Розділ 1 ПОДІЛЬНІСТЬ НАТУРАЛЬНИХ ЧИСЕЛ
§ 3. ОЗНАКИ ПОДІЛЬНОСТІ НА 9, 3
Запишемо ряд чисел, кратних числу 9: 9; 18; 27; 36; 45; 54; 63; 72; 81; 90; 99; 108…
Як бачимо, ознака подільності на 9 не пов’язана з останньою цифрою в записі числа. Вона пов’язана із сумою цифр у цьому записі. Пізніше ви зможете це обгрунтувати.
Запам’ятайте!
Ознака подільності на 9
На 9 діляться ті й тільки ті числа, сума цифр яких ділиться на 9.
Наприклад, число 1476 ділиться на 9, оскільки 1+4+7+6= 18, а число 18 ділиться на 9. Число 1239 не ділиться на 9, оскільки 1 + 2 + 3+ 9=15,а
? Як з’ясувати, чи ділиться число на 3? Для цього користуються ознакою подільності на 3.
Ознака подільності на З
На 3 діляться ті й тільки ті числа, сума цифр яких ділиться на 3.
Наприклад, у числі 237 сума цифр дорівнює: 2 + 3 + 7 = 12. Число 12 ділиться на З, тому і число 237 ділиться на З. Справді, 237 : 3 = 79.
? Чи можна вважати, що числа, як діляться на 9, діляться і на3? Так. Оскільки сума цифр чисел, кратних числу 9, ділиться на 9, то вона ділиться і на 3. Проте обернене твердження не є правильним: числа, що діляться на 3, не завжди діляться на 9. Наприклад, числа 12, 33, 213 діляться на 3, але не
Задача. Знайдіть усі трицифрові числа, які містять цифри 5 і 1 та діляться на 9.
Розв’язання. Позначимо невідому цифру зірочкою. Сума і цифр шуканого числа дорівнює: 5 + 1 + * = 6 + *. Ця сума має ділитися на 9, тому замість зірочки можна підставити тільки цифру 3. А далі з цифр 1, 3, 5 складаємо всі можливі трицифрові : числа: 135; 153; 315; 351; 513; 531.
Дізнайтеся більше
У вас могло виникнути запитання: “Як пояснити, чому сума цифр у записі числа може показувати, чи ділиться число на 9?” Поміркуємо, спираючись на приклади.
Числа 99 і 999 діляться на 9, а от числа 100 і 1000 на 9 не діляться. Подамо ці числа як суми:
99-90 + 9;
999 = 900 +90 + 9;
100-99 +1;
1000 = 999 +1.
Проаналізуємо отримані суми. У колонці ліворуч кожний доданок суми ділиться на 9, а в колонці праворуч – ні. Узагалі, якщо кожний доданок ділиться надане число, то їх сум а ділиться на дане число; якщо один із доданків не ділиться на дане число, а сума всіх інших доданків ділиться надане число, то сума не ділиться надане число.
Запишемо число 351 у вигляді суми розрядних доданків та перетворим о її:
351= 3 ∙ 100+5- 10+1 =
= 3 ∙ (99 + 1) + 5 (9+1) + 1 =
= 3 ∙ 99 + 3 ∙ 1+5-9 + 51 + 1 =
= 3-99 + 5- 9 + 3+ 5+1 =
= 3-99 + 5-9 + 9.
В отриманій сумі кожний з доданків ділиться на 9, тому число 351 ділиться на 9. Як бачимо, результат залежить від останнього доданка, котрий дістали як суму: 3 + 5 + 1 = 9.
А ця сума – не що інше, як сума цифр даного числа.
ПРИГАДАЙТЕ ГОЛОВНЕ
1. Сформулюйте ознаку подільності на 9.
2. Сформулюйте ознаку подільності на 3.
3. Чи можна стверджувати, що числа, які діляться на 9, діляться і на З?
РОЗВ’ЯЖІТЬ ЗАДАЧІ
80′. Назвіть будь-які три числа, які діляться: 1) на 9; 2) на 3.
81′. Чи правильно завершено твердження: “На 9 діляться ті й тільки ті числа, …
1) добуток цифр яких ділиться на 9″;
2) сума цифр яких ділиться на 9″;
3) останньою цифрою яких є цифра 9″?
82′. Чи правильно завершено твердження: “На 3 діляться ті й тільки ті числа, …
1) останньою цифрою яких є цифра 3″;
2) останньою цифрою яких є цифра 9″;
3) сума цифр яких ділиться на З”?
83°. Дано числа: 35; 44; 49; 53; 66; 111; 126; 135. Скільки серед даних чисел:
1) діляться на 9; 2) не діляться на 9?
84°. Дано натуральні числа від сімдесяти до ста двадцяти. Випишіть ті з них, які діляться на 9.
85°. Дано натуральні числа від дев’яноста до ста тридцяти трьох. Випишіть ті з них, які діляться на 9.
86°. Дано числа: 23; 24; 37; 39; 44; 48; 56; 59; 63; 73. Випишіть ті з них, які діляться на 3.
