Перпендикулярність прямих у просторі


Урок 25

Тема. Перпендикулярність прямих у просторі

Мета уроку: формування поняття про перпендикулярні прямі. Вивчення теореми про прямі, що перетинаються і паралельні двом перпендикулярним прямим.

Обладнання: стереометричний набір.

Хід уроку

В кінці уроку збираються учнівські зошити для перевірки їх ведення та виконання домашнього завдання.

III. Сприйняття й усвідомлення нового матеріалу

Означення перпендикулярних прямих у просторі

Поряд із відношенням паралельності в геометрії важливе значення має відношення перпендикулярності. У планіметрії ми говорили про перпендикулярність прямих. Перпендикулярними прямими на площині називаються прямі, які перетинаються під прямим кутом.

У стереометрії розглядають три випадки перпендикулярності: перпе­ндикулярність прямих, перпендикулярність прямої і площини, перпен­дикулярність площин. На наступних уроках ми займемося послідовним вивченням цих трьох відношень. Почнемо з випадку перпендикулярнос­ті


прямих у просторі.

Дві прямі називаються перпендикулярними, якщо вони перети­наються під прямим кутом.

Розв’язування задач

1. Назвіть в оточенні моделі прямих, які перпендикулярні між собою.

2. Дано зображення куба АBСDA1B1C1D1. Укажіть ребра куба, які пер­пендикулярні до прямої АА1.

3. Задача № 3 (1, 4) із підручника (с. 34).

Теорема про прямі, що перетинаються і паралельні двом перпендикулярним прямим

Питання до класу: що можна стверджувати про взаємне розташу­вання прямих а1 і b1, які перетинаються і а1 || а, b1 || b, а  Перпендикулярність прямих у просторі b? Учні висувають гіпотезу, що a1  Перпендикулярність прямих у просторіB1. Для ілюстрації цього твердження вико­ристовується каркасна модель куба або прямокутного паралелепіпеда.

Далі формулюємо теорему:

Якщо дві прямі, які перетинаються, паралельні відповідно двом перпендикулярним прямим, то вони теж перпендикулярні.

Доведення цієї теореми проводить учитель. Подаємо запис доведення теореми, який рекомендується зробити на дошці і в зошитах учнів.

Дано: a Перпендикулярність прямих у просторіB, а Перпендикулярність прямих у просторі?, b Перпендикулярність прямих у просторі?; а1||а, b1||b, а1 Перпендикулярність прямих у просторі?1, b1 Перпендикулярність прямих у просторі?1, а1 і b, перетинаються (рис. 131).

Довести: а1  Перпендикулярність прямих у просторі b1

 Перпендикулярність прямих у просторі

Номер п/п

Твердження

Аргумент

1

А і b лежать в?, а1 і b1 лежать в?1

Сз

2

А || а1

Теорема 2.4

3

Нехай точка С – точка перетину а і b, точка С1 – точка перетину а1 і b1

Означення

4

AA1 || СС1, ВВ1 || CC1

Теорема 2.1

5

A1A2 || BB1

Теорема 2.2

6

CAA1C1 і CBB1C1 – паралелограми, отже, AC = А1С1, BC = B1C1

AC||A1C1;AA1 || CC1, СВ || С1В1, ВВ1 || СС1

7

АВB1А1 – паралелограм, отже, АВ = А1B1

АВ||А1B1, AA1 || ВВ1

8

?АВС =?А1В1С1, отже, <A1C1B1= <ACB = 90°, тоді а1  Перпендикулярність прямих у просторі b1

Третя ознака рів­ності трикутників

Розв’язування задач

1. SABC – тетраедр;  Перпендикулярність прямих у просторіABC = 90°; точки К, L, М – середини ребер SB, SA, SC відповідно (рис. 132). Знайти  Перпендикулярність прямих у просторіMKL.

 Перпендикулярність прямих у просторі

2. Дано зображення куба ABCDA1B1C1D1 (рис. 133). Точки М, N, Р, К – точки перетину діагоналей граней АВВ1А1, CDD1C1, А1B1С1D1 і ABCD відповідно. Довести, що MN Перпендикулярність прямих у просторіРК.

 Перпендикулярність прямих у просторі

3. Дано куб ABCDA1B1C1D1. Через точку М, що належить ребру АА1 в грані AA1DD1, проведіть пряму MN так, щоб  Перпендикулярність прямих у просторіMOD1 = 90°, де точ­ка О – точка перетину прямих MN і AD1.

Розв’язання

Проведемо в квадраті A1ADD1 діагоналі AD1 і A1D (AD1 Перпендикулярність прямих у просторіA1D) (рис. 134). Через точку М ребра АА1 в грані АDD1А1 проведемо пряму MN || А1D. За теоремою 3.1 MN Перпендикулярність прямих у просторіAD1, оскільки  Перпендикулярність прямих у просторіA1OD1 = 90°.

 Перпендикулярність прямих у просторі

4. Дано куб ABCDA1B1C1D1. Через точку О грані А1АDD1 проведіть прямі ОМ і ON так, щоб ОМ || ВС, ON || СС1. Доведіть, що  Перпендикулярність прямих у просторіMON = 90° .

5. Через точку О перетину діагоналей куба ABCDA1B1C1D1 проведіть площину?, паралельну основі А1B1С1D1 куба. Доведіть, що  Перпендикулярність прямих у просторіMON = 90°, де точки М, N – точки перетину ребер СС1 і BВ1 з площиною?.

IV. Домашнє завдання

§3, п. 14; контрольні запитання № 1, 2; задача № 3 (2; 3) (с. 34).

V. Підведення підсумку уроку

Запитання до класу

1) Які прямі в просторі називаються перпендикулярними?

2) Чи визначають площину дві перпендикулярні прямі? Чому?

3) Сформулюйте теорему про прямі, які перетинаються і відповідно паралельні перпендикулярним прямим.

4) Сторони двох трикутників відповідно паралельні. Чи паралельні відповідні висоти цих трикутників?

5) Ребро куба дорівнює а. Знайдіть довжину діагоналі грані куба. (Відповідь. а Перпендикулярність прямих у просторі)

6) Довжина діагоналі грані куба дорівнює а. Знайдіть ребро куба. (Відповідь.  Перпендикулярність прямих у просторі)




1 Star2 Stars3 Stars4 Stars5 Stars (No Ratings Yet)
Loading...


Перпендикулярність прямих у просторі - Плани-конспекти уроків по математиці