Прості та складені числа

Розділ 1 Подільність натуральних чисел

§4. Прості та складені числа

Число 11 ділиться тільки на 1 і на себе. Іншими словами, число 11 має тільки два дільники: 1 і 11. У числа 8 чотири дільники: 1, 2, 4 і 8. Число 18 має шість дільників: 1, 2, 3, 6, 9 і 18.

Такі числа, як 8 і 18, називають складеними числами, а такі, як 11, – простими числами.

– Натуральне число називають простим, якщо воно має тільки два різних дільники: одиницю і саме це число. Натуральне число називають складеним, якщо воно має більше двох дільників.

Число 1 має тільки один дільник:

саме себе. Тому воно не є ані простим, ані складеним.

Першими десятьма простими числами є 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29. На форзаці підручника наведено таблицю простих чисел від 2 до 997.

Найменше просте число – 2, найбільшого простого числа не існує. Яке просте число ми не взяли б, існує більше за нього просте число. Простих чисел безліч. Серед простих чисел лише число 2 є парним, усі інші – непарні.

Як визначити, що дане число є простим або складеним? Якщо число має дільник, відмінний від 1 і самого себе,

то це число має більше двох дільників і тому є складеним.

Приклад. Простим чи складеним є число 10 345?

Розв’язання. Це число є складеним, бо має дільником число 5, відмінне від 1 і 10 345.

– Будь-яке складене число можна розкласти на два множники, кожний з яких більший за 1 (наприклад, 10 345 = 5 ∙ 2069). Просте число так розкласти на множники не можна.

А ще раніше…

Давньогрецький математик Евклід (бл. 356 – 300 до н. е.) довів, що простих чисел безліч і найбільшого простого числа не існує.

Інший давньогрецький учений Ератосфен (бл. 276-194 до н. е.) запропонував спосіб для складання таблиці простих чисел. Цей спосіб назвали “решето Ератосфена”. У чому він полягає? Знайдемо, наприклад, усі прості числа від 1 до 30. Для цього випишемо їх підряд. Викреслюємо 1, яке не є простим числом. Далі підкреслюємо число 2, яке є простим, і викреслюємо всі числа, що кратні 2, тобто числа 4, 6, 8, … Наступне незакреслене число 3, яке є простим. Підкреслюємо його і закреслюємо всі числа, кратні 3, тобто числа 6, 9, 12, … Підкреслюємо наступне незакреслене число 5, яке є простим, і т. д. Таким чином “висіяли” всі прості числа, що не перевищують число 30:

 Прості та складені числа

Значним є внесок у вивчення простих чисел математиків П. Л. Чебишова (1821-1894), який довів, що між будь-якими натуральними числами n і2n – 2, де n > 3, завжди є принаймні одне просте число (наприклад, між числами 4 і 6 є просте число 5; між 5 і 8 – просте число 7; між 15 і 28 – просте число 17 і т. д.), та І. М. Виноградова (1891-1983), який встановив, що будь-яке непарне число, більше за 5, можна подати у вигляді суми трьох простих чисел, наприклад:

7 = 2 + 2 + 3; 9 = 3 + 3 + 3 = 2 + 2 + 5;

11 = 2 + 2 + 7 = 3 + 3 + 5 і т. д.

Які числа називають простими? Які числа називають складеними? Чому число 1 не є ані простим, ані складеним? і Наведи приклади простих чисел, складених чисел.

66. (Усно) Використовуючи таблицю простих чисел, назви прості числа, які:

1) менші від 37, але більші за 20;

2) більші за 78, але менші від 110.

67. Перевір, користуючись таблицею простих чисел, які із чисел прості, а які – складені: 197, 203, 239, 489, 563, 839, 871.

68. Визнач, використовуючи таблицю простих чисел, які із чисел прості, а які – складені: 113, 137, 171, 251, 293, 403, 439, 501, 701.

69. Доведи, що є складеним число:

1) 7152; 2) 60 003; 3) 11 115; 4) 3819.

70. Доведи, що є складеним число:

1) 80 001; 2) 7315; 3) 12 340; 4) 738.

71. Запиши всі дільники числа 24. Підкресли ті з них, які є простими числами.

72. Запиши замість зірочки таку цифру, щоб було складеним число: 1) 273*; 2) 5*39.

73. Запиши замість зірочки таку цифру, щоб було складеним число: 1) 987*; 2) 5*41.

74. Не використовуючи таблицю простих чисел, запиши:

1) усі прості числа, більші за 7 і менші від 20;

2) усі складені числа, більші за 50 і менші від 66.

75. Не використовуючи таблицю простих чисел, знайди:

1) усі прості числа х, при яких нерівність 37 < х < 60 є правильною;

2) усі складені числа у, при яких нерівність 4 < у < 21 є правильною.

76. Простим чи складеним числом є добуток:

1) 13 ∙ 1; 2) 15 ∙ 1; 3) 7 ∙ 11; 4) 1 ∙ 2 ∙ 67?

77. Чи можна записати просте трицифрове число, використавши лише один раз кожну із цифр:

1) 4, 6, 8; 2) 1, 3, 5; 3) 0, 2, 5?

78. Чи можна записати просте трицифрове число, використавши лише один раз кожну із цифр: 1) 0, 4, 5; 2) 1, 2, 0?

79. Простим чи складеним є число, записане за допомогою:

1) п’ятнадцяти одиниць; 2) дві тисячі чотирнадцяти п’ятірок; 3) усіх десяти цифр?

80. Виділи цілу та дробову частини числа:

 Прості та складені числа

81. Знайди пропущені числа та прочитай прізвище видатного письменника, який народився в Україні.

 Прості та складені числа

82. Знайди зручний спосіб для обчислення значення виразу:

1) 1 + 3 + 5 + 7 + … + 97 + 99;

2) 2 + 4 + 6 + … + 98 + 100 – 1 – 3 – 5 – … – 97 – 99.




Прості та складені числа