Приклади графіків залежностей між величинами

Розділ 4 Раціональні числа і дії мідними

§54. Приклади графіків залежностей між величинами

На координатній площині можна будувати графіки залежностей між різними величинами.

Приклад 1. Метеорологи протягом доби вимірювали температуру повітря через кожні дві години. За результатами вимірювань було складено таблицю:

T, год

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

22

24

T, °С

4

2

0

-3

-4

-1

2

5

7

5

4

3

1

 Приклади графіків залежностей між величинами src="/image/1/image1198.jpg" class=""/>

Мал. 135

 Приклади графіків залежностей між величинами

Мал. 136

Ця таблиця характеризує залежність температури повітря від часу. Таку залежність можна зобразити графічно. Для цього побудуємо прямокутну систему координат (мал. 135). На осі абсцис будемо відкладати значення часу (t, год) так, що одній клітинці відповідатиме одна година, а на осі

ординат відкладатимемо значення температури (Т, °С) так, що одній клітинці відповідатиме один градус. Далі на координатній площині побудуємо всі точки, координатами яких є відповідні числа з таблиці, – всього 13 точок: (0; 4), (2; 2), …, (24; 1). Абсциса кожної точки – значення часу, а ордината – значення температури повітря в цей час. Якби метеорологи вимірювали температуру частіше (наприклад, через кожну годину чи кожні 30 хв), то одержали б значно більше точок, які б лежали щільніше одна до одної на координатній площині. Якщо припустити, що різких стрибків температури не було і сполучити знайдені точки плавною лінією, то одержимо графік залежності температури повітря від часу (мал. 136).

Побудований графік наочно описує зміну температури протягом доби. За допомогою графіка можна дати відповіді на багато запитань.

Приклад 2. Користуючись графіком, побудованим у прикладі 1, знайти:

1) якою була температура об 11 год;

2) о котрій годині температура становила 3 °С.

Розв’язання. 1) На осі абсцис, де відкладено час t, знайдемо число 11. Будуємо пряму, перпендикулярну до осі абсцис, що проходить через точку (11; 0). Ця пряма перетинає графік у точці A. Знайдемо ординату точки A. Вона дорівнює 1. Отже, об 11 год температура була 1 °С.

2) На осі ординат, де відкладено значення температури T, знайдемо число 3. Будуємо пряму, перпендикулярну до осі ординат, що проходить через точку (0; 3). Ця пряма перетинає графік у трьох точках: B, C і D. Знайдемо абсциси цих точок: 1, 13, 22 відповідно. Отже, температура 3 °С була близько 1 год, близько 13 год і близько 22 год.

Приклад 3. Мотоцикліст рухався зі швидкістю 40 км/год. Він порахував залежність відстані (s, км) від часу (t, год) й одержав таблицю:

T, год

0

1

2

3

4

5

S, км

0

40

80

120

160

200

Побудуємо графік цього руху. На осі абсцис відкладаємо значення часу (t, год) так, що одній годині відповідає дві клітинки, а на осі ординат відкладаємо значення відстані (s, км) так, що одній клітинці відповідає відстань 20 км. Побудуємо точки (0; 0), (1; 40), (2; 80), (3; 120), (4; 160) і (5; 200). Приклавши лінійку до побудованих точок, бачимо, що вони лежать на одній прямій. Сполучивши точки відрізками, одержимо графік залежності відстані від часу при сталій швидкості (мал. 137).

 Приклади графіків залежностей між величинами

Мал. 137

Цю залежність відстані s (у км) від часу t (у год) можна задати формулою s = 40t.

Як і в попередньому прикладі, користуючись графіком, ми можемо розв’язати задачі двох типів: знаючи час, знайти відстань, яку подолали за цей час, і, навпаки, знайти час, за який подолали деяку відстань.

Розглянь приклад 1 і поясни, як побудувати графік залежності температури від часу. Що можна знайти, використовуючи графік з прикладу 1?

Розглянь приклад 3 і поясни, як побудувати графік залежності відстані від часу.

1539. Побудуй графік залежності температури повітря (T, °С) від часу (t, год) за даними такої таблиці:

,t год

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

°О

3

1

1

-1

-2

-4

-3

-2

0

1

3

3

4

1540. Побудуй графік залежності температури повітря (T, °С) від часу (t, год) за даними такої таблиці:

T, год

0

1

2

3

4

5

6

7

8

T, °С

2

1

-1

-2

-4

-5

-3

-1

1

1541. Майстер за одну годину виготовляє 10 деталей. Заповни в зошиті таблицю залежності кількості виготовлених деталей n від тривалості роботи t:

T, год

1

2

3

4

5

6

7

8

N, дет.

