Predmety


Поділ відрізка в заданому відношенні

44.

А) М – середина PQ; Р( 1,2; -3; 6,3), Q(-2,6; 3,2; -5,1);

 Поділ відрізка в заданому відношенні М(-0,7; 0,1; 0,6);

Б) Поділ відрізка в заданому відношенні  Поділ відрізка в заданому відношенні

 Поділ відрізка в заданому відношенні Поділ відрізка в заданому відношенні

45.

А) К – середина АВ; М – середина CD.

 Поділ відрізка в заданому відношенні  Поділ відрізка в заданому відношенні

К(1; 0; -2); М( 1; 1; -2).  Поділ відрізка в заданому відношенні

Б) Р – середина АС; Z – середина BD.

 Поділ відрізка в заданому відношенні  Поділ відрізка в заданому відношенні

Р(2,5; 0; 1); Z(-0,5; 1; -3).

 Поділ відрізка в заданому відношенні

46.

 Поділ відрізка в заданому відношенні2 + хв = 2; хв = 0;  Поділ відрізка в заданому відношенні -1 + ув = 8; ув =9;

 Поділ відрізка в заданому відношенні 6 + zв = 0; zв = -6. Отже, B(0; 9; -6).

47.

М(1; -1; 2), N(-3; 2; 4).

М – середина AN;  Поділ відрізка в заданому відношенні  Поділ відрізка в заданому відношенні

УA = -4;  Поділ відрізка в заданому відношенні zA = 0; Отже, 4(5; -4; 0).

N – середина MB;  Поділ відрізка в заданому відношенні хв = -7;

 Поділ відрізка в заданому відношенніУв= 5;  Поділ відрізка в заданому відношенні zв = 6. Отже, В(-7; 5; 6).

48.

АK – медіана ΔАВС, тоді K – середина ВС.

К(0; -1; 0);  Поділ відрізка в заданому відношенні

ВР – медіана ΔАВС, тоді Р – середина АС

Р(4; 0; -1);  Поділ відрізка в заданому відношенні

CD – медіана ΔАВС, тоді D – середина АВ.

D(-1; 2; 1);  Поділ відрізка в заданому відношенні

49.

 Поділ відрізка в заданому відношенні

N – середина EF; М(-2; 3; 0); Р – середина FK; Р(-1; 0; -2);

С – середина EK; С(0; 1; 0).

 Поділ відрізка в заданому відношенні

 Поділ відрізка в заданому відношенні

 Поділ відрізка в заданому відношенні

50.

 Поділ відрізка в заданому відношенні

Μ – середина AB: Поділ відрізка в заданому відношенніXA = 4;  Поділ відрізка в заданому відношенні yA = -2;

 Поділ відрізка в заданому відношенні zA = 8. Отже, Α(4; -2; 8).

N – середина ВС:  Поділ відрізка в заданому відношенні хC = 0; Поділ відрізка в заданому відношенні

YC = -8;  Поділ відрізка в заданому відношенні zC = 4. Отже, C(0; -8; 4).

51.

Якщо AM – медіана, то М – середина ВС,

Тоді  Поділ відрізка в заданому відношенні хв = 2;  Поділ відрізка в заданому відношенні yв = 4;  Поділ відрізка в заданому відношенні

Zв = 2. Отже, В(2; 4; 2)

BN – медіана, тоді N – середина АС, N( 1; -2; 4).

 Поділ відрізка в заданому відношенні

52.

А)А(1г-3; 12); В(0;.2; 6); С(3; 3; -.10); D(4; -2; -4).

Знайдемо О – середину АС:  Поділ відрізка в заданому відношенніO(2; 0; 1).

Знайдемо О1 – середину BD. O1(2; 0; 1). О і О1 збігаються.

Отже, діагоналі перетинаються і точкою перетину діляться навпіл.

Тому ABCD – паралелограм,

Б) А(4; 2; -5); В(-6; 2; 8); С( 2; -3; 9); D(12; 2; 4).

