Подібність фігур. Площі подібних фігур

УРОК № 39

Тема. Подібність фігур. Площі подібних фігур

Мета уроку: формування поняття подібності фігур; вивчення теореми про площі подібних фігур; формування вмінь застосовувати вивчені означення і властивості до розв’язування задач.

Тип уроку: комбінований.

Наочність і обладнання: таблиця “Перетворення подібності” [13].

Вимоги до рівня підготовки учнів: описують подібність фігур; наводять приклади подібних фігур; формулюють теорему про відношення площ подібних фігур; застосовують вивчені означення і властивості

до розв’язування задач.

Хід уроку

І. Перевірка домашнього завдання

1. Перевірити наявність виконаних домашніх завдань та відповісти на запитання, які виникли в учнів під час їх виконання. 2. Фронтальна бесіда 1) Що таке перетворення подібності? 2) Що таке гомотетія? центр гомотетії? коефіцієнт гомотетії? 3) Сформулюйте відомі вам властивості перетворення подібності.

ІІ. Аналіз результатів самостійної роботи

ІІІ. Сприймання й усвідомлення нового матеріалу

Поняття подібності

фігур

Фігури F і F1 називаються подібними, якщо кожній точці фігури F можна поставити у відповідність точку фігури F1 так, що для довільних точок X і Y фігури F і відповідних точок X1 і Y1 фігури F1 виконується умова  Подібність фігур. Площі подібних фігур, де k – те саме додатне число для всіх точок. При цьому передбачається, що кожна точка фігури F1 має бути поставлена у відповідність якій-небудь точці фігури F. Число k називається коефіцієнтом подібності (рис. 174).

 Подібність фігур. Площі подібних фігур

Іншими словами: дві фігури називаються подібними, якщо вони переводяться одна в одну перетворенням подібності. Подібність фігур, як і подібність трикутників, позначають спеціальним знаком:  Подібність фігур. Площі подібних фігур. Запис F  Подібність фігур. Площі подібних фігур F1 читається як “фігура F подібна фігурі F1”.

З означення подібності фігур випливає, що рівні фігури – подібні (коефіцієнт подібності дорівнює одиниці).

Властивості подібних фігур

1) Кожна фігура подібна собі (коефіцієнт подібності дорівнює 1). 2) Якщо фігура F подібна фігурі F1 з коефіцієнтом подібності k, то фігура F1 подібна фігурі F з коефіцієнтом  Подібність фігур. Площі подібних фігур. 3) Якщо фігура F1 подібна фігурі F2 з коефіцієнтом подібності k1, а фігура F2 подібна фігурі F3 з коефіцієнтом подібності k2, то фігура F1 подібна фігурі F3 з коефіцієнтом подібності k1? k2. 4) Відношення площ подібних фігур дорівнює квадрату коефіцієнта подібності.

Доведемо цю властивість для многокутників.

Нехай F і F’ – це два подібні n-кутники з коефіцієнтом подібності k, a S i S’ – їхні площі (рис. 175).

 Подібність фігур. Площі подібних фігур

З’ясуємо, чому дорівнює відношення їхніх площ. Розіб’ємо n-кутник F на п трикутників?1, ?2, …, ?п, сума площ яких дорівнює S.

Перетворення подібності, яке переводить F у F’, переводить ці трикутники у трикутники  Подібність фігур. Площі подібних фігур,  Подібність фігур. Площі подібних фігур, …,  Подібність фігур. Площі подібних фігур, сума площ яких дорівнює S’.

Оскільки з урахуванням коефіцієнта подібності k основи і висоти трикутників?1, ?2, …, ?n дорівнюють a1 і h1, а2 і h2, …, ап і hп, то основи і висоти трикутників  Подібність фігур. Площі подібних фігур,  Подібність фігур. Площі подібних фігур, …,  Подібність фігур. Площі подібних фігурДорівнюють відповідно ka1 і kh1, ka2 і kh2, …, kan і khn. Тоді

S’ =  Подібність фігур. Площі подібних фігурKa1 ? kh1 +  Подібність фігур. Площі подібних фігурKa2 ? kh2 + … +  Подібність фігур. Площі подібних фігурKan? khn = k2 Подібність фігур. Площі подібних фігур= k2S.

Оскільки S’ = k2S, Подібність фігур. Площі подібних фігур.

Отже, площі подібних многокутників відносяться як квадрати їхніх відповідних лінійних розмірів.

