Прямокутна система координат

11.

 Прямокутна система координат

12.

Точки А(4; 4; 4), В(-4; 4; 4), С(-4;-4; 4), П(4; 4; -4), D(-4; 4; -4), E(4; -4; 4),

F(4; -4; -4), M(-4; -4; -4) віддалені від кожної з координатних площин на 4.

13.

 Прямокутна система координат

14.

О – початок координат.

 Прямокутна система координат

 Прямокутна система координат

ОВ > ОА, отже, ближче до початку координат лежить т. А.

15.

 Прямокутна система координат

 Прямокутна система координат

 Прямокутна система координат

 Прямокутна система координат

16.

 Прямокутна система координат

 Прямокутна система координат class=""/>

Оскільки КТ = РТ, то  Прямокутна система координат

2 + у2 – 2у + 1 = 18 + у2 + 2у + 1; -4у = 164; у = -4.

17.

 Прямокутна система координат

 Прямокутна система координат

 Прямокутна система координат

Оскільки  Прямокутна система координатТобто АС = АВ + ВС, то точки А, В, С лежать на одній прямій,

А тому не можуть бути вершинами трикутника.

18.

 Прямокутна система координат

 Прямокутна система координат

 Прямокутна система координат

 Прямокутна система координат

Звідси АВ + ВС = АС. Тому А, В, С лежать

на одній прямій

І точка В ділить відрізок АС навпіл.

 Прямокутна система координат

BD = ВС + AD. Тому точка С ділить BD навпіл.

Отже, точки А, В, С, D лежать на одній прямій

І т. В і С ділять AD на рівні частини.

19. Нехай шукана точка Р має координати Р(0; у; 0).

 Прямокутна система координат

 Прямокутна система координат

Оскільки PA = РВ, то  Прямокутна система координат

У2 + 2у + 26 = 10 + 6y + у2; у2 + 2у + 6у – у2 = 10 – 26; 8y = -16; у = -2.

Тому Р(0; -2; 0).

.

20.

А1В1 – проекція АВ на площину ху.

А1(1; 1; 0), В1 (1; 4; 0);  Прямокутна система координат

А2В2 – проекція АВ на площину хz.

А2( 1; 0; 1), B2(1; 0; 5);  Прямокутна система координат

А3В3 – проекція АB на площину уz.

А3(0; 1; 1), В3(0; 4; 5);  Прямокутна система координат

А4Б4 – проекція AB на вісь x. А4(1; 0;0), B4(1; 0; 0), А4В4 = 0.

А5В5 – проекція АВ на вісь у. А5(0; 1; 0), В5(0; 4; 0), A5B5 = 3.

А6В6 – проекція АВ на вісь z. А6 (0; 0;1), В6(0; 0; 5), А6В6 = 4.

21.

Знайдемо O1 – середину відрізка АС.

 Прямокутна система координат  Прямокутна система координат

Знайдемо O2 – середину BD.

 Прямокутна система координат

 Прямокутна система координат

О1 і O2 збігаються. Отже, АС і BD перетинаються

І точкою перетину діляться навпіл.

Тому чотирикутник з діагоналями АС і BD є паралелограмом,

Тобто ABCD – паралелограм.

22.

А) А(3; 0; 0), В(0; 3; 0), С(0; 0; 3).

 Прямокутна система координат

 Прямокутна система координат

 Прямокутна система координат

ΔABC – рівносторонній.

 Прямокутна система координат

 Прямокутна система координат

Б) А(2; 0; 5), В(3; 4; 0), С(2; 4; 0).

 Прямокутна система координат

 Прямокутна система координат

 Прямокутна система координат

ΔABC – різносторонній.

 Прямокутна система координат

В) А(2; 4; -1), В(-1; 1; 2), С(5; 1; 2).

 Прямокутна система координат

 Прямокутна система координат

 Прямокутна система координат

ΔABC – рівнобедрений.  Прямокутна система координат

АВ = АС – бічні сторони, ВС – основа, К – середина ВС.

 Прямокутна система координатК(2; 1; 2);  Прямокутна система координат

АK – висота.  Прямокутна система координат

23.

А) М(0; -2; 0), N(4; 1; 0), Р(4; 1; 5), K(0; -2; 5).

 Прямокутна система координат тобто  Прямокутна система координат – середина МР.

 Прямокутна система координат тобто  Прямокутна система координат – середини NK.