Знайдемо середину АС:  Поділ відрізка в заданому відношенні

Знайдемо середину BD: O1(3; 2; 2).

Середини діагоналей чотирикутника не збігаються.

Отже, у чотирикутнику ABCD не виконується умова:

Діагоналі паралелограма точкою перетину діляться навпіл.

Тому ABCD не є паралелограмом.

53.

А) Знайдемо О – середину АС: Поділ відрізка в заданому відношенніO(-1; 2; 0).

Точка О є серединою і діагоналі BD.

Тому:  Поділ відрізка в заданому відношенні хD = 8;  Поділ відрізка в заданому відношенні yD = 7;  Поділ відрізка в заданому відношенні zD = 2.

Отже, D(-3; 7; 2).

Б) О – середина АС і BD. O(4; 2; -2).  Поділ відрізка в заданому відношенні

1 + хD = 8; xD = 7;  Поділ відрізка в заданому відношенні 5 + yD = 4; уD = -1;  Поділ відрізка в заданому відношенні

2 + zD = -4; zD = -6. Отже, D(7; -1; -6).

54.

О – середина АС, тому

 Поділ відрізка в заданому відношенні xC = 4;  Поділ відрізка в заданому відношенні

УC = -3;  Поділ відрізка в заданому відношенні zC = 6.Отже, C(1; -3; 6).

О – середина BD.

 Поділ відрізка в заданому відношенні -4 + xD = 2; xD = 6;  Поділ відрізка в заданому відношенні

YD = 0;  Поділ відрізка в заданому відношенні 5 + zD = 4; zD = -1. Отже, D(6; 0; -1).

55.

A) AM : MB = 2, тобто AM : MB = 2 : 1. A(-5; 4; 2), B(1; 1; -1).

 Поділ відрізка в заданому відношенні  Поділ відрізка в заданому відношенні  Поділ відрізка в заданому відношенні

Отже, M(-1; 2; 0).

Б) A(1; -1; 2), B(2; -4; 1), λ = 0,5, AM : MB = 1 : 2

 Поділ відрізка в заданому відношенні  Поділ відрізка в заданому відношенні  Поділ відрізка в заданому відношенні

Отже,  Поділ відрізка в заданому відношенні

В) A(1; 0; -2), B(9; -3; 6),  Поділ відрізка в заданому відношенні  Поділ відрізка в заданому відношенні

 Поділ відрізка в заданому відношенні  Поділ відрізка в заданому відношенні  Поділ відрізка в заданому відношенні

Отже,  Поділ відрізка в заданому відношенні

56.

ΔMNP: A(3; 2; 4), N(1; 3; 2), P(-3; 4; 3).

Медіани трикутника перетинаються в точці, яка ділить їх у відношенні 2:1,

Починаючи від вершини. MZ – медіана, Z – середина NP.

Z(-1; 3,5; 2,5). Знайдемо координати точки О, яка ділить MZ у відношенні 2 : 1.

MO : OZ = 2 : 1.

 Поділ відрізка в заданому відношенні Поділ відрізка в заданому відношенні  Поділ відрізка в заданому відношенні

Отже,  Поділ відрізка в заданому відношенні– точка перетину медіан ΔMNP.

57.

А) Якщо Р лежить на осі z, то Р(0; 0; z), О – середина MN, М(а; -2; 3), N(2; 6; -1),

Тоді:  Поділ відрізка в заданому відношенні а = -2;  Поділ відрізка в заданому відношенні б = 2.

Б) М(2а2; – b; 1), N(а – 1; 1; 5). Поділ відрізка в заданому відношенні2а2 + о – 1 = 0; а = -1 або Поділ відрізка в заданому відношенні Поділ відрізка в заданому відношенні b = 1.

В) М(3а; 6 + 1; 4), N(b; 1-а; -2). Поділ відрізка в заданому відношенні Поділ відрізка в заданому відношенні

Маємо систему:

 Поділ відрізка в заданому відношенні  Поділ відрізка в заданому відношенні  Поділ відрізка в заданому відношенні  Поділ відрізка в заданому відношенні

58.

