с = 8 см;

2) а = 3 дм, b = 4 дм, с = 2 дм.

873. З кубиків з ребром 1 см складено фігури (рис. 201-205). Знайди їх об’єми.

 Обєм прямокутного паралелепіпеда і куба

Рис. 201

 Обєм прямокутного паралелепіпеда і куба

Рис. 202

 Обєм прямокутного паралелепіпеда і куба

Рис. 203

 Обєм прямокутного паралелепіпеда і куба

Рис. 204

 Обєм прямокутного паралелепіпеда і куба

Рис. 205

874. Знайди об’єми фігур, зображених на рисунку 206 і рисунку 207, якщо об’єм кожного кубика дорівнює 1 м3.

 Обєм прямокутного паралелепіпеда і куба

Рис. 206

 Обєм прямокутного паралелепіпеда і куба

Рис. 207

875. Обчисли об’єм прямокутного паралелепіпеда з вимірами:

1) 15 см, 20 см і 30 см; 2) 2 м, 15 м і 40 м.

876. Обчисли об’єм прямокутного паралелепіпеда, якщо його виміри:

1) а = 12 см, b = 15 см, с = 8 см;

2) а = 10 дм, b = 17 дм, с = 21 дм.

877. Знайди об’єм куба, ребро якого дорівнює:

1) 2 см; 2) 5 дм; 3) 3 м.

878. Знайди об’єм куба, ребро якого дорівнює:

1) 7 мм; 2) 12 см.

879. Щоб спорудити басейн, викопали заглиблення, яке має форму прямокутного паралелепіпеда. Довжина заглиблення 8 м, ширина 7 м, глибина 2 м. Скільки кубічних метрів землі викопали?

Середній рівень

880. Маса 1 см3 міді 9 г. Яка маса мідного куба, якщо довжина його ребра 4 см?

881. Довжина дерев’яного бруска 8 дм, ширина 2 дм, товщина 1 дм. Яка його маса, якщо маса

1 дм3 дерева дорівнює 630 г?

882. Обчисли (усно) об’єм V прямокутного паралелепіпеда, якщо площа його основи S і висота h дорівнюють:

1) S = 12 см2, h = 4 см; 2) S = 28 дм2, h = 2 дм.

883. Знайди об’єм прямокутного паралелепіпеда, площа основи якого дорівнює 30 м2, а висота – 4 м.

884. Розглянь ланцюжок одиниць об’єму:

1 мм3 -> 1 см3 -> 1 дм3 -> 1 м3.

У скільки разів кожна одиниця об’єму, починаючи з другої, більша за попередню? У скільки разів

1 дм3 більший за 1 мм3? 1 м3 більший за 1 см3?

885. Вирази:

1) у кубічних сантиметрах: 13 дм3, 3 м3, 5000 мм3;

2) у кубічних дециметрах: 12 м3, 6000 см3, 7 л;

3) у літрах: 4000 см3, 8 дм3, 5 м3.

886. Вирази:

1) у кубічних сантиметрах: 8000 мм3, 15 дм3, 7 м3;

2) у кубічних дециметрах: 15 л, 18 000 см3, 13 м3;

3) у літрах: 27 000 см3, 14 дм3, 8 м3.

Достатній рівень

887. Обчисли об’єм прямокутного паралелепіпеда, який можна скласти з восьми рівних кубів, якщо ребро кожного дорівнює 6 см.

888. Сарай, що має форму прямокутного паралелепіпеда, заповнено сіном. Довжина сараю 10 м, ширина 5 м, висота 4 м. Знайди масу сіна в сараї, якщо маса 10 м3 сіна дорівнює 6 ц.

889. У скільки разів об’єм куба з ребром 5 см менший від об’єму куба з ребром 2 дм?

890. У скільки разів об’єм куба, ребро якого дорівнює 4 см, менший від об’єму куба, ребро якого дорівнює 12 см?

891. Об’ єм кімнати 90 м3. Висота кімнати 3 м. Знайди площу підлоги.

892. Обчисли площу S основи прямокутного паралелепіпеда, якщо його об’єм V і висота h дорівнюють:

1) V = 780 см3, h = 12 см;

2) V = 520 дм3, h = 40 см.

893. Приміщення складу має форму прямокутного паралелепіпеда. Його довжина 25 м, ширина 12 м і об’єм 1200 м3. Знайди висоту складу.

894. Об’єм кімнати становить 60 м3, її висота 3 м, довжина 5 м. Знайди ширину кімнати, площі її підлоги та стін.

895. Довжина класу 8 м, ширина 5 м і висота 3 м. У ньому навчається 20 учнів. Скільки квадратних метрів площі та скільки кубічних метрів повітря в цьому класі припадає на одного учня?

896. Прямокутний паралелепіпед з вимірами 8 см, 1 дм, 12 см розрізали на кубики з ребром 2 см. Скільки кубиків отримали?

