Побудова перерізів многогранників

Урок 20

Тема. Побудова перерізів многогранників

Мета уроку: формування вмінь учнів застосовувати властивості паралельних площин до розв’язування вправ, побудови перерізів.

Обладнання: стереометричний набір.

Хід уроку

І. Перевірка домашнього завдання.

1. Три учні відтворюють розв’язування задач № 28, 30, 31 на дошці, в цей час клас пише математичний диктант.

2. Математичний диктант.

Через вершини А, В, С, D: варіант 1 – паралелограма АВСD (рис. 76). Варіант 2 – трапеції АВСD (рис. 77), які лежать в одній із паралельних

площин?, проведено паралельні прямі, що перетинають другу площи­ну? в точках А1, В1, С1, D1.

 Побудова перерізів многогранників

 Побудова перерізів многогранників

Користуючись зображенням, запишіть:

1) пряму, яка лежить у площині? і паралельна прямій АС; (2 бали)

2) відрізки, довжини яких дорівнюють АА1; (2 бали)

3) чому дорівнює кут А1АD1, якщо  Побудова перерізів многогранниківАА1D1 = 120°; (2 бали)

4) чому дорівнює довжина діагоналі ВD, якщо В1D1 = 3 Побудова перерізів многогранників см; (2 бали)

5) вид чотирикутника А1B1С1D1; (2 бали)

6)

чому дорівнює площа чотирикутника А1В1С1D1, якщо площа чо­тирикутника АВСВ дорівнює 30 см2. (2 бали)

Відповідь. Варіант 1. 1) А1C1; 2) ВВ1, СС1, DD1; 3) 60°; 4) 3 Побудова перерізів многогранниківСм; 5) паралелограм; 6) 30 см2.

Варіант 2. 1) А1C1; 2) ВВ1, СС1, DD1; 3) 60° ; 4) 3 Побудова перерізів многогранниківСм; 5) трапеція; 6) 30 см2.

3. Перевірка виконання математичного диктанту, заслуховування розв’язування задач № 28, 30, 31 та відповіді на запитання учнів, що виникли в процесі розв’язування цих задач.

Формування вмінь учнів будувати перерізи многогранників, використовуючи властивості паралельних площин

Властивість паралельних площин широко застосовується при розв’я­зуванні задач, зокрема задач на побудову перерізів.

Задача.

Побудувати переріз прямокутного па­ралелепіпеда АВСDА1B1С1D1 площи­ною?, яка проходить через вершини А, С і внутрішню точку М ребра А1В1 (рис. 78).

 Побудова перерізів многогранників

Переріз площини? з двома гранями одержимо, побудувавши відрізки АС ТАМ. Оскільки площини граней АВСD і А1В1С1D1 паралельні, то паралельні і їх лінії перетину з площиною?, тому, по­будувавши МN || АС і відрізок МС, оде­ржимо переріз – трапецію АМКС.

Розв’язування задач

1. У трикутній піраміді SАВС провести переріз:

А) через середину ребра АС паралельно грані SСВ;

Б) через середину ребра SС паралельно грані SАВ.

 Побудова перерізів многогранників

 Побудова перерізів многогранників

 Побудова перерізів многогранників

Рис. 79

2. Побудуйте перерізи куба площиною, яка проходить через точки М, К, Р (рис. 79).

3. Дано куб ABCDA1B1C1D1. Побудуйте переріз куба площиною, яка проходить через дані точки: а) С1, К, D; б) С1, К, С, де точка К – середина А1В1. З’ясуйте, яка фігура утвориться в перерізі. (Відповідь, а) рівнобічна трапеція; б) прямокутник.)

4. Точка Х ділить ребро АВ куба ABCDA1B1С1D1 у відношенні АХ : ХВ = 2 : 3. Побудуйте переріз цього куба площиною, яка па­ралельна площині АА1С1 і проходить через точку X. Знайдіть пери­метр перерізу, якщо АВ = а. (Відповідь.  Побудова перерізів многогранників.)

5. Доведіть, що коли перерізом паралелепіпеда е шестикутник, то його протилежні сторони паралельні.

6. Чи може перерізом куба бути правильний п’ятикутник?

7. Побудуйте переріз куба площиною, яка проходить через точку Е і паралельна площині MNP (рис. 80).

 Побудова перерізів многогранників

 Побудова перерізів многогранників

 Побудова перерізів многогранників

Рис. 80

8. Побудуйте прямокутний паралелепіпед ABCDA1B1C1D1 і його пере­різ площиною, яка проходить через: а) ребро СС1 і точку перетину діагоналей грані AA1D1D; б) точку перетину діагоналей грані ABCD і паралельно площині АВ1С1.

9. Точка А1 ділить ребро SA тетраедра SABC у відношенні SA1 : A1A = 2 : 3. Побудуйте переріз тетраедра площиною, яка прохо­дить через точку А1 і паралельна площині АВС. Знайдіть периметр і площу перерізу, якщо АВС – правильний трикутник і АВ = 10 см. (Відповідь. 12 см;  Побудова перерізів многогранників7 см2.)

III. Домашнє завдання

Розв’язати наступну задачу.

Дано куб ABCDA1B1C1D1. Доведіть, що переріз куба площиною А1С1К, де К – середина DC, є трапеція, а перерізи куба площинами А1В1К і АА1К є паралелограмами.

IV. Підведення підсумку уроку

1. ABCDA1B1C1D1 – прямокутний паралелепіпед. Доведіть, що переріз прямокутного паралелепіпеда площиною, яка проходить через точки В1, D1 і К, де точка К – середина ребра CD, є трапеція (рис. 81).

2. ABCDA1B1C1D1 – прямокутний паралелепіпед (рис. 82). Доведіть, що переріз його площиною, яка проходить через точки В, К, L, де точка К – середина ребра AA1, а точка L – середина ребра СС1, є паралелограм.

 Побудова перерізів многогранників

 Побудова перерізів многогранників




Побудова перерізів многогранників