Розкладання многочленів на множники способом винесення спільного множника за дужки

Розділ 1. ЦІЛІ ВИРАЗИ

& 10. Розкладання многочленів на множники способом Винесення спільного множника за дужки

У 6 класі ми розкладали складені числа на прості множники, тобто подавали натуральні числа у вигляді добутку. Наприклад, 12 = 22 ∙ 3; 105 = 3 ∙5 ∙ 7 тощо.

Подати у вигляді добутку можна і деякі многочлени. Це означає, що ці многочлени можна розкладати па множники. Наприклад, 5а: – 5у – 5(х – y); а3 і 3а2 = а2(а + 3) тощо.

Розглянемо один із способів розкладання многочленів на множники – винесення спільного множника за дужки.

Одним з відомих нам прикладів такого розкладання є розподільна властивість множення a(b + с) = ab + ас, якщо її записати у зворотному порядку: аb + ас – a(b + с). Це означає, що многочлен аb + ас розклали на два множники а і b + с.

Під час розкладання на множники многочленів із цілими коефіцієнтами множник, який виносять за дужки, обирають так, щоб члени многочлена, який залишиться в дужках, не мали спільного буквеного множника, а модулі їх коефіцієнтів не мали спільних дільників.

Розглянемо кілька прикладів.

Приклад 1. Розкласти вираз на множники:

1) 8m + 4;

2) at + 7ар;

3) 15а3b – 10а2b2.

Р о з в’ я з а

н н я.

1) Спільним множником є число 4, тому

8m + 4 = 4 . 2m + 4 ∙ 1 = 4(2m + 1).

2) Спільним множником є змінна а, тому

At + 7ap = a(t + 7p).

3) У даному випадку спільним числовим множником є найбільший спільний дільник чисел 10 і 15 – число 5, а спільним буквеним множником є одночлен а2b. Отже,

15а3b – 10а2b2 = 5а2b ∙ 3а – 5a2b ∙ b = 5а2b(3а – 2b).

Приклад 2. Розкласти па множники:

1) 2m(b – с) + 3р(b – с);

2) х(у – t) + c(t – у).

Р о з в ‘ я з а н н я.

1) У даному випадку спільним множником є двочлен b = c.

Отже, 2m(B – С) + 3р(B – C) = (b – с)(2m + 3р).

2) Доданки мають множники у – t і t – у, які є протилежними виразами. Тому в другому доданку винесемо за дужки множник -1, одержимо: c(t – у) = – с(у – t).

Отже, х(у – t) + c(t – у) = х(у – t) – с(у – t) = (у – t) (х – с).

Для перевірки правильності розкладання на множники слід перемножити отримані множники. Результат має дорівнювати даному многочлену.

Розкладання многочленів на множники часто спрощує процес розв’язування рівняння.

Приклад 3. Знайти корені рівняння 5х2 – 7х = 0.

Р о з в ‘ я з а н н я. Розкладемо ліву частину рівняння на множники винесенням спільного множника за дужки: х(5х – 7) = 0. Враховуючи, що добуток дорівнює нулю тоді і тільки тоді, коли хоча б один із множників дорівнює нулю, матимемо: х = 0 або 5х – 7 = 0, звідки х = 0 або х = 1,4.

Відповідь: 0; 1,4.

Яке перетворення називають розкладанням многочлена на множники? На прикладі многочлена ab + ас поясніть, як виконується розкладання на множники винесенням спільного множника за дужки.

(Усно) Знайдіть спільний множник у виразі:

1) 3а + 3b;

2) 5m – 5;

3) ab – at;

4) pm + pk.

(Усно) Розкладіть на множники:

1) хm + хn;

2) 17а – 17b;

3) am – an;

4) 2р + 2q.

Винесіть за дужки спільний множник:

1) 4а + 4х;

2) 7р – 7b;

3) ах + ау;

4) xb – хc.

Винесіть за дужки спільний множник:

1) 2m – 2n;

2) 5а + ab;

3) ab + cb;

4) ху – xt.