МР і NK – діагоналі чотирикутника перетинаються

І точкою перетину діляться навпіл. ABCD – паралелограм.

 Прямокутна система координат

 Прямокутна система координат

МР – NK, тоді MNPK – прямокутник.

 Прямокутна система координат

 Прямокутна система координат

MNPK – квадрат. SMNPK = 52 = 25.

Б) М(6; 8; 2), N(2; 4; 3), Р(4; 2; 8), К(8; 6; 7).

(5; 5; 5) — середина МР; (5; 5; 5) – середина NK.

MNPK – паралелограм, оскільки діагоналі

Точкою перетину діляться навпіл.

 Прямокутна система координат

 Прямокутна система координат

MNPK – не є прямокутником, оскільки діагоналі не рівні.

 Прямокутна система координат

 Прямокутна система координат

Сторони паралелограма рівні, тому MNPK – ромб.

 Прямокутна система координат

В) М(1; 1; 1), N(1; 0; 1), Р(І; 0; 0), K(1; 1; 0).

 Прямокутна система координат – середина МР;  Прямокутна система координат – середина NK.

MNPK – паралелограм, оскільки діагоналі

Точкою перетину діляться навпіл.

 Прямокутна система координат

 Прямокутна система координат

Діагоналі рівні, тому MNPK – прямокутник.

 Прямокутна система координат

 Прямокутна система координат

MNPK – квадрат. S = 1 × 1 = 1.

24.

 Прямокутна система координат

Оскільки А(0; 0; 5) і B(0; 5: 0), то пряма АВ розміщена в площині zy.

ΔАОВ – прямокутний, рівнобедрений.

Кут між прямою АВ і віссю у дорівнює 45°.

Кут між прямою АВ і віссю z дорівнює 45°.

Кут між прямою АВ і віссю х дорівнює 90°,

Оскільки вісь х перпендикулярна площині zy.

25.

 Прямокутна система координат

Проведемо через т. С пряму СК || АВ.

Кут між прямими АВ і СD дорівнює куту між прямими СВ і СК,

Тобто 60°, оскільки ΔВСК – рівносторонній.

26.

 Прямокутна система координат

ΔАВС – рівносторонній.  Прямокутна система координат

Знайдемо проекцію О В на площину (ABC). OO1 + (ABC),

О1 ;- радіус описаного кола.

 Прямокутна система координат  Прямокутна система координат  Прямокутна система координат

27.

 Прямокутна система координат

K(b; с; 0), N(b; с; h), М(0; с; h), Е(b; 0; h).

28.

 Прямокутна система координат

А1(1; 1; -1), В1 (-1; 1; -1), D( 1; -1; 1), А1(1: -1; -1).

29.

Нехай Р(х; у; 0) – шукана точка. Тоді  Прямокутна система координат

 Прямокутна система координат  Прямокутна система координат

Оскільки PA = РВ і PA = PC, маємо:

 Прямокутна система координат

 Прямокутна система координат

 Прямокутна система координат

 Прямокутна система координат

 Прямокутна система координат

Отже, Р(-0,25; 0,25; 0).

30.

Оскільки точка K віддалена від площини (ху) на відстань 2,

То K(2; у, z) або K(-2; у, z).

KА2 = (0 – 2)2 + (0 – у)2 + (1 – z)2= 4 + у2 + 1 – 2z + z2 – y2 + z2 – 2z + 5;

KВ2 = (0 – 2)2 + (1 – у)2 + (0 – z)2 – 4 + 1 – 2у + у2 = z2 + у2 + z2 – 2у + 5;

KС2 = (2 – 1)2 + (0 – y)2 + (0 – z)2 = 1 + у2 + z2.

Оскільки KA = KВ = KС, то KА2 – KВ2 = KС2.

Маємо систему:

 Прямокутна система координат Прямокутна система координат  Прямокутна система координат  Прямокутна система координат

Отже, K(2; 2; 2).

Аналогічно розв’язуємо, якщо K(-2; y; z) маємо K(-2; -2; -2).

31.

Нехай R(x; у; 0) – шукана точка, тоді PR = RQ = PQ; РR2 = (x – 3)2 + (у – 8)2 + (0 – 1)2; QR2 = (x – 2)2+ (y – 9)2+ (0 – 1)2; PQ2 = (2 – 3)2+ (9 – 8)2+ (1 – 1)2= 1 + 1 + 0 = 2.