1542. Ручка коштує 2 грн. Заповни в зошиті таблицю залежності між кількістю n придбаних ручок і їх вартістю С.

N, шт.

1

2

3

4

5

С, грн

1543. На малюнку 138 зображено графік залежності температури повітря (Т, °С) від часу (t, год) протягом доби. Користуючись графіком, знайди: 1) якою була температура повітря о 2 год; о 6 год; о 10 год; о 14 год;

 Приклади графіків залежностей між величинами

Мал. 138

2) о котрій годині температура повітря була -5 °С; -2 °С; 1 °С.

1544. Користуючись графіком залежності температури повітря (T, °С) від часу (t, год) за малюнком 139, знайди:

1) якою була температура повітря о 4 год; о 8 год; о 16 год;

2) о котрій годині температура повітря була -4 °С; -1 °С; 5 °С.

1545. На малюнку 139 зображено графік залежності відстані s (у км), яку проїхав автомобіль, від часу руху t (у год):

1) яку відстань s проїхав автомобіль, якщо t = 1 год; 3 год; 4 год;

2) за який час t автомобіль проїхав відстань s, якщо s = 100 км; 200 км;

3) яку відстань загалом подолав автомобіль і за який час?

1546. На малюнку 140 зображено графік залежності відстані s (у км), яку проїхав велосипедист, від часу t (у год):

1) якою була відстань s, коли t = 1 год; 3 год;

 Приклади графіків залежностей між величинами

Мал. 139

2) за який час t велосипедист проїхав відстань s, якщо s = 30 км; s = 60 км;

3) яку відстань загалом подолав велосипедист і за який час?

 Приклади графіків залежностей між величинами

Мал. 140

1547. (Усно) За графіком (мал. 138) дай відповіді на запитання:

1) о котрій годині температура була найнижчою, якою саме;

2) о котрій годині температура була найвищою, якою саме;

3) протягом якого часу температура повітря була нижчою від нуля, вищою за нуль;

4) на скільки градусів змінилася температура в проміжку часу від 4 год до 10 год; від 16 год до 22 год;

5) протягом якого часу температура знижувалась, протягом якого підвищувалась?

1548. Пішохід проходить одну й ту саму відстань у 12 км з різними швидкостями.

1) Склади в зошиті таблицю залежності витраченого часу t (у год) від швидкості руху v (у км/год):

V, км/год

2

3

4

5

6

T, год

2) Побудуй графік залежності часу t від швидкості руху v. 1549. Оператор комп’ютерного набору повинен набрати рукопис обсягом 30 сторінок.

1) Склади в зошиті таблицю залежності витраченого часу t (у год) від продуктивності праці N (у стор./год):

N, стор./год

2

3

4

5

6

T, год

2) Побудуй графік залежності часу t від продуктивності праці N.

1550. На малюнку 141 зображено графік руху туриста. На осі абсцис відкладено час t (у год), а на осі ординат – відстань туриста від табору s (у км). Знайди:

1) на якій відстані від табору турист був через 3 год після виходу з нього; через 5 год; через 8 год;

2) скільки часу витратив турист на зупинку;

3) через скільки годин після виходу з табору турист був за 6 км від табору; за 9 км від табору.

 Приклади графіків залежностей між величинами

Мал. 141

 Приклади графіків залежностей між величинами

Мал. 142

1551. На малюнку 142 зображено графік руху туриста. На осі абсцис відкладено час t (у год), а на осі ординат – відстань s (у км), на якій перебуває турист від свого будинку. Знайди:

1) на якій відстані від будинку турист був через 2 год після виходу з нього; через 4 год; через 8 год;

2) скільки часу турист витратив на зупинку;

3) через скільки годин після виходу з будинку турист був за 4 км від нього; за 8 км від нього.

