Описані і вписані кола

Розділ 1. Найпростіші геометричні фігури та їх властивості

§ 17. Описані і вписані кола

671. Коло, описане навколо трикутника, зображено на мал. 372.

672. Коло, вписане у трикутник, зображено на мал. 375.

673.

 Описані і вписані кола

Центр кола, описаного навколо гострокутного трикутника, лежить всередині трикутника.

Центр кола, описаного навколо прямокутного трикутника, лежить на середині гіпотенузи.

Центр кола, описаного навколо тупокутного трикутника, лежить поза трикутником.

674.

 Описані і вписані кола class=""/>

675. Центр кола розміщений у точці перетину серединних перпендикулярів до сторін трикутника ABC (досить побудувати точку перетину двох серединних перпендикулярів).

676. 1)

 Описані і вписані кола

Через одну точку можна провести безліч кіл.

2)

 Описані і вписані кола

Через дві точки можна провести безліч кіл.

3)

 Описані і вписані кола

Через три точки можна провести одне коло, або жодного, якщо точки лежать на одній прямій.

677.

 Описані і вписані кола

class=""/>

678. Так, бо прямі, що містять медіани рівностороннього трикутника, є серединними перпендикулярами до сторін трикутника.

679. Радіус кола, описаного навколо прямокутного трикутника, дорівнює половині гіпотенузи.

 Описані і вписані кола

680.

 Описані і вписані кола

Оскільки АС = 10 см, то AB = 2АС = 2 х 10 см = 20 см.

Тоді  Описані і вписані кола

Відповідь: 10 см.

681.

 Описані і вписані кола

 Описані і вписані кола

682.

 Описані і вписані кола

 Описані і вписані кола

 Описані і вписані кола

 Описані і вписані кола

683.

 Описані і вписані кола

?AOD – прямокутний.

 Описані і вписані кола тоді  Описані і вписані кола

684.

 Описані і вписані кола

Оскільки OB = AO = R, a OD = r, то BD = BO + OD = R + r.

685.

 Описані і вписані кола

Радіус кола, описаного навколо рівностороннього трикутника, дорівнює 2/3 його висоти.  Описані і вписані кола

 Описані і вписані кола

686. Радіус кола, вписаного в рівносторонній трикутник, дорівнює 1/3 висоти: h/3.

 Описані і вписані кола

687. Точка перетину серединних перпендикулярів двох сторін трикутника лежить на його третій стороні, якщо цей трикутник прямокутний.

688.

 Описані і вписані кола

Так, якщо один із кутів дорівнює 30°.

689.

 Описані і вписані кола

?ВМС – рівнобедрений (ВМ = MC). ∠МВС = 45° – 10° = 35°, ∠C = ∠MBC = 35°. ∠A = 90° – 35° = 55°.

690.

 Описані і вписані кола

?АВО і? ВОС – рівносторонні, тому R = BO = BC= AB = АО = 6 см.

691.

 Описані і вписані кола

Нехай? ABC – рівнобедрений (AB = BC). Проведемо серединний перпендикуляр до основи АС, тоді центр кола, описаного навколо трикутника ABC, буде лежати на прямій BD. Оскільки BD ⊥ АС, то BD – бісектриса кута В.

692.

 Описані і вписані кола

АВ = ВС = 4 см. ∠ABC = 120°. Оскільки? ВОС = ?АВO і ці трикутника рівносторонні, то R = АО = ВО = СО = ВС = АВ = 4 см.

693.

 Описані і вписані кола

Нехай? ABC – рівнобедрений (AB = АС). Проведемо бісектрису кута А (кута, протилежного до основи), на якій лежить центр О – кола, вписаного у трикутник ABC. Оскільки AD – бісектриса рівнобедреного трикутника, то AB – медіана.

694.

 Описані і вписані кола

?KLM – рівнобедрений, KL = LM, N, P, F – точки дотику.

