Площина. Пряма. Промінь

Розділ I НАТУРАЛЬНІ ЧИСЛА І ДІЇ З НИМИ

§ 1. НАТУРАЛЬНІ ЧИСЛА

4. Площина. Пряма. Промінь

Розміри вашого зошита не дають можливості будувати відрізки великої довжини. А уявіть собі, що аркуш зошита збільшився до розмірів стола, тенісного корту, навіть футбольного поля. Такий “аркуш” слугує прикладом частини площини.

Площина нескінченна, тому її не можна зобразити. Цю геометричну фігуру можна лише уявити.

Тепер зрозуміло, що на площині можна накреслити відрізок дуже великої довжини. Більше того, будь-який відрізок можна за

допомогою лінійки продовжити в обидві сторони. В уяві це можна зробити необмежено, і тоді ми отримаємо геометричну фігуру, яку називають прямою.

Пряма не має кінців. Вона нескінченна. Тому на рисунку ми можемо зобразити тільки частину прямої – відрізок.

Позначимо на аркуші паперу дві точки А і В. Проведемо через них пряму (рис. 36). Якщо спробуємо провести через ці точки ще одну пряму, то нам це не вдасться.

Через дві точки проходить тільки одна пряма.

Ця властивість дозволяє позначати пряму,

називаючи дві будь-які її точки. Так, пряму, проведену через точки А і В (рис. 36), позначають одним із двох способів: АВ або ВА. Читають: “пряма АВ” або “пряма ВА”.

 Площина. Пряма. Промінь

Рис. 36

 Площина. Пряма. Промінь

Рис. 37

Прямі також позначають однією малою латинською літерою. На рисунку 37 зображено прямі т і п.

Проведемо пряму АВ і позначимо на ній точку О (рис. 38). Ця точка ділить пряму на дві частини. Кожну з цих частин разом з точкою О називають променем. Точку О називають початком променя. Кінця V променя немає.

 Площина. Пряма. Промінь

Рис. 38

 Площина. Пряма. Промінь

Рис. 39

Так само, як і пряму, промінь позначають двома великими латинськими літерами. Спершу записують літеру, яка позначає початок променя, а потім літеру, яка позначає будь-яку іншу точку цього променя. Наприклад, промінь з початком у точці О (рис. 39) можна позначити ОА або ОВ.

Промінь – це ще один приклад геометричної фігури.

Розв’язуємо усно

Обчисліть:

1) 312 ∙ 10; 4) 720 : 9; 7) 1212 : 12;

2) 5 ∙ 1000; 5) 480 : 4; 8) 1010 : 5.

3) 100 ∙ 10 000; 6) 480 : 16;

Подвойте число 26. Знайдіть половину числа 26. Потройте число 27. Знайдіть третину числа 27.

3. О 10 год ранку зі станції відправився поїзд зі швидкістю 60 км/год. На якій відстані від станції буде поїзд о 15 год того самого дня, якщо він рухатиметься з цією самою швидкістю і без зупинок?

4. Тетянка і Михайлик навчаються в одній школі. Те – тянка живе в будинку біля однієї кінцевої зупинки автобуса, а Михайлик – у будинку біля іншої кінцевої зупинки цього самого маршруту. Коли вони їдуть до школи, то Тетянка виходить на п’ятій зупинці, а Михайлик – на сьомій. Скільки всього зупинок на цьому маршруті?

5. Мотузку розрізали на три частини так, що перша частина виявилася на 3 м коротшою від другої частини і на 3 м довшою за третю. На скільки метрів третя частина коротша від другої?

Вправи

86.° Позначте в зошиті точки М і К та проведіть через них пряму. Позначте на відрізку МК точку N. Чи належить точка N прямій МК? Позначте на прямій МК точку Р, яка лежить поза відрізком МК. Запишіть усі можливі позначення проведеної прямої.

87. Проведіть довільну пряму та позначте на ній точки А, Б і С. Запишіть усі можливі позначення проведеної прямої.

88.° Користуючись рисунком 40, установіть, чи є правильним твердження:

1) точка Q належить відрізку ME;

2) точка Q належить променю EF;

3) точка Q належить променю FE;

4) точка Е належить променю MF і променю FM;

5) точка М належить відрізку QE;

6) точка М належить прямій QE.

 Площина. Пряма. Промінь

Рис. 40

89.° Чи перетинаються зображені на рисунку 41:

1) пряма СЕ і відрізок АВ;

2) промінь ОК і пряма СЕ;

3) промінь ОК і відрізок АВ?

 Площина. Пряма. Промінь

Рис. 41

 Площина. Пряма. Промінь

Рис. 42

90. Чи перетинаються зображені на рисунку 42:

1) пряма МР і відрізок EF;

2) промінь ST і пряма МР;

3) відрізок EF і промінь ST?

91.° Позначте в зошиті: 1) чотири точки, жодні три з яких не лежать на одній прямій; 2) п’ять точок, жодні три з яких не лежать на одній прямій.