Звідси:

 Прямокутна система координат  Прямокутна система координат  Прямокутна система координат

 Прямокутна система координат Прямокутна система координат  Прямокутна система координат

 Прямокутна система координат або  Прямокутна система координат

Отже, R(2; 8; 0) або R(3; 9; 0).

32.

А(3; 2; 1), С(-2; -1; 3).

Нехай В(0; 0; z).

А) ΔABC – рівнобедрений. АВ2 = (0 – 3)2 + (0 – 2)2 + (z – 1)2 – z2- 2z + 14;

АС2 = (-2 – 3)2 + (-1- 2)2 + (3 – 1)2 = 38;

ВС2 = (-2 – 0)2 + (-1 – 0)2 + (3 – z)2 = z2 – 6z + 14.

Якщо АВ = ВС, то z2 – 2z – 14 = 38; z2 – 2z – 24 = 0; z = -4 або z = 6.

Якщо AB = ВС, то z2 – 2z + 14 = z2 – 6z + 14; 4z = 0; z = 0.

Якщо АС = ВС, то z2 – 6z + 14 – 38; z2 – 6z – 24 = 0; D = 36 + 96 = 132;

 Прямокутна система координат  Прямокутна система координат  Прямокутна система координат або  Прямокутна система координат

Отже, точка В може мати координати (0; 0; -4), (0; 0; 6), (0; 0; 0),

 Прямокутна система координат  Прямокутна система координат

33.

S(0; 0; 0), A(2; 0; 0), B(0; 2; 0), C(0; 0; 2).

 Прямокутна система координат

 Прямокутна система координат

 Прямокутна система координат

SA = SB = SC = 2. Отже, SABC – правильна піраміда.

34.

Якщо В лежить у площині (уz), то В(0; у; z) і ВА = ВС = АС.

ВА2 – 02 + (-2 – y)2 + z2; ВС2 = 02 + (2 – у)2 + z2;  Прямокутна система координат

BA2 = ВС2; (-2 – у)2 + z2 – (2 – y)2 + z2; 4 + 4y + у2 + z2 = 4 – 4y + y2 + z2; 3y = 0; y = 0.

02 + (2 – y)2 + z2 – 42; 4 – 4у + у2 + z2 = 16.

Оскільки у = 0, то 4 + z2 = 16; z2 = 12 Прямокутна система координатАбо  Прямокутна система координат

Отже,  Прямокутна система координат або  Прямокутна система координат

Знайдемо координати точки D.

І. А(0; -2; 0), С(0; 2; 0),  Прямокутна система координат D(x; у; z).

AD2 = x2 + (y + 2)2 + z2; СD2 = x2 + (у – 2) 2 + z2;

 Прямокутна система координат

Оскільки тетраедр правильний, то АВ2 = 16; СВ2 = 16; ВВ2 = 16, тому:

 Прямокутна система координат

 Прямокутна система координат

Отже, якщо  Прямокутна система координат то  Прямокутна система координат або  Прямокутна система координат

II. А(0; -2; 0), С(0; 2; 0),  Прямокутна система координат D(x; у; z).

Аналогічно складаємо систему:

 Прямокутна система координат

 Прямокутна система координат

Якщо  Прямокутна система координат то  Прямокутна система координат або  Прямокутна система координат

35.

 Прямокутна система координат  Прямокутна система координат

А)  Прямокутна система координат– відстань між точками (x, y, z) і А(6; 0; 0).

 Прямокутна система координат – відстань між точками Р(х; у; z) і В(0; 0; 8).

Оскільки ΔАОВ– прямокутний, то О А2 + ОВ2 = AB2, ОА = 6, ОВ = 8,

Тому АВ = 10.

Точки Р(х; у; z) знаходяться на відрізку АВ, оскільки АР + РВ = 10,

Б)  Прямокутна система координат  Прямокутна система координат – відстань між точками

P(x; у; z) і A(0; 3; 0);

 Прямокутна система координат– відстань між точками Р(x; у; z) і B(0; 0; 4).

ОА = З, ОВ = 4. АВ = 5.

Якщо т. Р ∠АВ, то РА + ОВ = 5. Якщо Р ∠АВ, то РА + РВ > 5, тому таких точок Р,

Щоб виконувалася умова РА + РВ = 4, не існує.




Прямокутна система координат