Основні положення теорії Бора – Зоммерфельда

ФІЗИКА

Частина 5 АТОМНА ФІЗИКА

Розділ 15 БУДОВА АТОМА

15.7. Основні положення теорії Бора – Зоммерфельда

Знайдені раніше значення енергії для стаціонарних станів гідрогеноподібних іонів і атома гідрогену у випадку колових орбіт (15.19) і (15.20) визначаються тільки одним квантовим числом. Теорія Бора була далі розвинена А. Зоммерфельдом, який довів, що при відшуканні стаціонарних станів мають ураховуватися не тільки колові, а й еліптичні орбіти, а також і та просторова орієнтація, якої орбіти можуть набувати в магнітному полі. Все

це привело до введення в теорію нових квантових чисел. Ті самі квантові числа, що й в теорії Бора – Зоммерфельда, але в іншому тлумаченні дістаємо при визначенні стаціонарних станів у квантовій механіці.

Для енергетичних рівнів гідрогеноподібних іонів розрахунки проведені з урахуванням еліптичності орбіт, як і розрахунки, що грунтуються на квантовій механіці, дають формулу, яка збігається з формулою (15.19)

 Основні положення теорії Бора   Зоммерфельда

Де n – головне квантове число, яке визначає розміри орбіти.

Від цього числа головним чином залежить енергія електрона в атомі. Воно може набувати лише цілочислових значень (n = 1, 2, 3,…).

Згідно з теорією Бора, яка обмежувалась випадком колових орбіт, момент імпульсу L електрона в атомі визначається лише головним квантовим числом:

 Основні положення теорії Бора   Зоммерфельда

У теорії Бора – Зоммерфельда, яка враховує можливість еліптичних орбіт, момент імпульсу електрона також є величиною, кратною h(2π), тобто елементарному моменту імпульсу, але його значення визначається вже не головним квантовим числом л, а іншим квантовим числом l, яке називають орбітальним, побічним, або азимутальним. За цією теорією

 Основні положення теорії Бора   Зоммерфельда

При заданому головному квантовому числі n орбітальне квантове число l може набувати цілочислових значень від 0 до n – 1.

Отже, для електрона, що міститься у гідрогеноподібному iоні на n-енергетичному рівні можуть бути: одна колова орбіта при l = n – 1 і n – 1 еліптичних орбіт з однаковою довжиною великої півосі і різним ексцентриситетом (відношенням півосей). Так, при n = З можливі орбіти, схематично зображені на рис. 15.9. Як видно з рисунка, при сталому п зі збільшенням l орбіта електрона стає все опуклішою. Навпаки, зі зменшенням l збільшується ступінь витягнутості орбіти та її ексцентриситет. Отже, при заданому головному квантовому числі орбітальне квантове число l визначає форму орбіти.

Орбітальне квантове число l визначає стан електрона в атомі. Якщо рух електрона характеризується значенням квантового числа l = 0, то електрон перебуває в s-стані, а сам електрон називають s-електроном. Квантовому числу l = 1 відповідає р-стан електрона, l = 2 – d-стан, l=3 – f-стан і далі, відповідно до порядку літер у латинському алфавіті.

Слід зауважити, що, з погляду квантової механіки, геометричну інтерпретацію теорії Бора – Зоммерфельда розглядають тільки як наближену ілюстрацію справжнього руху електронів у атомі. У квантовій механіці орбітальний момент імпульсу електрона визначають таким співвідношенням:

 Основні положення теорії Бора   Зоммерфельда

Цей вираз істотно відрізняється від попереднього, зокрема тим, що він свідчить про можливість таких рухів електрона, для яких орбітальний момент імпульсу електрона дорівнює нулю (при l = 0). Згідно з теорією Бора такий рух електрона мав би відповідати неможливому проходженню електрона через ядро.

Третє квантове число ml, яке називають магнітним квантовим числом, визначає просторовий розподіл траєкторій руху електрона (в теорії Бора просторову орієнтацію орбіт), а отже, і проекцію вектора магнітного моменту або моменту імпульсу орбіти на заданий напрям.

Орбіту, по якій рухається електрон, можна розглядати як контур струму. Такий контур характеризуватиметься певним значенням орбітального магнітного моменту електрона  Основні положення теорії Бора   ЗоммерфельдаL векторною величиною, що напрямлена вздовж осі орбіти у той бік, куди напрямлена індукція магнітного поля, створюваного цим контуром. Між вектором орбітального магнітного моменту електрона  Основні положення теорії Бора   ЗоммерфельдаL і його орбітальним моментом імпульсу (орбітальний механічний момент)  Основні положення теорії Бора   ЗоммерфельдаL існує такий зв’язок:

 Основні положення теорії Бора   Зоммерфельда

Де е – заряд електрона; me – його маса;  Основні положення теорії Бора   Зоммерфельда– гіромагнітне відношення. Отже, орбітальний магнітний момент електрона пропорційний його орбітальному механічному моменту, причому ці моменти протилежні за напрямом, оскільки електрон має негативний заряд (рис. 15.10).

 Основні положення теорії Бора   Зоммерфельда  Основні положення теорії Бора   Зоммерфельда

Рис. 15.9 Рис. 15.10

Ураховуючи (15.26), формулу (15.27) можна записати у такому вигляді:

 Основні положення теорії Бора   Зоммерфельда

Величину  Основні положення теорії Бора   Зоммерфельда називають магнетоном Бора.

