Обернені тригонометричні функції: у = arctg x, у = arcctg x

УРОК 19

Тема. Обернені тригонометричні функції: у = arctg x, у = arcctg x

Мета уроку: вивчення властивостей обернених тригонометричних функцій: у = arctg х і у = arcctg x.

І. Перевірка домашнього завдання

1. Фронтальна бесіда з класом за питаннями 6, 7, 9-12, до “Запитання і завдання для повторення” розділу II.

2. Самостійна робота.

Обчисліть:

А) arcsin 1 – 2arccos  Обернені тригонометричні функції: у = arctg x, у = arcctg x. (2 бали)

Б) 2 arccos 0,5 – 3 arcsin  Обернені тригонометричні функції: у = arctg x, у = arcctg x. (2 бали)

В) sin  Обернені тригонометричні функції: у = arctg x, у = arcctg x (2 бали)

Г) sin  Обернені тригонометричні функції: у = arctg x, у = arcctg x. (3 бали)

Д) cos (? –

arcsin (-1)). (З бали)

Варіант 2

А) 2 arccos  Обернені тригонометричні функції: у = arctg x, у = arcctg x+ arcsin  Обернені тригонометричні функції: у = arctg x, у = arcctg x. (2 бали)

Б)  Обернені тригонометричні функції: у = arctg x, у = arcctg x arcsin(-l) –  Обернені тригонометричні функції: у = arctg x, у = arcctg x arccos  Обернені тригонометричні функції: у = arctg x, у = arcctg x. (2 бали)

В) cos  Обернені тригонометричні функції: у = arctg x, у = arcctg x. (2 бали)

Г) cos  Обернені тригонометричні функції: у = arctg x, у = arcctg x. (3 бали)

Д) sin Обернені тригонометричні функції: у = arctg x, у = arcctg x. (3 бали).

Відповіді: В-1: а) – ?; б)  Обернені тригонометричні функції: у = arctg x, у = arcctg x; в) -0,5; г) Обернені тригонометричні функції: у = arctg x, у = arcctg x; д) 0. В-2. а)  Обернені тригонометричні функції: у = arctg x, у = arcctg x; б) -1,25; в) Обернені тригонометричні функції: у = arctg x, у = arcctg x; г) Обернені тригонометричні функції: у = arctg x, у = arcctg x; д) 1.

II.

Повідомлення теми уроку

III. Сприймання і усвідомлення поняття arctg a і властивостей функції у = arctg х

Функція у = tg х на проміжку  Обернені тригонометричні функції: у = arctg x, у = arcctg x зростає і приймає всі значення із R, тому для будь-якого а рівняння tg х = а має єдиний корінь із проміжку  Обернені тригонометричні функції: у = arctg x, у = arcctg x, який називається арктангенсом числа а і позначається arctg а.

Арктангенсом числа а називається таке число з проміжку  Обернені тригонометричні функції: у = arctg x, у = arcctg x, тангенс якого дорівнює а.

Приклад 1. arctg  Обернені тригонометричні функції: у = arctg x, у = arcctg x =  Обернені тригонометричні функції: у = arctg x, у = arcctg x, бо tg  Обернені тригонометричні функції: у = arctg x, у = arcctg x= Обернені тригонометричні функції: у = arctg x, у = arcctg x і  Обернені тригонометричні функції: у = arctg x, у = arcctg x Обернені тригонометричні функції: у = arctg x, у = arcctg x Обернені тригонометричні функції: у = arctg x, у = arcctg x.

Приклад 2. arctg(-1) = –  Обернені тригонометричні функції: у = arctg x, у = arcctg x, бо tg  Обернені тригонометричні функції: у = arctg x, у = arcctg x= -1 і – Обернені тригонометричні функції: у = arctg x, у = arcctg x Обернені тригонометричні функції: у = arctg x, у = arcctg x Обернені тригонометричні функції: у = arctg x, у = arcctg x.

Виконання вправ

1. Обчисліть:

А) arctg  Обернені тригонометричні функції: у = arctg x, у = arcctg x; б) arctg 0; в) arctg 1; г) arctg  Обернені тригонометричні функції: у = arctg x, у = arcctg x; д) arctg (- Обернені тригонометричні функції: у = arctg x, у = arcctg x).

Відповідь: а)  Обернені тригонометричні функції: у = arctg x, у = arcctg x; б) 0; в)  Обернені тригонометричні функції: у = arctg x, у = arcctg x; г) –  Обернені тригонометричні функції: у = arctg x, у = arcctg x; д) –  Обернені тригонометричні функції: у = arctg x, у = arcctg x.

2. Які з поданих виразів мають смисл:

А) arctg?; б) arctg  Обернені тригонометричні функції: у = arctg x, у = arcctg x; в) arctg?2?

Відповідь: а); б); в).

Графік функції у = arctg х: одер­жимо із графіка функції у = tg х, х Обернені тригонометричні функції: у = arctg x, у = arcctg x Обернені тригонометричні функції: у = arctg x, у = arcctg xПеретворенням симетрії відносно прямої у = х (рис. 120).