897. На рисунку 208 і рисунку 209 зображено фігури, які складено з однакових кубиків. Обчисли їх об’єми, якщо ребро куба дорівнює 5 см.

 Обєм прямокутного паралелепіпеда і куба

Рис. 208

 Обєм прямокутного паралелепіпеда і куба

Рис. 209

898. На рисунках 210 і 211 зображено фігури, які складаються з однакових кубиків. Обчисли їх об’єми, якщо ребро кубика дорівнює 4 см.

 Обєм прямокутного паралелепіпеда і куба

Рис. 210

 Обєм прямокутного паралелепіпеда і куба

Рис. 211

899. Заміни числом букву х, щоб рівність була правильною:

1) 8 дм3 115 см3 = х см3;

2) 15 дм3 18 см3 = х см3;

3) 15 см3 8 мм3 = х мм3;

4) 17 м3 2 дм3 = x л;

5) 5 м3 112 дм3 217 см3 = х см3;

6) 8 дм3 5 см3 12 мм3 = х мм3.

900. Встав у клітинку таке число, щоб рівність була правильною:

1) 7 см3 129 мм3 = □ мм3;

2) 17 дм3 8 см3 = □ см3;

3) 25 м3 12 дм3 = □ л;

4) 8 дм3 115 см3 2 мм3 = □ мм3.

901. Бак для води має форму прямокутного паралелепіпеда з вимірами 1 м 70 см, 1 м і 80 см. Скільки літрів води вміщує бак?

902. 1 л води має масу 1 кг. Скільки тонн води міститься в резервуарі, що має форму прямокутного паралелепіпеда з вимірами 5 м, 2 м і 3 м?

903. Один з резервуарів для зберігання води має форму прямокутного паралелепіпеда з вимірами 2 м 20 см, 4 м і 1 м 50 см; а інший – форму куба 3 ребром 2 м 50 см. Який з резервуарів містить більше води? На скільки літрів?

904. В акваріум, що має форму прямокутного паралелепіпеда завширшки 40 см і завдовжки 60 см, влито 8 відер води по 12 л у кожному. Яка глибина налитої води?

905. Довжина акваріума 70 см, ширина 45 см, висота 65 см. Скільки відер води по 9 л у кожному треба влити в цей акваріум, щоб рівень води був нижче від верхнього краю акваріума на 5 см?

Високий рівень

906. Куб і прямокутний паралелепіпед мають однакові об’єми. Знайди ребро куба, якщо виміри прямокутного паралелепіпеда дорівнюють 9 см, 3 см і 1 см. Порівняй площі повних поверхонь паралелепіпеда і куба.

907. Знайди об’єм куба, якщо площа його поверхні дорівнює 150 см2.

908. У скільки разів збільшиться об’єм куба, якщо його ребро збільшити в 2 рази?

909. У скільки разів збільшиться об’єм прямокутного паралелепіпеда, якщо його довжину збільшити в 2 рази, ширину – у 4 рази, а висоту – у 3 рази?

Розв’язання. Нехай довжина паралелепіпеда – а, ширина – b, висота – с. Тоді його об’єм V = abc. Після збільшення маємо паралелепіпед з довжиною 2а, шириною 4b і висотою 3с. Його об’єм

V1 = 2а ∙ 4b ∙ 3с = (2 ∙ 4 ∙ 3) ∙ abc = 24abc, тобто він у 24 рази більший за об’єм початкового паралелепіпеда.

910. У ливарній майстерні виготовили деталь, яка складається з двох прямокутних паралелепіпедів (рис. 212). Скільки кубічних дециметрів металу потрібно для того, щоб відлити таку деталь? п’ять таких деталей?

911. Обчисли об’єм залізної деталі, зображеної на рисунку 213 (усі виміри на рисунку дано в сантиметрах). Скільки грамів важить ця деталь, якщо 1 см3 заліза важить 8 г?

 Обєм прямокутного паралелепіпеда і куба

Рис. 212

 Обєм прямокутного паралелепіпеда і куба

Рис. 213

912. Виміри бруска мила, що має форму прямокутного паралелепіпеда, дорівнюють 8 см, 4 см і 2 см. Щодня витрачають однакову кількість мила. За 14 днів усі виміри мила зменшилися в 2 рази. На скільки днів ще вистачить цього мила, якщо й надалі витрачатимуть щодня таку саму кількість?

Вправи для повторення

913. На яке число треба поділити 185, щоб остача дорівнювала 3, а неповна частка 14?

914. О 8 годині від станції відійшов електропоїзд зі швидкістю 70 км/год, а через 3 години у тому самому напрямі відійшов другий електропоїзд зі швидкістю 65 км/год. Якою буде відстань між поїздами о 16 годині?

915. Розв’яжи рівняння:

1) (4х + 5х) ∙ 13 = 1404; 2) (7х – х) : 12 = 315.