ΔАBС: А(1; -1; 2), B(4; 2; -1), С(1; 5; 2)

 Поділ відрізка в заданому відношенні

 Поділ відрізка в заданому відношенні

 Поділ відрізка в заданому відношенні

ΔABC – рівнобедрений, АС – основа і найбільша сторона.

Тому висота, проведена до найбільшої сторони – це висота з вершини В.

ВК + АС, K – середина АС (оскільки ΔABC – рівнобедрений).

 Поділ відрізка в заданому відношенні К(1; 2; 2).

 Поділ відрізка в заданому відношенні

 Поділ відрізка в заданому відношенні

59.

А(1; 3; -1), В(3; -1; 1), С(3; 1; -1).

А)  Поділ відрізка в заданому відношенні

 Поділ відрізка в заданому відношенні

 Поділ відрізка в заданому відношенні

АС – найбільша сторона ΔABC – рівнобедрений.

СK – висота, проведена до найбільшої сторони, і медіана.

K – середина АВ; К(2; 1; 0).

Б)  Поділ відрізка в заданому відношенні

 Поділ відрізка в заданому відношенні

Звідси ∠A = 30°, ∠B = ∠А = 30°,

∠C = 180° – (30° + 30°) = 120°.

В)  Поділ відрізка в заданому відношенні

60.

A1(1; -2; 3), А2(З; 2; 1), А3(-1; 4; 1).

1-й випадок. А1А2 – діагональ, О – середина Α1Α2. O(2; 0; 2),

О – середина А3A4.

 Поділ відрізка в заданому відношенні -1 + хА4 = 4; хА4 = 5;  Поділ відрізка в заданому відношенні 4 + уА4 = 0; уА4 = -4;

 Поділ відрізка в заданому відношенні-1 + z А4 = 4; z А4 = 4.

Отже, А4(5; -4; 4).

2-й випадок. А1А3 – діагональ. О – середина А1А3, O(0; 1; 1).

 Поділ відрізка в заданому відношенні 3 + xА4 = 0; х А4 = -3;  Поділ відрізка в заданому відношенні 2 + уА4 = 2; у А4= 0;

 Поділ відрізка в заданому відношенні 1 + z А4 = 2; г А4 =1. Отже, А4(-3; 0; 1).

3-й випадок. А 2А3 – діагональ. О – середина А 2А3 O(1; 3; 0).

 Поділ відрізка в заданому відношенні 1 + х А4 = 2; x А4 =1;  Поділ відрізка в заданому відношенні -2 + уА4 = 6; уа4 = 8;

 Поділ відрізка в заданому відношенні 3 + z А4 = 0; z А4= – 3.

Отже, А4(1; 8; -3).

Задача має три розв’язки.

61.

АK – медіана, K – середина ВС.

 Поділ відрізка в заданому відношенні або K(2; 2; -2).

О 1 – точка перетину медіан ділить АK у відношенні 2:1,

Тобто AO1 : О1K = 2 : 1.

 Поділ відрізка в заданому відношенні  Поділ відрізка в заданому відношенні  Поділ відрізка в заданому відношенні

O1(1; 2; 2), O(0; 0; 0) – початок координат.

 Поділ відрізка в заданому відношенні

62.

А)  Поділ відрізка в заданому відношенні  Поділ відрізка в заданому відношенні  Поділ відрізка в заданому відношенні

ΔABC – рівносторонній, тому О – центр описаного кола –

Знаходиться в точці перетину медіан; АР – медіана. Р(3; 2; 0).

АО : ОР = 2 : 1;  Поділ відрізка в заданому відношенні  Поділ відрізка в заданому відношенні  Поділ відрізка в заданому відношенні

Отже,  Поділ відрізка в заданому відношенні

Б) АВ2 – 9 + 1 + 0 = 10; ВС2 = 1 + 9+ 4 – 14; АС2 = 16 + 4 + 4 = 24.