(Усно) Чи правильно виконало розкладання на множники:

1) 7а + 7 = 7а;

2) 5m – 5 = 5(m – 5);

3) 2а – 2 = 2(а – 1);

4) 7ху – 14х = 7х(у – 2);

5) 5mn + bn = 5m(n + 3);

6) 7ab + 8cb = 15b(a + c)?

Запишіть суму у вигляді добутку:

1) 3а + 12b;

2) -6а – 9х;

3) 17а + 17;

4) ab – а;

5) 14а – 21х;

6) 8b – 8.

Розкладіть на множники:

1) 4m -16а;

2) -12m + 18а;

3) 14m – 14;

4) – xb – b;

5) 8р + 8;

6) 20b – 30c.

Розкладіть на множники:

1) 5ab + 5xb;

2) 2ху – 8у;

3) -5ab + 5а;

4) 7а + 21ау;

5) 9х2- 27х;

6) 3а – 9а2;

7) m2- mа;

8) 12ах – 4а2;

9) -18ху + 24у2;

10) а2b – ab2;

11) рm – р2m;

12) – х2y2 – ху.

Винесіть за дужки спільний множник:

1) 7ах – 7bx;

2) 3ab + 9а;

3) 6xm – 8xn;

4) 15ху + 5х;

5) 9m2 – 18m;

6) 15m – 30m2;

7) 9xy + 6х2;

8) a2b – ab;

9) – p2q – рq2.

Розкладіть на множники:

1) x3 – х2;

2) а4 + a2;

3) m3 – m5;

4) a3 + a7;

5) 3b2 – 9b3;

6) 7a3 + 6a;

7) 4y2 + 12y4;

8) 5m5 + 15m2;

9) -16a4 – 20a.

Розкладіть на множники:

1) m4 – m2;

2) a4 + a5;

3) 6a -12a3;

4) 18p3 – 12p2;

5) 14b3 + 7b4;

6) -25m3 – 20m.

Запишіть суму 6×2у + 15x у вигляді добутку і знайдіть його значення, якщо х = -0,5, у = 5. Запишіть вираз 12а2b – 8а у вигляді добутку і знайдіть його значення, якщо а = 2, 6 = . Винесіть за дужки спільний множник:

1) а4 + а3 – а2;

2) m9 – m2 + m7;

3) b6 + b5 – b9;

4) – у7 – у12 – у3.

Подайте у вигляді добутку:

1) р7 + р3 – р4;

2) а10 – a5 + а8;

3) b7 – b5 – b2;

4) – m8 – m2 – m4.

Обчисліть зручним способом:

1) 132 ∙ 27 + 132 ∙ 73;

2) 119 ∙ 37 – 19 ∙ 37.

Розв’яжіть рівняння:

1) x2 – 2x = 0;

2) x2 + 4х = 0.

Знайдіть корені рівняння:

1) х2 + 3x = 0;

2) х2 -7х = 0.

Розкладіть многочлен на множники:

1) 4а3 + 2а2- 8а;

2) 9b3 – 3b2 – 27b6;

3) 16m2 – 24m6 – 22m3;

4) -5b3 – 20b2 – 25b5.

Винесіть за дужки спільний множник:

1) 5с8 – 5с7 + 10с4;

2) 9m4 + 27m3 – 81m;

3) 8р7 – 4р5 + 10р3;

4) 21b – 28b4 – 14b3.

Винесіть за дужки спільний множник:

1) 7m4 – 21m2n2 + 14m3;

2) 12а2b – 18аb2 + 30аb3;

3) 8х2у2 – 4х3у5 + 12×4у3;

4) 5p4q2 – 10p2q4 + 15рq3.

Розкладіть многочлен на множники:

1) 12а – 6а2х2 – 9а3;

2) 12b2у – 18b3 – 30b4у;

3) 16bx2 – 8b2х3 + 24b3х;

4) 60m4n3 – 45m2n4 + 30m3n5.

Обчисліть зручним способом:

1) 843 ∙ 743 – 7432;

2) 11032 – 1103 ∙ 100 – 1103 ∙ 3.

