Розділ 3 ВІДНОШEННЯ І ПРОПОРЦІЇ
§ 15. ПОДІЛ ЧИСЛА В ДАНОМУ ВІДНОШЕННІ. МАСШТАБ
1. Пропорційний поділ
На практиці часто постають задачі з вимогою поділити деяку величину в заданому відношенні: розподіл прибутків, приготування різних сумішей або страв тощо. Щоб розв’язати такі задачі, треба виконати пропорційний поділ даної величини.
На малюнку 16 ви бачите відрізок AВ, який точка С ділить у відношенні 2 : 3. Можемо скласти пропорцію:
. Із цієї пропорції випливає, що 
Нехай значення
Звідси 
тобто АС = 2k і ВС = 3k. Отже, ми здійснили пропорційний поділ відрізка АВ у відношенні 2 : 3 і виразили довжини його частин АС і ВС через число k (мал. 17).
Мал. 16
Мал. 17
Запам’ятайте!
Число, яке дорівнює значенню відношень пропорції, називається коефіцієнтом пропорційності.
Коефіцієнт пропорційності позначають буквою k. Іноді доводиться пропорційно ділити величину більш ніж на дві частини. І тут знову на допомогу приходить коефіцієнт
Задача 1. Поділіть число 60 у відношенні 3:4:5 .
Розв’язання. Нехай к – коефіцієнт пропорційності. Тоді перша частина даного числа дорівнює 3к, друга – Ah, а третя – 5к. Оскільки число, яке треба поділити, дорівнює 60, то можемо скласти рівняння: 3k + Ah + 5k = 60. Звідси: к = 5. Отже, перша частина числа дорівнює 3 ∙ 5 = 15, друга – 4 ∙ 5 = 20, а третя – 5 ∙ 5= 25.
2. Масштаб
Для зображення на папері предметів із навколишнього світу потрібно змінювати їхні реальні розміри: великі предмети доводит вся зменшувати, а маленькі, навпаки, збільшувати. Але для того, щоб креслення або план давали правил вне уявлення про предмети, необхідно змінювати їхні розміри пропорційно. Для цього використовують масштаб зображення.
Найчастіше масштаб застосовують для створення географічних карт.
Запам’ятайте!
Відношення довжини відрізка на карті до довжини відповідного відрізка на місцевості називається масштабом карти.
Позначають: “М: 1 : 1 000 000”. Цей зали с означає, що 1 см на карті відповідає 1 000 000 см на місцевості.
Задача 2 . Відстань між Черкасами і Харковом на карті дорівнює 4,1 см. Знайдіть відстань між цими містами на місцевості, якщо масштаб карти 1:10 000 000.
Розв’язання.
На карті: 4,1см -1см
На місцевості: х -10000000 см
Тоді відношення довжини відрізка на карті до довжини відрізка на місцевості: 4,1 : х. Значення даного відношення дорівнює значенню масштабу карти, отже, 4,1: х=1 :10 000 000.
Звідси
Отже, відстань від Черкас до Харкова – 410 км.
? Як записати масштаб зображення, якщо на ньому потрібно збільшити реальні розміри предмета наприклад, у 1000 разів. У такому випадку масштаб записують навпаки: 1000 : 1. Такий масштаб знадобиться, коли потрібно зобразити, наприклад, деталі годинника
Дізнайтеся більше
1. Слово “коефіцієнт” походить від латинського Coefficiens, що складається з двох слів: Со – “разом “і efficiens – “той, що виробляє”. Позначає множник, який зазвичай виражається числом. Термін запровадив Ф. Вієт.
2. Слово “масштаб” походить від німецького Mabstab – “лінійка”, що складається із двох слів: Маb – “міра” та Stab – “віха”.
ПРИГАДАЙТЕ ГОЛОВНЕ
1. Які задачі відносять до задач на пропорційний поділ? Наведіть приклади.
2. Що таке коефіцієнт пропорційності?
3. Як розв’язують задачі на пропорційний поділ?
4. Що називається масштабом карти?
5. Як розв’язують задачі із застосуванням масштабу?
РОЗВ’ЯЖІТЬ ЗАДАЧІ
629′. Назвіть частини відрізка AB (мал. 18-19).
