Розв’язування систем двох лінійних рівнянь з двома змінними способом підстановки

Розділ 3. ЛІНІЙНІ РІВНЯННЯ ТА ЇХ СИСТЕМИ

& 28. Розв’язування систем двох лінійних рівнянь з двома змінними способом підстановки

Графічний спосіб розв’язування систем рівнянь є досить громіздким і до того ж не завжди допомагає знайти точні розв’язки. Розглянемо інші (не графічні) способи розв’язування систем лінійних рівнянь з двома змінними, які називають аналітичними. Почнемо зі способу підстановки.

Приклад 1. Розв’язати систему рівнянь:

(1)

Р о з в ‘ я з а н н я. З першого рівняння виразимо змінну у через

змінну х:

У = 3 – 2х.

Підставимо вираз 3 – 2х в друге рівняння замість у. Одержимо систему:

(2)

Тепер друге рівняння системи (2) містить лише змінну х. Розв’яжемо його:

-3х + 12 – 8х = -10;

-11х = -22;

Х = 2.

Підставимо число 2 замість х у рівність у = 3 – 2х. Одержимо відповідне значення у:

У = 3 – 2 ∙ 2;

У = -1.

Пара (2; -1) є розв’язком кожного з рівнянь системи (2), отже, є розв’язком системи (2). Ця пара є розв’язком кожного з рівнянь системи (1) і тому є розв’язком системи

(1).

В і д п о в і д ь: (2; -1).

Розв’язуючи систему (1) способом підстановки, ми замінили її рівносильною їй системою (2), друге рівняння якої містило лише одну змінну.

Послідовність дій, якої слід дотримуватися, розв’язуючи систему лінійних рівнянь з двома змінними способом підстановки, розглянемо на прикладі системи

1

Виразимо з якого-небудь рівняння системи одну змінну через іншу (наприклад, з першого)

3х = 1 + 7у,

Х =

2

Одержаний для цієї змінної вираз підставимо в друге рівняння системи

4 ∙ + 9y = 38

3

Розв’яжемо одержане рівняння з однією змінною, тобто знайдемо значення цієї змінної

4(1 + 7у) + 3 ∙ 9у = 3 ∙ 38,

4 + 28у + 27у = 114,

55у = 110,

У= 2

4

Знайдемо відповідне їй значення іншої змінної

Х =

Х = 5

5

Запишемо відповідь

В і д п о в і д ь: (5; 2)

Спосіб підстановки зручно застосовувати тоді, коли хоча б один з коефіцієнтів при змінних х або у дорівнює 1 або -1. Саме змінну з таким коефіцієнтом доцільно виражати через іншу. Способом підстановки можна розв’язати й інші системи.

Приклад 2. Розв’язати систему:

Р о з в ‘я з а н н я. У першому рівнянні системи розкриємо дужки, а обидві частини другого рівняння помножимо на 6.

Матимемо:

Спростивши кожне з рівнянь системи, зведемо її до вигляду:

Далі застосуємо спосіб підстановки. Виразимо з першого рівняння у через х: у = . Підставивши цей вираз у друге рівняння і розв’язавши його, одержимо, що х = -3.

Знайдемо відповідне йому значення у: у = , тобто у = 4.

В і д п о в і д ь: (-3; 4).

Якої послідовності дій слід дотримуватися, розв’язуючи систему двох лінійних рівнянь з двома змінними способом підстановки?

(Усно) У якій з рівностей 1) – 3) правильно виконано підстановку для розв’язування системи рівнянь

1) 2х + 3(7у – 5) = 9;

2) 2 + (7у – 5) + 3у = 9;

3) 2(7у – 5) + 3у = 9?

Яка з рівностей є правильно застосованою підстановкою для розв’язування системи рівнянь

1) 7(4х + 3) + 2у = 9;

2) 7х + 2 – (4х + 3) = 9;

3) 7х + 2(4х + 3) = 9.

Розв’яжіть систему рівнянь способом підстановки: Розв’яжіть систему рівнянь: Знайдіть розв’язок системи: Знайдіть розв’язок системи: Розв’яжіть систему рівнянь способом підстановки: Не виконуючи побудови, знайдіть координати точки перетину графіків рівнянь х + у = 4 і 2х + 3у = 9. Не виконуючи побудови, знайдіть координати точки перетину графіків рівнянь х – у = 3 і 3х + 2у = 14. Розв’яжіть систему рівнянь: Розв’яжіть систему рівнянь: Знайдіть розв’язок системи: Розв’яжіть систему рівнянь: Розв’яжіть систему рівнянь: Знайдіть розв’язки системи рівнянь: Розв’яжіть систему рівнянь: Розв’яжіть систему рівнянь: Доведіть, що графіки рівнянь 2х – 3у = 4 і 4х – 6у = 9 є паралельними прямими. Графік функції у = kx + l проходить через точки М(9; 1) і N(-6; -4). Знайдіть k i l. Графіком функції у = kx + l є пряма, що проходить через точки А(-2; -4) і В(4; 11). Задайте що функцію формулою. При яких значеннях m система:

Не має розв’язків;

Має безліч розв’язків?

Вправи для повторення

Побудуйте графік функції, заданої формулою у = х.

За допомогою графіка знайдіть:

1) значення у, якщо х = -6; 0; 3.

2) значення х, для яких у = -2; 0; 4.

Розкладіть многочлен на множники:

1) 9m2 + 12m5 – 18m3;

2) 3х4у2 – 9х2у3 + 12х3у;

3) а6 – 6 – 2а2 + 3а4;

4) pq – 6р + р2 – 6q.

Доведіть, що рівняння не має розв’язків:

1) х2 + 4 = 0;

2) х2 – 6х + 13 = 0;

3) 4х2 – 12х + 16 = 0;

4) х2 + х + 2 = 0.

Цікаві задачі для учнів неледачих

Доведіть, що якщо добуток чотирьох послідовних натуральних чисел збільшити на 1, то він дорівнюватиме квадрату деякого натурального числа.




Розв’язування систем двох лінійних рівнянь з двома змінними способом підстановки