KN = 8 см, NL = 4 см.

KL = KN + NL = 8 + 4 = 12 (см); LM = KL = 12 см. KM = 2KF = 2 x 8 = 16 (см).

P? KLM = 12 + 12 + 16 = 40 (см).

Відповідь: 40 CM.

695.

 Описані і вписані кола

?KLM – рівнобедрений, KL = LM, N, P, F – точки дотику.

KN : NL = 5 : 7, KM = 10 см.

KF = FM = 10 см: 2 = 5 см.

KN = KF = 5 см; NL = 7 см; KL = 12 см; LM = 12 см.

P? KLM= 12 + 12 + 10 = 34 (см).

Відповідь: 34 см.

696.

 Описані і вписані кола

K, L, М – точки дотику, KВ = 4 см, АК = 5 см, MC = 6 см.

AB = AK + KB = 5 см + 4 см = 9 см.

BL = BK = 4 см, LC = MC = 6 см, BC = BL + LC = 4 см + 6 см = 10 см, AM = AK = 5 см, AC = 5 см + 6 см = 11 см.

Відповідь: 9 см, 10 см, 11 см.

697.

 Описані і вписані кола

Оскільки CO – бісектриса кута С, то ∠BCO = ∠ACO = 45°.

?СОМ і? CON – прямокутні і рівнобедрені (оскільки ∠СОМ = 90° – 45° = 45°, ∠CON = 90° – 45° = 45°), то CM = CN = OM = ON.

698. Р = 2m + 2n + 2r = 2(m + n + r).

 Описані і вписані кола

1) 2 х (4 + 6 + 2) = 2 х 12 = 24 (см);

2) 2 х (3 + 10 + 2) = 2 х 15 = 30 (см);

3) 2 х (5 + 12 + 3) = 2 х 20 = 40 (см);

4) 2 х (4 + 21 + 3) = 2 х 28 = 56 (см).

699.

 Описані і вписані кола

Нехай О – середина гіпотенузи АС, ВО – медіана трикутника ABC. Продовжимо її так, що DO = ВО,

?АОВ = ?COD (за першою ознакою рівності трикутників: AO = CO, ВО = OD, ∠AOB = ∠COD – як вертикальні кути). Із рівності трикутників маємо: AB = CD, ∠BAO = ∠DCO.

Оскільки ∠BAO = ∠DCO і ці кути внутрішні різносторонні при прямих AB i CD і січній АС, то прямі AB і CD паралельні. Оскільки AB ⊥ ВС і DC || AB, то DC ⊥ BC.

?АВС = ?DCB, тоді АС = DB. Звідси 1/2AC = 1/2DB, тобто АО = ВО.

Оскільки АО = ВО = СО, то О – центр кола, описаного навколо трикутника ABC.

700. Нехай АС = b, СВ = а, AB = с. К, L, М – точки дотику, тоді КС = CL = r, LВ = а – r, АВ = b – r, МВ = а – r.

С = AM + MB = b – r + a – r = a + b – 2r.

Звідси 2r = а + b – с,  Описані і вписані кола

 Описані і вписані кола

701.

 Описані і вписані кола

 Описані і вписані кола

702.

 Описані і вписані кола

?АВС – прямокутний, ∠A = 90°. О – центр описаного кола, О1 – центр вписаного кола, тоді АО – медіана, AL – бісектриса, ∠LAO = 7°.

?АОС – рівнобедрений (АО = ОС), ∠OAC = ∠OCA = 45° – 7° = 38°.

?ВОА – рівнобедрений (АО = OB). ∠ABO = ∠BAO = 45° + 7° = 52°.

Відповідь: 38°, 52°.

703.

 Описані і вписані кола

Оскільки AK = AN, ВМ = BK, CN = СМ, то додавши почленно три рівності, одержимо: AK + ВМ + CN = AN + ВК + СМ.