Мал. 18
Maл. 19
630′. Чи правильно. що коефіцієнт пропорційності дорівнює:
1) пропорції; 2) відношенню; 3) значенню відношення;
4) значенню відношень пропорції?
631′. Чи правильного масштаб карти – це:
1) число; 2) величина; 3) вираз?
632′. Що показує масштаб карти:
1)1:100 000; 2)1:5 000000; 3)1:500; 4)1:2000?
633′. Що показує масштаб зображення:
1)4:1; 2)10:1; 3)50:1; 4)400:1?
Мал. 20
Мал. 21
Мал. 22
Мал. 23
634°. Який коефіцієнт пропорційності зафарбованої і незафарбованої частин: 1) шестикутника (мал. 20); 2) трикутника (мал. 21)?
635°. Який коефіцієнт пропорційності: 1) зафарбованої і незафарбованої частин квадрата (мал. 22); 2) двох частин відрізка MN (мал. 23)?
636°. Для знаходження частин, на які поділено число 21 у відношенні 3 : 4, Сергійко склав рівняння;
1)3x + 4х = 7; 2)3 + 4 = 21х; 3) 3х + 4х = 21.
Чи правильно він це зробив?
637°. Поділіть число 24 у відношенні:
1)1:3; 2)3:5; 3) 1 : 2 : 5; 4) 2 : 2 : 4.
638°. Поділіть число 30 у відношенні:
1)1:2; 2)3: 4: 8.
639°. Два числа відносяться, як 5 : 3. Знайдіть ці числа, якщо;
1) їх сума дорівнює 40; 2) їх різниця дорівнює 16.
640°. Два числа відносяться, як 4 : 1. Знайдіть ці числа, якщо:
1) їх сума дорівнює 25; 2) їх різниця дорівнює 21.
641°. Відрізок АВ завдовжки 18 см точкою С поділено у відношенні 2 : 7. Знайдіть довжину кожної частини.
642°. Відрізок АС завдовжки 24 см точкою В поділено у відношенні З : 5. Знайдіть довжину кожної частини.
643°. Два відрізи однакової тканини коштують 320 грн. Довжина першого відрізу становить 5 м, а другого – 3 м. Скільки коштує кожний відріз тканини?
644°. Дві школи закупили квитки до театру і заплатили за них 12 200 грн. Скільки сплатила кожна школа, якщо театр відвідали 286 учнів першої школи і 324 учні – другої?
645°. Латунь являє собою сплав міді та олова. Скільки грамів міді і скільки грамів олова містить 270 г латуні, якщо для сплаву потрібно взяти 1 частину олова і 2 частини міді?
646°. Для сплаву беруть одну частину свинцю і три частини олова. Скільки грамів свинцю й олова міститься в 600 г сплаву?
647°. Яким є масштаб карти, якщо довжина відрізка АВ:
1) на карті у 20 000 разів менша, ніж на місцевості;
2) на місцевості в 400 разів більша, ніж на карті?
648°. Яким є масштаб карти, якщо довжина відрізка CD.
1) на карті в 50 000 разів менша, ніж на місцевості;
2) на місцевості в 1000 разів більша, ніж на карті?
649°. Якою буде довжина відрізка АВ на місцевості, якщо відрізок АВ = 1 см зображено на карті з масштабом 1 : 100 000?
650 Якою буде довжина відрізка CD на місцевості, якщо відрізок CD= 1 см зображено на карті з масштабом 1:10 000?
651°. Масштаб карти 1 : 500 000. Визначте відстань на місцевості, якщо на карті вона зображена відрізком:
1)1см; 2) Зсм; 3) 4,5 см; 4) 6 см 2 мм.
652°. Масштаб карти 1 : 4 000 000. Визначте відстань на місцевості, якщо на карті вона зображена відрізком:
1) 2 см; 2) 5 см 5 мм.
653°. Відстань між Києвом і Вінницею дорівнює 260 км. Чому дорівнює відстань між цими містами на карті, масштаб якої:
1)1 : 10000000; 2)1 : 4 000000?
654°. Відстань між Донецьком і Житомиром дорівнює 880 км. Чому дорівнює відстань між цими містами на карті, масштаб якої 1 : 10 000 000?