87°. Дано числа: 17; 23; 35; 43; 45; 51; 71; 88. Скільки серед даних чисел:
1) діляться на 3; 2) не діляться на 3?
88°. Дано натуральні числа від сорока одного до шістдесяти. Випишіть ті з них, які діляться на 3.
59°. Дано натуральні числа від сімдесяти семи до ста двох. Випишіть ті з них, які діляться на 3.
90°. Назвіть будь-які чотири трицифрові числа, які:
1) діляться на 9; 2) діляться на 3.
91°. Назвіть будь-які три чотирицифрові числа, які:
1) діляться на 9; 2) діляться на 3.
92°. На координатному промені позначте точки, координатами яких є числа від одного до тринадцяти, кратні числу: 1) 9; 2) 3.
93°. На координатному промені позначте п’ять точок, координатами яких є числа, кратні числу 9 або числу 3.
94°. Допишіть зліва до числа 70 таку цифру, щоб отримане число ділилося: 1) на 9; 2) на 3.
95°. Допишіть справа до числа 131 таку цифру, щоб отримане число ділилося: 1) на 9; 2) на 3.
96°. Допишіть зліва до числа 128 таку цифру, щоб отримане число ділилося: 1) на 9; 2) на 3.
97°. У числі 1*21 замість зірочки вставте таку цифру, щоб отримане число ділилося: 1) на 9; 2) на 3.
98°. У числі 50*9 замість зірочки вставте таку цифру щоб отримане число ділилося: 1) на 9; 2) на 3.
99°. Знайдіть значення виразу 5 ∙ 103 + 8 ∙ 102 + 7 ∙ 10 + 1 та вкажіть, чи ділиться отримане число: 1) на 9; 2) на 3.
100°. Знайдіть значення виразу 2 ∙ 103 + 5 ∙ 102 + 8 ∙ 10 + 3 та вкажіть, чи ділиться отримане число: 1) на 9; 2) на 3.
101. На фабриці розфасовують цукерки в коробки по 9 штук у кожну. Чи може так статися, що в ящику з коробками виявиться: 1) 243 цукерки; 2) 424 цукерки; 3) 513 цукерок?
102. Скільки з чисел від стадо двохсот таких, що діляться:
1)на 9; 2)на 3.
103. Чи можна, використовуючи тільки цифри 2 і 3, записати числа, які діляться:
1) на 9; 2) на 3? Якщо так, то наведіть приклад.
104. Запишіть найбільше трицифрове число, яке ділиться:
1)на 9; 2)на 3.
105. Запишіть найменше чотирицифрове число, яке ділиться:
1)на 9; 2)на 3.
106. Використовуючи тільки однакові цифри, запишіть усі можливі трицифрові числа, які діляться:
1) на 9; 2) на3; 3) і на 3, і на 5.
107. У числі 1*37 замість зірочок уставте такі цифри, щоб
Отримане число ділилося:
1) на 9; 2) на 3.
108. У числі 8*5*0 замість зірочок уставте такі цифри, щоб отримане число ділилося:
1) на 9; 2) на 3.
109. Складіть усі можливі п’ятицифрові числа, які містять три п’ятірки й діляться на 9.
110. Складіть усі можливі чотирицифрові числа, які містять дві п’ятірки й діляться на 3.
111*. Андрій задумав деяке трицифрове число. Відомо, що це число ділиться на 9, кожна його цифра ділиться на 3, а сума перших двох його цифр дорівнює третій цифрі. Яке число задумав Андрій? Скільки розв’язків має задача?
112*. Скільки чисел першої сотні не діляться ані на 9, ані на З?
113*. Серед усіх чотирицифрових чисел, запис яких містить тільки цифри 1, 3 і 0, випишіть ті, які діляться: 1) на 18; 2) на 6.
114*. Сергійко забув першу цифру коду *85228, але пам’ятав, що все шестицифрове число ділиться на 3. Скільки варіантів кодів потрібно перебрати хлопчику, щоб відкрити дверцята камери схову?
115*. Запишіть найменше і найбільше чотирицифрове число, яке ділиться і на 3, і на 5.
ЗАСТОСУЙТЕ НА ПРАКТИЦІ
116. Андрій переміг у конкурсі юних поетів й отримав винагороду в розмірі 822 грн. Він вирішив поділитися грошима з татом і мамою. Чи зможуть вони поділити премію Андрія порівну? Скільки грошей дістанеться кожному?
117. Мама доручила Тетянці купити 3 кг яблук і дала їй 25 грн. Тетянка принесла додому яблука і здачу – 1 грн 62 к. Чи правильно їй дали здачу?
118. Знайдіть суму своїх річних оцінок за 5-й клас. Чи ділиться отримане число: 1) на 9; 2) на З?
ЗАДАЧІ НА ПОВТОРЕННЯ
119. На скільки сума чисел 104,72 і 13,16 менша від числа 154,36 і більша за число 89,28?
120. 3 одного порту в інший одночасно вийшли пароплав і катер. Швидкість пароплава – 32,4 км/год, а швидкість катера – 35,8 км/год. Яка відстань буде між ними через 4,5 год після початку руху?
(2 votes, average: 5,00 out of 5)