704. Оскільки Р = AB + ВС + АС = (AK + KB) + ВС + (AN + CN) = AK + BC + (KB + CN) + AN = AK + BC + (MB + MC) + AN = AK + BC + BC + AN = AK + 2BC + AN.

Враховуючи, що AK = AN, P = 2p, маємо: 2p = 2AK + 2 BC, p = AK + BC, AK = p – BC. Отже, AK = AN = p – BC.

705.

 Описані і вписані кола

P? BMN = MN + NB + MB = NL + LM + NB + MB = SN + KM + NB + MB = (SN + NB) + (KM + MB) = SB + KB = AB = a.

706.

 Описані і вписані кола

 Описані і вписані кола

/p>

 Описані і вписані кола

Нехай коло з центром О проходить через точки А і В, тоді ОС ⊥ АВ, АС = СВ, отже, точка О лежить на серединному перпендикулярі.

Якщо точка О лежить на серединному перпендикулярі ОС, то існує коло з центром О, яке проходить через точки А і В. Отже, геометричним місцем центрів кіл, які проходять через дані точки А і В, є серединний перпендикуляр до відрізка AB.

657.

 Описані і вписані кола

Геометричним місцем вершин рівнобедрених трикутників, що мають спільну основу АB, є серединний перпендикуляр до відрізка AB за винятком точки, яка є серединою відрізка AB.

658.

 Описані і вписані кола

Геометричним місцем точок, рівновіддалених від усіх вершин трикутника, є точка перетину серединних перпендикулярів до сторін трикутника.

659.

 Описані і вписані кола

Геометричним місцем точок, рівновіддалених від двох паралельних прямих, є пряма, яка паралельна даним прямим і проходить через середину відрізка, перпендикулярного даним прямим і з кінцями на даних прямих.

660.

 Описані і вписані кола

Геометричним місце точок, віддалених від прямої а на відстань m, є дві прямі, які лежать по різні сторони від прямої а, які паралельні прямій а і знаходяться від прямої а на відстані m.

661.

 Описані і вписані кола

Ні, оскільки існують інші точки (наприклад усі точки прямої AB відмінні від точок відрізка AB), які віддалені від прямої а на 2 см.

662.

 Описані і вписані кола

Геометричним місцем центрів кіл радіуса R, що дотикаються до прямої а, є дві прямі (які лежать по різні боки від прямої а), які паралельні прямій а і віддалені від прямої а на R.

663.

 Описані і вписані кола

Геометричним місцем вершин трикутників зі спільною стороною AB і бічною стороною, що дорівнює а, є коло з центром у точці В із радіусом а, за винятком двох точок перетину прямої AB та кола.

664.

 Описані і вписані кола

Геометричним місцем центрів кіл, які дотикаються до двох даних кіл з центрами в точках О і O1 і рівними радіусами, є серединний перпендикуляр до відрізка OO1.

665.

 Описані і вписані кола

Геометричним місцем центрів кіл, що дотикаються до прямої а в точці А, є перпендикулярна пряма до прямої а, яка проходить через точку А.

666.

 Описані і вписані кола

Шукані точки К і L – це точки перетину серединного перпендикуляра до відрізка MN і сторін кута.

Задача має один розв’язок, якщо серединний перпендикуляр до MN паралельний одній зі сторін кута або збігається з бісектрисою кута ABC. В усіх інших випадках задача має два розв’язки.

667.

 Описані і вписані кола

Геометричним місцем вершин трикутників, що мають спільну основу AB і однакову висота h, проведену до цієї сторони, є дві прямі, які паралельні AB і знаходяться на відстані h від AB.

668.

 Описані і вписані кола

Геометричним місцем центрів кіл радіуса R, які відтинають на даній прямій а хорду даної довжини l, є:

1) дві прямі, паралельні даній прямій, якщо l < 2R;

2) дана пряма, якщо l = 2R;

3) якщо l > 2R, то такого геометричного місця точок не існує.