Пропорційність відрізків хорд і січних кола

Геометрія

Кути, пов’язані з колом

Пропорційність відрізків хорд і січних кола

Теорема 1. Якщо хорди AB і CD кола перетинаються в точці S, то  Пропорційність відрізків хорд і січних кола (рисунок 1).
Теорема 2. Якщо з точки P до кола проведені дві січні, що перетинають коло відповідно в точках A, B, C, D, то  Пропорційність відрізків хорд і січних кола (рисунок 2).
Тобто добуток січної, проведеної до кола з даної точки на її зовнішню частину, є число незмінне.
Теорема 3. Якщо з точки P до кола проведені дотична, яка проходить через точку дотику A, і січна, яка перетинає

коло в точках B і C, то  Пропорційність відрізків хорд і січних кола (рисунок 3).
 Пропорційність відрізків хорд і січних кола
Рис. 1
 Пропорційність відрізків хорд і січних кола
Рис. 2 Рис. 3
Тобто для січної і дотичної, що проведені до кола з однієї точки, квадрат дотичної дорівнює добутку січної на її зовнішню частину.
Теорема 4. Хорди, що з’єднують кінці паралельних хорд, рівні.

Вписані й описані чотирикутники

 Пропорційність відрізків хорд і січних кола
Теорема 1. Нав­коло чотирикутника можна описати коло тоді й тільки тоді, коли

сума його протилежних кутів дорівнює  Пропорційність відрізків хорд і січних кола.
На рисунку  Пропорційність відрізків хорд і січних кола.
Із цього випливає, що коло можна описати навколо прямокутника (рисунок нижче зліва), зокрема квадрата (рисунок справа), його центром буде точка перетину його діагоналей. Радіус – половина діагоналі.
 Пропорційність відрізків хорд і січних кола
Коло можна описати навколо трапеції тоді й тільки тоді, коли вона є рівнобічною (див. рисунок). Центром кола є точка перетину середніх перпендикулярів до сторін. Навколо паралелограма та трапеції загального виду описати коло не можна. (Зокрема, навколо ромба не можна описати коло.)
 Пропорційність відрізків хорд і січних кола
Теорема 2. Чотирикутник тоді й тільки тоді можна описати навколо кола, якщо суми його протилежних сторін дорівнюють одна ­одній.
На рисунку  Пропорційність відрізків хорд і січних кола.
 Пропорційність відрізків хорд і січних кола
Отже, коло можна вписати в ромб (зокрема у квадрат), але не можна в прямокутник або паралелограм загального виду.
Центр кола, вписаного в ромб, є точкою перетину діагоналей (рисунок нижче зліва). Радіус кола дорівнює половині висоти ромба, а у квадраті – половині сторони (рисунок справа).
 Пропорційність відрізків хорд і січних кола
Зверніть увагу: радіус вписаного в ромб кола (ON) – це висота прямокутного трикутника BOC, яка проведена з вершини прямого кута і має всі властивості висоти прямокутного трикутника, що проведена з вершини прямого кута.
Теорема 3. Трапецію тоді й тільки тоді можна описати навколо кола, коли сума її основ дорівнює сумі бічних сторін (рисунок нижче зліва). Центр цього кола – точка перетину бісектрис кутів трапеції. Радіус дорівнює половині висоти трапеції. У випадку рівнобічної трапеції центр вписаного кола лежить на середині висоти трапеції, яка проходить через середини основ (рисунок справа). Бічна сторона трапеції у цьому випадку дорівнює її середній лінії.
 Пропорційність відрізків хорд і січних кола
 Пропорційність відрізків хорд і січних кола Пропорційність відрізків хорд і січних кола




Пропорційність відрізків хорд і січних кола