Нескладно замітити, що АС2 = АВ2 + ВС2, тому ΔАВС – прямокутний,

О – центр описаного кола. О – середина АВ,

 Поділ відрізка в заданому відношенні O(1; 2; 2).

63.

А)  Поділ відрізка в заданому відношенні

 Поділ відрізка в заданому відношенні

 Поділ відрізка в заданому відношенні

ΔАВС – рівносторонній. Центром кола, вписаного в цей трикутник,

Є точка перетину медіан (в рівносторонньому трикутнику медіани є бісектрисами).

АK – медіана, K (5; 1; 2). О – центр вписаного кола. AO : ОK = 2 : 1.

 Поділ відрізка в заданому відношенні  Поділ відрізка в заданому відношенні  Поділ відрізка в заданому відношенні

Отже,  Поділ відрізка в заданому відношенні

Б)

 Поділ відрізка в заданому відношенні

 Поділ відрізка в заданому відношенні

 Поділ відрізка в заданому відношенні

 Поділ відрізка в заданому відношенні

ΔАВС – рівнобедрений. АС – основа. О – центр кола, вписаного в ΔАВС,

Лежить на ВК – бісектрисі ΔАВС, оскільки АВ = ВС, то ВK – бісектриса і медіана.

К – середина АС, K(2; 1; 2), О лежить також на бісектрисі ∠C ΔАВС.

За властивістю бісектриси трикутника, бісектриса СК ділить ВK точкою О

У відношенні ВО : ОК = ВС : СK.

 Поділ відрізка в заданому відношенні  Поділ відрізка в заданому відношенні

 Поділ відрізка в заданому відношенні

 Поділ відрізка в заданому відношенні Поділ відрізка в заданому відношенні

 Поділ відрізка в заданому відношенні Поділ відрізка в заданому відношенні

Отже,  Поділ відрізка в заданому відношенні

64.

ABCD – основа куба, квадрат.

АС – діагональ.  Поділ відрізка в заданому відношенні або  Поділ відрізка в заданому відношенні

Точка перетину діагоналей основи куба.

 Поділ відрізка в заданому відношенні xD = 1;  Поділ відрізка в заданому відношенні yD = 0;  Поділ відрізка в заданому відношенні zD = 0;

Отже, O(1; 0; 0).

 Поділ відрізка в заданому відношенні

Оскільки довжина сторони куба дорівнює 5, то А1(-2; 4; 5), B1(2; 7; 5), C1(5; 3; 5),

D1( 1; 0; 5) або А 1 (-2; 4; -5), В1(2; 7; -5), С1(5; 3; -5), D(1; 0; -5).

Тоді координати точок перетину діагоналей є серединою діагоналі АС1, тобто

 Поділ відрізка в заданому відношенні або  Поділ відрізка в заданому відношенні Поділ відрізка в заданому відношенні або  Поділ відрізка в заданому відношенні

65.

СК – медіана, K – середина АВ.

 Поділ відрізка в заданому відношенні точка М ділить СK у відношенні CM : МK – 2 : 1, тоді

 Поділ відрізка в заданому відношенні  Поділ відрізка в заданому відношенні  Поділ відрізка в заданому відношенні  Поділ відрізка в заданому відношенні

ХC + 10 = 3;  Поділ відрізка в заданому відношенні уC + 10 = 6; уC = -4;

 Поділ відрізка в заданому відношенніZC – 5 = -6; zС = -1.

Отже, С(-7; -4; -1).

66.

BL – бісектриса ΔАВС, тому AL : LC = АВ : ВС.

 Поділ відрізка в заданому відношенні

 Поділ відрізка в заданому відношенні

А(5; 6; 3), С(0; 1; 1), AL : LC = 3 : 5.

 Поділ відрізка в заданому відношенні  Поділ відрізка в заданому відношенні  Поділ відрізка в заданому відношенні

Отже,  Поділ відрізка в заданому відношенні

67.