1552. На малюнку 143 зображено два графіки залежностей температури повітря (T, °С) від часу (t, год) у двох містах: Києві (синім кольором) і Львові (червоним кольором) в один і той самий день. Користуючись графіком, визнач:

1) яку температуру показав термометр у кожному з міст о 2 год; о 4 год; о 12 год; о 22 год;

2) о котрій годині в кожному з цих міст термометр показував 0 °С; 2 °С;

3) у який період часу температура повітря в кожному з цих міст була нижчою від нуля; вищою за нуль;

4) о котрій годині температура повітря в кожному з цих міст була однаковою; якою саме;

 Приклади графіків залежностей між величинами

Мал. 143

5) у який період часу температура повітря в Києві була вищою, ніж у Львові; у Львові була вищою, ніж у Києві;

6) якою в кожному з цих міст була найнижча температура; найвища;

7) яку температуру повітря показував термометр у Львові, коли в Києві було -2 °С.

1553. У баку 3500 л води. Щогодини з бака виливається 500 л води.

1) Склади в зошиті таблицю залежності об’єму води p (у л), що залишається у баку, від часу t (у год):

T, год

0

1

2

3

4

5

6

7

P,

3500

2) Побудуй графік залежності об’єму води p від часу t.

1554. У баку 30 л води. Щохвилини з бака виливається 5 л.

1) Склади в зошиті таблицю залежності об’єму води p (у л), що залишається у баку, від часу t (у хв):

T, хв

0

1

2

3

4

5

6

P, е

30

2) Побудуй графік залежності об’єму води p від часу t.

1555. Розв’яжи рівняння

 Приклади графіків залежностей між величинами

1556. Накресли чотирикутник ABCD так, що:

1) AB 1 BC і AB || CD; 2) AB 1 BC, AB || CD, AD || BC.

1557. Знайди суму, доданками якої є числа: обернене і протилежне числу 8,25.

1558. Чи можна з прямокутних паралелепіпедів 1x1x2 скласти куб 3x3x3 без одного кубика на ребрі (мал. 144)?

 Приклади графіків залежностей між величинами

Мал. 144

Завдання для перевірки знань № 10 (§ 50 – § 54)

1. Обчисли:

1) -2,7 + 1,2; 2) 4 – 8; 3) 13 ∙ (-8); 4) -42 : (-2).

2. У якому з випадків на малюнку 148 зображено перпендикулярні прямі, а в якому – паралельні прямі? Виконай відповідні записи.

 Приклади графіків залежностей між величинами

Мал. 148

3. У яких координатних кутах знаходяться точки, які зображено на малюнку 149?

4. Побудуй пряму BC, познач точку N, що їй не належить. За допомогою косинця і лінійки побудуй пряму NL, перпендикулярну до прямої BC, та пряму NK, паралельну прямій BC.

5. Знайди координати точок, які зображено на малюнку 150.

 Приклади графіків залежностей між величинами

Мал. 149

 Приклади графіків залежностей між величинами

Мал. 150

6. Познач на координатній площині точки: M(-2; 1), N(0; -3), K(4; -5), P(-3; -4).

7. Знайди значення виразу (-2,42 – (-5,57)) : (-0,7) + (-8) ∙ (-0,6).

8. У резервуарі 4 м3 води. Щохвилини з нього виливається 0,5 м3.

1) Склади таблицю залежності об’єму води p (у м3), що залишається в резервуарі, від часу t (у хв):

T, хв

0

1

2

3

4

5

6

7

8

,p м3

4

2) Побудуй графік залежності об’єму води p від часу t.

Додаткові вправи

9. Знайди 16 % від значення виразу:

 Приклади графіків залежностей між величинами

10. Познач на координатній площині точки (x; у) такі, що:

1) 0 ≥ у ≥ 2, x – довільне число; 2) x ≥ 0, у ≤ 0.

ДЛЯ ТИХ, ХТО ЛЮБИТЬ МАТЕМАТИКУ

1559. Яку координату має точка М координатної прямої, рівновіддалена від точок А(-2014) і Б(2024)?

1560. Якою цифрою закінчується значення виразу:

41 ∙ 42 ∙ 43 ∙ 45 – 52 ∙ 53 ∙ 54 ∙ 57?

1561. 1) Натуральне число x кратне числу 2 і кратне числу 5. Чи можна стверджувати, що число x кратне числу 10?

2) Натуральне число у кратне числу 2 і кратне числу 6. Чи можна стверджувати, що число у кратне числу 12?

1562. Розв’яжи рівняння |x + b| = а, де а і b – деякі числа.

1563. Чи є число 20 1 5105 – 2 76106 кратним числу 10?

1564. Доведи, що для будь-яких цілих чисел а, b і c значення виразу |а – b| + |b – c| + |c – а| є парним числом.