655. Відрізок ВС точкою А поділено у відношенні 3 : 8, причому одна із частин на 5 см більша за іншу. Знайдіть довжину кожної частини.
656. Відрізок АВ точкою С поділено у відношенні 4 : 7, причому одна із частин на 9 см менша від іншої. Знайдіть довжину кожної частини.
657. Відрізок CD завдовжки 48 см точками А і В поділено у відношенні 5:3:4. Знайдіть довжину кожної частини.
658. Відрізок АВ завдовжки 36 см точками С і D поділено у відношенні 4:3:2. Знайдіть довжину кожної частини.
659. Деяку відстань пасажирський поїзд долає за 10 год 30 хв, а товарний – за 12 год. Яку відстань проїдуть до зустрічі поїзди, якщо вони вирушать одночасно з двох міст, відстань між якими 465 км?
660. Перший спортсмен пробігає 100 м за 12 с, а другий – за 13 с. Скільки метрів пробіжить кожний спортсмен до зустрічі, якщо вони почнуть біг одночасно назустріч один одному, розійшовшись на 200 м?
Мал. 24
661. Перша друкарка може надрукувати 90 сторінок за З год, а друга – за 7 год. Як розподілити друкаркам між собою 90 сторінок, щоб вони надрукували їх у найкоротший термін?
662. Перша бригада може виготовити 70 деталей за 4 год, а друга – за 3 год. Як розподілити бригадам між собою 70 деталей, щоб вони виконали завдання в найкоротший термін?
663. Для приготування будівельного розчину на 2 частини цементу беруть 2 частини піску і 0,8 частин води. Скільки кілограмів будівельного розчину отримають, якщо візьмуть 100 кг цементу?
664. Для приготування напою беруть 2 частини вишневого соку, З частини води й 1 частину меду. Скільки напою отримають, якщо візьмуть 400 г вишневого соку?
665. Город має форму прямокутника, довжина якого становить 360 м, а ширина – 240 м. Які розміри буде мати зображення цього городу на плані, виконаному в масштабі 1 : 500?
666. План кімнати має форму прямокутника зі сторонами 20 мм і 30 мм. Які розміри має кімната, якщо план виконано в масштабі 1 :300?
671 *. Три числа відносяться, як 
Знайдіть ці числа, якщо відомо, що перше число менше від половини другого числа на 32.
672*. Визначте масштаб плану, якщо ліс площею 4 га на плані займає 1 см2.
ЗАСТОСУЙТЕ НА ПРАКТИЦІ
673. Для пошиття сукні Тетянка зробила викрійку за кресленням у журналі. Довжина виробу на викрійці сукні дорівнює 75 см. Обчисліть масштаб креслення в журналі, якщо на ньому довжина сукні дорівнює 15 см.
674. Довжина деталі – 30 мм. Який використовували масштаб, якщо на кресленні довжина деталі дорівнює 60 мм?
675. Накресліть у масштабі 1 : 50 план:
1) класної кімнати; 2) однієї з кімнат свого помешкання.
ЗАДАЧІ НА ПОВТОРЕННЯ
676. Обчисліть усно, яке число треба вписати в останню клітинку ланцюжка.
677. Знайдіть:
678. Велосипедист і пішохід вирушили одночасно із села на станцію. Велосипедист їхав зі швидкістю 18 км/год і через півгодини обігнав пішохода на 7 км. З якою швидкістю йшов пішохід?
667. За картою (мал. 24) визначте відстань між: 1) Миколаєвом і Рівним; 2) Києвом й Ужгородом; 3) Черніговом й Одесою; 4) Луганськом і Чернівцями.
668. За картою (мал. 24) визначте відстань між: 1) Черкасами і Львовом; 2) Харковом й Івано-Франківськом.
669*. Сума чотирьох чисел дорівнює 4,2. Перші три числа відносяться, як 1,2 : 4 : 0,8, а четверте число становить 0,6 від другого. Знайдіть перше число.
670*. Число 144 поділено натри частини х, у, z так, що х : у = 3 : 2, у: z = 4 : 5. Знайдіть частини даного числа.
(2 votes, average: 2,50 out of 5)