У класичній фізиці припускалось, що вектор  Основні положення теорії Бора   ЗоммерфельдаL (а отже, і вектор  Основні положення теорії Бора   ЗоммерфельдаL) може бути орієнтованим довільно відносно обраного напряму. Згідно з теорією Бора – Зоммерфельда таке припущення означає довільність орієнтації орбіти електрона щодо зовнішнього магнітного поля. Проте виявилось, що тут відбувається так зване просторове квантування: при дії зовнішнього магнітного поля на атом можуть реалізуватися тільки такі орієнтації орбіт, для яких проекція вектора моменту імпульсу  Основні положення теорії Бора   ЗоммерфельдаL на напрям осі OZ, що збігається з напрямом вектора індукції магнітного поля, кратна h/(2π):

 Основні положення теорії Бора   Зоммерфельда

Де ml – магнітне квантове число, яке при заданому орбітальному квантовому числі l набуває значень від – l до +l, включаючи 0, тобто ml = 0, ±1, ±2,…. Отже, вектор  Основні положення теорії Бора   ЗоммерфельдаL може мати 2l + 1 орієнтацій у просторі, а це означає, що при даному l електрон в атомі, який вміщено в магнітне поле, може рухатись по 2l + 1 орбітах, які відрізняються своєю орієнтацією щодо напряму магнітного поля. Вираз (15.29) для проекції моменту узагальнено квантовою механікою, але при інших уявленнях про рух електрона в атомі, при довільному напрямі осі квантування (враховуючи випадок, коли магнітного поля немає). На рис. 15.11 зображено можливі значення проекцій орбітального механічного моменту на напрям магнітного поля для випадків l = 3 і l = 2.

 Основні положення теорії Бора   Зоммерфельда

Рис. 15.11

Просторове квантування приводить до розщеплення в магнітному полі енергетичного рівня електрона на ряд підрівнів, а отже, і до розщеплення спектральних ліній. Таке явище спостерігав П. Зеєман.

Четверте квантове число mS називають спіновим. Існування цього квантового числа було доведено при дослідженні атомних спектрів. Виявилось, що всі спектральні лінії мають так звану “тонку структуру”, яка спостерігається і без зовнішнього магнітного поля.

Так, усі спектральні лінії гідрогену і лужних металів є дублетами, тобто складаються з двох окремих близько розташованих ліній. Для пояснення цього експериментального факту Дж. Уленбек і С. Гаудсміт висунули гіпотезу (1925 р.) про те, що електрон (заряджена кулька) обертається навколо своєї осі. Всі електрони обертаються незалежно від того, вільні вони чи зв’язані в атомах твердих тіл, рідин або газів.

Унаслідок обертання навколо своєї осі електрон має власний механічний момент s, який називають спіном. Чисельно він дорівнює  Основні положення теорії Бора   Зоммерфельда Електрону властивий також власний магнітний момент, що дорівнює магнетону Бора  Основні положення теорії Бора   Зоммерфельда

Де е і m – відповідно заряд і маса електрона. Власний механічний і магнітний моменти електрона можуть бути орієнтованими лише двома способами: паралельно або антипаралельно до якогось обраного напряму. Тому спінове квантове число може набувати тільки двох значень, а саме: 1/2 і -1/2. Отже, на відміну від введених раніше трьох квантових чисел (n, l, ml) квантове число mS не є цілочисловим.

Гіпотеза про те, що електрон має власний механічний момент (спін) і власний магнітний момент, дала змогу пояснити результати дослідів О. Штерна і В. Герлаха, виконаних ними в 1921-1923 pp. Метою цих дослідів було визначення магнітних моментів атомів різних хімічних елементів і експериментальна перевірка положення про просторове квантування.

Якщо просторового квантування немає, тобто орієнтація магнітних моментів атомів у зовнішньому магнітному полі довільна, то на екрані спостерігатиметься неперервний розподіл атомів. При просторовому квантуванні пучок атомів після проходження неоднорідного магнітного поля розщеплюється на кілька пучків. Таке розщеплення атомних пучків спостерігали О. Штерн і В. Герлах і тим самим довели справедливість положення про просторове квантування магнітних моментів атомів. Проте виявилось, що в окремих дослідах є розбіжність між результатами експерименту і вимогами теорії. Так, в експериментах з гідрогеном, літієм, аргентумом спостерігалось розщеплення пучка атомів, що проходить неоднорідне магнітне поле, на два пучки, тоді як за теорією ці атоми не повинні зазнавати дії магнітного поля, оскільки їхні орбітальні магнітні моменти в основному стані дорівнюють нулю. Аномальне розщеплення, якого зазнають пучки атомів гідрогену, літію, аргентуму, стає зрозумілим, якщо взяти до уваги гіпотезу Дж. Уленбека і С. Гаудсміта про наявність у електрона спіна і пов’язаного з ним власного магнітного моменту, а магнітний момент атома розглядати як векторну суму орбітального та власного магнітних моментів електронів. При цьому Дж. Уленбек і С. Гаудсміт уявляли електрон як кульку. З розвитком фізики, зокрема квантової механіки, ці уявлення виявились досить наближеними. Проте наявність власного механічного і магнітного моментів розглядається тепер як невід’ємна властивість електрона. Спін та власний магнітний момент мають також протон, нейтрон та інші елементарні частинки.




Основні положення теорії Бора – Зоммерфельда