Основні теореми про границі числової послідовності

Математика – Алгебра

Границя

Основні теореми про границі числової послідовності

Теорема 1. Нехай послідовності  Основні теореми про границі числової послідовності і  Основні теореми про границі числової послідовності мають відповідно границі a і b. Тоді послідовність  Основні теореми про границі числової послідовності має границю  Основні теореми про границі числової послідовності.
 Основні теореми про границі числової послідовності.
Теорема 2. Нехай послідовності  Основні теореми про границі числової послідовності і  Основні теореми про границі числової послідовності мають відповідно границі a і b. Тоді послідовність  Основні теореми про границі числової послідовності має границю, яка дорівнює ab: />  Основні теореми про границі числової послідовності.
Наслідки
1) Сталий множник можна виносити за знак границі. Якщо С – сonst і  Основні теореми про границі числової послідовності має границю, то  Основні теореми про границі числової послідовності.
2) Якщо  Основні теореми про границі числової послідовності, а k – натуральне число, то  Основні теореми про границі числової послідовності.
Теорема 3. Нехай послідовності  Основні теореми про границі числової послідовності і  Основні теореми про границі числової послідовності мають скінченні границі, які відповідно дорівнюють  Основні теореми про границі числової послідовності,  Основні теореми про границі числової послідовності, причому  Основні теореми про границі числової послідовності

class=""/>. Тоді послідовність  Основні теореми про границі числової послідовності має скінченну границю, яка дорівнює  Основні теореми про границі числової послідовності:
 Основні теореми про границі числової послідовності.
Послідовність називається Неспадною (незростаючою), якщо для будь-якого n Є N виконується нерівність  Основні теореми про границі числової послідовності Основні теореми про границі числової послідовності.
Неспадні та незростаючі послідовності називають Монотонними.
Якщо значення членів монотонної послідовності  Основні теореми про границі числової послідовності для будь-якого n Є N задовольняють строгу нерівність  Основні теореми про границі числової послідовності Основні теореми про границі числової послідовності, то послідовність  Основні теореми про границі числової послідовності називають Зростаючою (спадною). Зростаючі та спадні послідовності називають також Строго монотонними.
Теорема 4 (Вейєрштрасса). Зростаюча або спадна обмежена послідовність має границю.
Теорема 5. Якщо послідовність  Основні теореми про границі числової послідовності має границю, то ця границя єдина.
Приклади границь послідовностей
1)  Основні теореми про границі числової послідовності
 Основні теореми про границі числової послідовності.
2)  Основні теореми про границі числової послідовності
 Основні теореми про границі числової послідовності.
Зверніть увагу на таку границю:
 Основні теореми про границі числової послідовності.
Число е є основою натурального логарифма. Позначення:  Основні теореми про границі числової послідовності. Число е є ірраціональним, його наближене значення  Основні теореми про границі числової послідовності.
Показникова функція з основою е  Основні теореми про границі числової послідовності називається Експонентою.