1565. У Сергія 1150 марок на такі теми: видатні українці, спорт, автомобілі, тварини. Кількість марок по темах зображено на стовпчастій діаграмі(мал. 151). Визнач з точністю до десятків кількість марок по кожній темі.

 Приклади графіків залежностей між величинами

Мал. 151

1566. До чисел 100 і 1000 дописали праворуч цифру 1. Яке із чисел збільшилося на більшу кількість відсотків?

1567. Двоє хлопців разом мали 24 грн. Коли Сергій витратив  Приклади графіків залежностей між величинами своїх грошей, а Петро – 0,65 своїх грошей, то в них залишилось грошей порівну. Скільки грошей було у кожного хлопця спочатку?

1568. Доведи, що  Приклади графіків залежностей між величинами

 Приклади графіків залежностей між величинами

1570. Коли моєму батькові виповнився 31 рік, мені було 8 років, а зараз батько старший за мене вдвічі. Скільки років зараз мені?

1571. На площині через дану точку провели 6 прямих. Яка найбільша кількість прямих кутів може при цьому утворитися?

1572. Є ручки чотирьох різних кольорів: синього, чорного, червоного і зеленого. Навмання вибирають дві ручки. Яка ймовірність того, що:

1) одна з них синього кольору, а друга – чорного кольору;

2) серед вибраних є ручка зеленого кольору?

1573. За перший день робітник перевиконав замовлення на 5 %, а за другий – на 7 %. На скільки відсотків робітник перевиконав замовлення за ці два дні?

1574. За 5 днів 8 корів чорної масті і 6 корів рудої масті дали таку саму кількість молока, скільки 6 корів чорної масті і 10 рудої за 4 дні. Які корови більш продуктивні – чорної масті чи рудої?

1575. Яка найменша кількість учнів може бути у математичному гуртку, якщо відомо, що хлопців у ньому більше ніж 50 %, але менше ніж 60 %? Скільки серед них хлопців?

1576. Відрізок поділили на частини у відношенні 2 : 5 : 7. Відстань між серединами перших двох частин дорівнює 7 см. Знайди довжину даного відрізка.

1577. Чи ділиться число 2014! На  Приклади графіків залежностей між величинами (Нагадаємо, що 2014! = 1 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 4 ∙ … ∙ 2013 ∙ 2014.)

1578. Запиши у рядок сім чисел таких, щоб сума будь-яких двох сусідніх чисел була від’ємною, а сума всіх семи чисел – додатною.

1579. Знайди всі такі числа р, щоб p і p + 17 були простими числами.

1580. Олександр Семенович випив  Приклади графіків залежностей між величинами чашки чорної кави і долив її молоком. Потім він випив  Приклади графіків залежностей між величинами чашки і знову долив її молоком. Згодом Олександр Семенович випив ще пів-чашки і знову долив її молоком. Нарешті він випив повну чашку. Чого Олександр Семенович випив більше, кави чи молока?

1581. Два велосипедисти рухаються по велотреку, довжина якого 450 м. Вони зустрічаються через кожну хвилину, якщо рухаються в протилежних напрямах, і через кожні 9 хв, якщо рухаються в одному напрямі. Знайди швидкість кожного велосипедиста.

1582. Котра зараз година, якщо до кінця доби залишилося  Приклади графіків залежностей між величинами того, що вже пройшло від її початку?

1583. 16 слив коштують стільки гривень, скільки слив можна купити на одну гривню. Скільки коштують 20 слив?

1584. Якщо рахувати зошити десятками, то 2 зошити не вистачить до цілої кількості десятків. Якщо рахувати зошити дюжинами (тобто по 12), то до цілої кількості дюжин не вистачить 4 зошити. Скільки всього було зошитів, якщо їх було більше за 300, але менше за 400?

1585. Коли у Миколи в пляшці було на 20 % “Живчика” більше, ніж у Гліба, він випив зі своєї пляшки 19 % її вмісту, а Гліб зі своєї – 2 % вмісту. У кого з друзів залишилося більше “Живчика”?

1586. Позавчора Дмитру було ще тільки 10 років, а наступного року йому виповниться 13. Як це може бути?

1587. Квадрат 7×7 заповнено числами так, що добуток чисел у кожному стовпчику є від’ємним. Доведи, що знайдеться і рядок, у якому добуток чисел також буде від’ємним.




Приклади графіків залежностей між величинами