Розв’язування вправ

1. Наведіть приклади подібних фігур. 2. Чи подібні будь-які рівні фігури? 3. Чи рівні будь-які подібні фігури? При якій умові подібні фігури рівні? 4. Про дві фігури відомо, що F2  Подібність фігур. Площі подібних фігур F1 і F1  Подібність фігур. Площі подібних фігур F2 з тим самим коефіцієнтом подібності k. Що можна сказати про значення коефіцієнта k і про фігури F1 і F2? 5. Згадайте означення подібних трикутників. 6. Сформулюйте ознаки подібності трикутників.

IV. Закріплення й осмислення нового матеріалу

Розв’язування задач

1. Сторони двох правильних n-кутників відносяться як а : b. Як відносяться їхні площі? (Відповідь. а2 : b2) 2. Площі двох квадратів відносяться як 3 : 5. Чому дорівнює сторона меншого квадрата, якщо сторона більшого квадрата дорівнює 10 см? (Відповідь.  Подібність фігур. Площі подібних фігур (см)) 3. Площа меншого многокутника дорівнює 45 см2. Чому дорівнює площа більшого многокутника, подібного даному, якщо відповідні сторони многокутників дорівнюють 10 см і 15 см? (Відповідь. 101,25 см2) 4. Відповідні сторони двох подібних многокутників відносяться як а : b. Площа першого многокутника дорівнює S. Знайдіть площу другого многокутника. (Відповідь.  Подібність фігур. Площі подібних фігур) 5. Периметри подібних многокутників відносяться як 5 : 7, а різниця площ дорівнює 864 см2. Знайдіть площі многокутників.

Розв’язання

Нехай S см2 – площа меншого многокутника, тоді (S + 864) см2 – площа більшого многокутника. Згідно з теоремою маємо  Подібність фігур. Площі подібних фігур, тоді 49S = 25(S + 864); 24S = 21600; S = 900 см2.

Отже, площа меншого многокутника дорівнює 900 см2, а площа більшого 900 + 864 = 1764 (см2).

Відповідь. 900 см2 і 1764 см2.

6. Пряма, перпендикулярна до висоти трикутника, ділить його площу навпіл. Знайдіть відстань від цієї прямої до вершини трикутника, з якої проведено висоту, якщо вона дорівнює h.

Розв’язання

Нехай у трикутнику ABC (рис. 176) BD Подібність фігур. Площі подібних фігурAC, FK Подібність фігур. Площі подібних фігурBD, S? FВК  Подібність фігур. Площі подібних фігур S? FKC, BD = h.

?FBK  Подібність фігур. Площі подібних фігур ?АВС (за двома кутами), тоді  Подібність фігур. Площі подібних фігур. Враховуючи, що S? ABC = 2S? FBK BD = h, маємо  Подібність фігур. Площі подібних фігур =  Подібність фігур. Площі подібних фігур, звідси BS2 =  Подібність фігур. Площі подібних фігурBS, або BS =  Подібність фігур. Площі подібних фігур =  Подібність фігур. Площі подібних фігур.

Відповідь.  Подібність фігур. Площі подібних фігур.

 Подібність фігур. Площі подібних фігур

7. На стороні АВ трикутника ABC взято довільну точку D і з неї проведено відрізки DE і DF так, що DE || AC, DF || BC. Знайдіть площу трикутника CEF, якщо площі трикутників ADF і BED відповідно дорівнюють S1 і S2 (рис. 177).

 Подібність фігур. Площі подібних фігур

Розв’язання

Нехай S – площа трикутника CEF. ?ADF  Подібність фігур. Площі подібних фігур ?BED (оскільки кожний із них подібний трикутнику ABC.

Отже,  Подібність фігур. Площі подібних фігур, звідси  Подібність фігур. Площі подібних фігур.

Висоти трикутників ADF і FEC, проведені до сторін AF і FC, рівні між собою.

Тоді  Подібність фігур. Площі подібних фігур, звідси S = S1 Подібність фігур. Площі подібних фігур =  Подібність фігур. Площі подібних фігур.

Відповідь.  Подібність фігур. Площі подібних фігур.

V. Домашнє завдання

1. Вивчити теоретичний матеріал. 2. Розв’язати задачі. 1) Через середину висоти трикутника перпендикулярно до неї проведено пряму. У якому відношенні вона ділить площу трикутника? 2) Периметри правильних л-кутників відносяться як а : b. Як відносяться їхні площі?

VI. Підбиття підсумків уроку
Завдання класу

1. Сформулюйте теорему про відношення площ подібних фігур. 2. Сторони рівносторонніх трикутників дорівнюють 5 см і 10 см. Чому дорівнює відношення їхніх площ? (Відповідь. 1 : 4) 3. Периметри двох подібних многокутників відносяться як 3 : 5. Площа більшого многокутника дорівнює 40 см2. Знайдіть площу другого многокутника. (Відповідь. 14,4 см2)




Подібність фігур. Площі подібних фігур