92.° На прямій АВ позначено дві точки М і N. Назвіть фігури, які утворилися при цьому.

93. ° Назвіть усі відрізки, прямі та промені, зображені на рисунку 43.

 Площина. Пряма. Промінь

Рис. 43

94.° Назвіть усі відрізки, прямі та промені, зображені на рисунку 44.

95.° Накресліть два промені так, щоб їх спільна частина була: 1) точкою; 2) відрізком; 3) променем.

96.° Позначте на площині точки М, К, Т і F так, щоб промінь МК перетинав пряму TF, а промінь TF не перетинав пряму МК.

 Площина. Пряма. Промінь

Рис. 44

97.° Накресліть пряму АС, відрізки КЕ і BD, промінь ST так, щоб відрізок КЕ перетинав пряму АС і не перетинав промінь ST, відрізок BD не перетинав пряму АС і відрізок КЕ і перетинав промінь ST, а пряма АС і промінь ST перетинались.

98.° Накресліть промінь CD, пряму АВ і відрізки МК і ОР так, щоб відрізок МК лежав на прямій АВ, відрізок ОР – на промені CD і щоб пряма АВ перетинала відрізок ОР, а промінь CD – відрізок МК.

99.° Скільки променів утвориться, якщо на прямій позначити: 1) 4 точки; 2) 100 точок?

100.°°Точки А, В і С лежать на одній прямій. Знайдіть довжину відрізка ВС, якщо АВ = 24 см, АС = 32 см. Скільки розв’язків має задача?

101°. Точки М, К i N лежать на одній прямій. Знайдіть довжину відрізка KN, якщо МК = 15 см, MN = 6 см.

102.°° На площині проведено п’ять прямих, що попарно перетинаються. Яка найменша можлива кількість точок перетину цих прямих? Яка найбільша кількість точок перетину може бути?

103.° На площині проведено три прямі. На яку найбільшу і на яку найменшу кількість частин ці прямі можуть розбити площину?

104.° Проведіть шість прямих і позначте на них 11 точок так, щоб на кожній прямій було позначено рівно чотири точки.

105. ° На площині проведено три прямі. На першій прямій позначено 5 точок, на другій – 7 точок, а на третій – 3 точки. Яку найменшу кількість різних точок можна позначити?

Вправидля повторення

106. У парку росте 168 дубів, беріз – у 4 рази менше, ніж дубів, а кленів – на 37 дерев більше, ніж беріз. Скільки всього дубів, беріз і кленів росте в парку?

107. Група туристів пройшла пішки 72 км, проїхала поїздом у 5 разів більше, ніж пройшла пішки, а автобусом проїхала на 128 км менше, ніж поїздом. Скільки всього кілометрів подолали туристи?

108. Відправившись у гості до Івасика-Телесика, Баба-Яга пролетіла у своїй ступі 276 км за 4 год, а решту 156 км пройшла за 6 год у чоботах-скороходах. На скільки швидкість ступи більша за швидкість чобіт-скороходів?

109. За течією річки човен пропливає 95 км за 5 год, а проти течії – 119 км за 7 год. На скільки швидкість човна проти течії менша від його швидкості за течією?

110. На прямій позначили 20 точок так, що відстань між будь-якими двома сусідніми точками дорівнює 4 см. Знайдіть відстань між крайніми точками.

111. На прямій позначили точки так, що відстань між будь-якими двома сусідніми точками дорівнює 5 см, а між крайніми точками – 45 см. Скільки точок було позначено на прямій?

Задачавід Мудрої Сови

112. Як вишикувати 16 учнів у три ряди, щоб у кожному ряду їх було порівну?

Коли зроблено уроки

Про лляну нитку та лінії Відрізок, пряма, промінь – це приклади (види) ліній. Слід, який залишає ковзан фігуриста на льоду (рис. 45), нитка, що випадково опинилася на вашій шкільній формі, дають уявлення про лінію. Автомобільну дорогу на карті зображують лінією (рис. 46).

 Площина. Пряма. Промінь

Рис. 45

 Площина. Пряма. Промінь

Рис. 46

Давньогрецький математик Евклід у своїй знаменитій книзі “Начала” образно визначив лінію як “довжину без ширини”.

 Площина. Пряма. Промінь

Рис. 47

Слово “лінія” походить від латинського слова “lіnиm” – льон, лляна нитка.

За допомогою гостро заточеного олівця ви можете намалювати дуже хитромудру лінію,

Наприклад особистий підпис. Так, на рисунку 47 подано зображення (факсиміле) підпису великого українського поета Т. Г. Шевченка.

Багато ліній, що вивчаються в математиці, мають ряд цікавих властивостей, деяким з них присвоєно власні імена. Приклади таких ліній наведено на рисунку 48.

 Площина. Пряма. Промінь

Рис. 48

Сім’я ліній дуже різноманітна. З властивостями деяких з них ви ознайомитесь у старших класах.




Площина. Пряма. Промінь