ML – бісектриса, L ділить сторону NK у відношенні NL : LK = MN : МК.

 Поділ відрізка в заданому відношенні

 Поділ відрізка в заданому відношенні

 Поділ відрізка в заданому відношенні

 Поділ відрізка в заданому відношенні  Поділ відрізка в заданому відношенні Поділ відрізка в заданому відношенні

 Поділ відрізка в заданому відношенні  Поділ відрізка в заданому відношенні

 Поділ відрізка в заданому відношенні

68.

ΔАВС – рівносторонній, О1 – точка перетину медіан, О – початок координат, OO1 – шукана відстань. Знайдемо координати О1. АК – медіана ΔАВС, K – середина ВС, K(0; 3; 3). ΑO1 : О1K = 2 : 1.

 Поділ відрізка в заданому відношенні  Поділ відрізка в заданому відношенні  Поділ відрізка в заданому відношенні

Отже, O1(2; 2; 2).

Тоді Поділ відрізка в заданому відношенні

69.

Пряма АВ площини о. лежить в площині ху,

Пряма KР площини β лежить в площині ху.

АВ є середня лінія ΔОKР (О – початок координат).

Тому АВ? KР. Аналогічно ВС? РТ.

Прямі AS і ВС перетинаються і лежать у площині α.

Прямі KР і РТ перетинаються і лежать у площині β.

АВ? KР, ВС? РТ, тому α ? β.

Відстань між а і β дорівнює відстані між точками перетину медіан ΔABC і ΔKРТ.

О1 – точка перетину медіан ΔАВС, АK – медіана, K – середина ВС, K(0; 1; 1).

АО1 : Ο1Κ = 2 : 1.

 Поділ відрізка в заданому відношенні  Поділ відрізка в заданому відношенні  Поділ відрізка в заданому відношенні  Поділ відрізка в заданому відношенні

О2 – точка перетину медіан ΔАKРТ, KS – медіана; S – середина РТ, S(0; 2; 2).

KO2 : O2S = 2 : 1.

 Поділ відрізка в заданому відношенні  Поділ відрізка в заданому відношенні  Поділ відрізка в заданому відношенні

Отже,  Поділ відрізка в заданому відношенні

 Поділ відрізка в заданому відношенні

70.

А)  Поділ відрізка в заданому відношенні

 Поділ відрізка в заданому відношенні

 Поділ відрізка в заданому відношенні

Бічні ребра рівні, тому О – центр кола, описаного навколо ΔАВС,

Де SO – висота піраміди.

 Поділ відрізка в заданому відношенні  Поділ відрізка в заданому відношенні  Поділ відрізка в заданому відношенні

ΔАВС – рівнобедрений.

ВK – медіана;K – середина АС; К(-1; 2; 1).  Поділ відрізка в заданому відношенні

 Поділ відрізка в заданому відношенні

 Поділ відрізка в заданому відношенні

 Поділ відрізка в заданому відношенні

α – кут нахилу ребер до площини основи.

З ΔSOA – прямокутного:  Поділ відрізка в заданому відношенні  Поділ відрізка в заданому відношенні

Б)  Поділ відрізка в заданому відношенні  Поділ відрізка в заданому відношенні  Поділ відрізка в заданому відношенні

Бічні ребра рівні, тому О – центр кола, описаного навколо ΔABC;

SO – висота піраміди.

 Поділ відрізка в заданому відношенні  Поділ відрізка в заданому відношенні  Поділ відрізка в заданому відношенні

ΔABC – рівносторонній. За формулою Герона знайдемо S.

 Поділ відрізка в заданому відношенні

 Поділ відрізка в заданому відношенні

 Поділ відрізка в заданому відношенні

 Поділ відрізка в заданому відношенні α – шуканий кут.

 Поділ відрізка в заданому відношенні  Поділ відрізка в заданому відношенні


1 Star2 Stars3 Stars4 Stars5 Stars (No Ratings Yet)
Loading...