Знайдіть значення виразу:

1) 4,23а – а2, якщо а = 5,23;

2) х2у + х3, якщо х = 2,51, у = -2,51;

3) аm5 – m6, якщо то = -1, а = -5;

4) – ху – х2, якщо х = 2,7, у = 7,3.

Знайдіть значення виразу:

1) 9,11а + а2, якщо а = -10,11;

2) 5х2 + 5a2х, якщо а = ; х = .

Розкладіть многочлен на множники:

1) 2р(х – у) + q(x – у);

2) а(х + у) – (х + у);

3) (а – 7) – b(а – 7);

4) 5(а + 1) + (а + 1)2;

5) (х + 2)2 – х(х + 2);

6) -5m(m – 2) + 4(m – 2)2.

Подайте вираз у вигляді добутку:

1) а(х – у) + b(у – х);

2) р(b – 5) – n(5 – b);

3) 7х(2b – 3) + 5у(3 – 2b);

4) (х – y)2- а(у – х);

5) 5(х – 3)2 – (3 – х);

6) (а + 1)(2b – 3) – (а + 3)(3 – 2b).

Розкладіть на множники:

1) 3х(b – 2) + у(b – 2);

2) (m2 – 3) – х(m2 – 3);

3) а(b – 9) + с(9 – b);

4) 7(а + 2) + (а + 2)2;

5) (с – m)2 – 5(m – с);

6) -(х + 2у) – 5(х + 2y)2.

Знайдіть корені рівняння:

1) 4×2 – х = 0;

2) 7х2 + 28х = 0;

3) х2 + х = 0;

4)х2- х = 0.

Розв’яжіть рівняння:

1) 12х2 + х = 0;

2) 0,2×2 – 2х = 0;

3) х2 – х = 0;

4) 1 – х2 + – х = 0.

Розв’яжіть рівняння:

1) х(3х + 2) – 5(3х + 2) = 0;

2) 2х(х – 2) – 5(2 – х) = 0.

Розв’яжіть рівняння:

1) х(4х + 5) – 7(4х + 5) = 0;

2) 7(х – 3) – 2х(3 – х) = 0.

Доведіть, що значення виразу:

1) 173 + 172 кратне числу 18;

2) 914 – 816 кратне числу 80.

Доведіть, що значення виразу:

1) 399 – 398 ділиться на 38;

2) 495- 78 ділиться на 48.

Винесіть за дужки спільний множник:

1) (5m – 10)2;

2) (18а + 27b)2.

Знайдіть корені рівняння:

1) х(х – 3) = 7х – 21;

2) 2х(х – 5) = 20 – 4х.

Розв’яжіть рівняння:

1) х(х – 2) = 4х – 8;

2) 3х(х – 4) = 28 – 7х.

Доведіть, що число:

1) 104 + 53 ділиться на 9;

2) 415 – 414 + 413 ділиться на 13;

3) 273 – 37 + 93 ділиться на 25;

4) 213 + 14а – 73 ділиться на 34.

Вправи для повторення

Спростіть вираз і знайдіть його значення:

1) -3×2 + 7×3 – 4х2 + 3×2, якщо х = 0,1;

2) 8m + 5n – 7m + 15n, якщо m = 7, n = -1.

Запишіть замість зірочок такі коефіцієнти одночленів, щоб рівність перетворилася на тотожність:

1) 2m2 – 4mn + n2 + (*m2 – *mn – *n2) = 3m2 – 9mn – 5n2;

2) 7х2 – 10у2 – ху – (*х2 – *ху + *у2) = – х2 + 3у2 + ху.

Довжина прямокутника втричі більша за його ширину. Якщо довжину прямокутника зменшити на 5 см, то його площа зменшиться на 40 см2. Знайдіть довжину і ширину прямокутника.

Цікаві задачі для учнів неледачих

Відомо, що а < b < с. Чи можуть одночасно виконуватися нерівності |а| > |с| і |b| < |с|?