916. Мотузку, довжина якої 91 м, розрізали на дві частини, одна з яких у 6 разів довша за іншу. На скільки метрів ця частина мотузки довша?

917. На одній чашці терезів, що знаходяться в рівновазі, стоїть банка із цукром, а на другій – важки масою 3 кг 500 г. Скільки грамів цукру знаходиться в банці, якщо порожня банка легша від цукру в 6 разів?

Домашня самостійна робота № 5

1. На якому рисунку зображено гострий кут?

 Обєм прямокутного паралелепіпеда і куба

2. Знайди периметр квадрата, сторона якого дорівнює 7 см.

А) 49 см; Б) 28 см; В) 21 см; Г) 35 см.

3. Обчисли площу прямокутника, що має сторони 9 см і 4 см.

А) 13 см2; Б) 36 см2; В) 26 см2; Г) 16 см2.

4. За даними рисунка 214 обчисли градусну міру кута MON.

A) 50°; Б) 40°;

B) 60°; Г) 70°.

5. Одна із сторін трикутника дорівнює 20 см, друга – у 2 рази довша за першу, а третя – на 8 см коротша від другої. Знайди периметр трикутника.

А) 92 см; Б) 32 см; В) 108 см; Г) 56 см.

6. Маса 1 см3 міді 9 г. Яка маса мідного куба, якщо довжина його ребра 5 см?

А) 1350 г; Б) 225 г; В) 1125 г; Г) 45 г.

7. На рисунку 215 ОМ – бісектриса кута АОВ, ОК – бісектриса кута АОМ. ∠KOM = 29°. Знайди градусну міру кута АОВ.

A) 126°; Б) 106°;

B) 96°; Г) 116°.

 Обєм прямокутного паралелепіпеда і куба

Рис. 214

 Обєм прямокутного паралелепіпеда і куба

Рис. 215

8. Прямокутники ABCD i KLMN рівні між собою. Периметр прямокутника ABCD дорівнює 42 см; KL = 8 см. Знайди довжину сторони KN.

А) 34 см; Б) 17 см; В) 13 см; Г) 8 см.

9. Сума довжини всіх ребер прямокутного паралелепіпеда дорівнює 60 см. Знайди суму довжин трьох його ребер, що виходять з однієї вершини.

А) 30 см; Б) 20 см; В) 15 см; Г) 12 см.

10. Одна сторона трикутника на 2 см менша від другої і на 4 см менша від третьої. Знайди довжину найменшої сторони трикутника, якщо його периметр дорівнює 30 см.

А) 6 см; Б) 8 см; В) 10 см; Г) 12 см.

11. Яким із запропонованих чисел може виражатися загальна кількість ребер піраміди?

А) 2012; Б) 2017; В) 2001; Г) 1999.

12. Куб і прямокутний паралелепіпед мають однакові об’єми. Знайди ребро куба, якщо виміри прямокутного паралелепіпеда дорівнюють 2 см, 4 см і 8 см.

А) 2 см; Б) 4 см; В) 6 см; Г) 8 см.

Завдання для перевірки знань № 5 (§19 – §26)

1. Знайди периметр і площу квадрата, сторона якого дорівнює 17 см.

2. Знайди периметр і площу прямокутника, одна зі сторін якого дорівнює 12 см, а інша – у 3 рази менша.

3. Знайди об’єм і площу поверхні куба з ребром 4 дм.

4. Виміряй кут АОВ на рисунку 216 транспортиром і побудуй кут CDM, градусна міра якого на 10° більша за градусну міру кута АОВ.

 Обєм прямокутного паралелепіпеда і куба

Рис. 216

5. Встав числа в порожні клітинки:

1) 15 дм2 = □ см2; 2) 8 дм3 = □ см3.

6. Знайди об’єм прямокутного паралелепіпеда, виміри якого дорівнюють 8 см, 5 см і 1 дм.

7. Одна сторона трикутника дорівнює 7 см, а інша – на 2 см менша від першої. Периметр трикутника дорівнює 18 см. Знайди третю сторону трикутника.

8. На рисунку 217 ∠АОК = 120°, ∠МОВ = 135°. Знайди кут МОК.

 Обєм прямокутного паралелепіпеда і куба

Рис. 217

9. Об’єм прямокутного паралелепіпеда дорівнює 90 см3. Його довжина дорівнює 6 см, висота – 3 см. Знайди суму довжин усіх ребер цього паралелепіпеда.

10. Додаткове завдання. Збільшиться чи зменшиться площа прямокутника, якщо одну з його сторін збільшити у 8 разів, а іншу зменшити в 2 рази? У скільки разів?

11. Додаткове завдання. Прямокутний паралелепіпед і куб мають однакові об’єми. Виміри паралелепіпеда дорівнюють 8 дм, 4 дм і 2 дм. Знайди ребро куба. Порівняй площі поверхонь, а також суми довжин усіх ребер паралелепіпеда і куба.




Об’єм прямокутного паралелепіпеда і куба