 Обернені тригонометричні функції: у = arctg x, у = arcctg x

Розглянемо властивості функції у = arctg х:

1. D(y)=R.

2. Е(у) =  Обернені тригонометричні функції: у = arctg x, у = arcctg x.

3. Графік симетричний відносно по­чатку координат, функція непарна: arctg (-х) = – arctg х.

4. Функція зростаюча. Якщо х1< х2 то arctg х1 < arctg х2

5. у = 0, якщо х = 0.

6. у > 0, якщо х > 0; у < 0, якщо х < 0.

Виконання вправ

1. Порівняйте числа:

A) arctg (-3) і arctg 2; б) arctg (-5) і arctg 0; в) arctg  Обернені тригонометричні функції: у = arctg x, у = arcctg x і arctg  Обернені тригонометричні функції: у = arctg x, у = arcctg x.

Відповідь: 4) arctg (-3) < arctg 2; б) arctg (-5) < arctg 0; в) arcrg  Обернені тригонометричні функції: у = arctg x, у = arcctg x > arctg  Обернені тригонометричні функції: у = arctg x, у = arcctg x.

2. Розташуйте в порядку зростання числа:

А) arctg 50; arctg (-5); arctg 0,5; б) arctg 1,2; arctg?; arctg (-3).

Відповідь: а) arctg (-5); arctg 0,5; arctg 50; б) arctg (-3); arctg 1,2; arctg?.

3. Розв’яжіть рівняння:

A) arctg(5х – 1) =  Обернені тригонометричні функції: у = arctg x, у = arcctg x; б) arctg(3 – 5х) = –  Обернені тригонометричні функції: у = arctg x, у = arcctg x.

Відповідь: а) х =  Обернені тригонометричні функції: у = arctg x, у = arcctg x; б) х =  Обернені тригонометричні функції: у = arctg x, у = arcctg x.

V. Сприймання і усвідомлення поняття arcctg a і властивостей функції у = arcctg х

Функція у = ctg х на інтервалі (0; ?) спадає і приймає всі значення із R, тому для будь-якого числа а в інтервалі (0; ?) існує єдиний корінь рівняння ctg х = а. Це число називають арккотангенсом числа а і позначають arcctg a.

Арккотангенсом числа а називається таке число із інтервалу (0; ?), котангенс якого дорівнює а.

Приклад 1. arcctg  Обернені тригонометричні функції: у = arctg x, у = arcctg x =  Обернені тригонометричні функції: у = arctg x, у = arcctg x, бо ctg  Обернені тригонометричні функції: у = arctg x, у = arcctg x =  Обернені тригонометричні функції: у = arctg x, у = arcctg x і  Обернені тригонометричні функції: у = arctg x, у = arcctg x  Обернені тригонометричні функції: у = arctg x, у = arcctg x (0; ?).

Приклад 2. arcctg  Обернені тригонометричні функції: у = arctg x, у = arcctg x =  Обернені тригонометричні функції: у = arctg x, у = arcctg x, бо ctg  Обернені тригонометричні функції: у = arctg x, у = arcctg x = – Обернені тригонометричні функції: у = arctg x, у = arcctg x і  Обернені тригонометричні функції: у = arctg x, у = arcctg x  Обернені тригонометричні функції: у = arctg x, у = arcctg x (0; ?).

Виконання вправ

1. Обчисліть: a) arcctg 1; б) arcctg  Обернені тригонометричні функції: у = arctg x, у = arcctg x; в) arcctg 0; г) arcctg (-1); д) arcctg  Обернені тригонометричні функції: у = arctg x, у = arcctg x.

Відповідь: а)  Обернені тригонометричні функції: у = arctg x, у = arcctg x; б)  Обернені тригонометричні функції: у = arctg x, у = arcctg x; в)  Обернені тригонометричні функції: у = arctg x, у = arcctg x; г)  Обернені тригонометричні функції: у = arctg x, у = arcctg x; д)  Обернені тригонометричні функції: у = arctg x, у = arcctg x.

Графік функції у = arcctg x можна одержати із графіка функ­ції у = ctg x у результаті перетворення симетрії відносно пря­мої у = х (рис. 121).

 Обернені тригонометричні функції: у = arctg x, у = arcctg x

Укажемо властивості функції у = arcctg х:

1. D(y)=R.

2. E(y) = (0; ?).

3. Графік не симетричний ні відносно початку координат, ні відносно осі OY. arcctg (-х) = ? – arcctg х.

4. Функція спадна. Якщо х1< х2 то arcctg х1 > arcctg х2.

5. х = 0, якщо у =  Обернені тригонометричні функції: у = arctg x, у = arcctg x.

6. у > 0 для всіх х Обернені тригонометричні функції: у = arctg x, у = arcctg xR.

Значення обернених тригонометричних функцій можна об­числювати за допомогою таблиць або мікрокалькулятора.

VI. Підведення підсумків уроку

VII. Домашнє завдання

Розділ II § 1 (4, 5). Запитання і завдання для повторення розді­лу II № 6-11, 12 (3, 4, 9, 10).




Обернені тригонометричні функції: у = arctg x, у = arcctg x