Розв’язування тригонометричних рівнянь способом зведення до однієї тригонометричної функції

УРОК 23

Тема. Розв’язування тригонометричних рівнянь способом зведення до однієї тригонометричної функції

Мета уроку: формування умінь учнів розв’язувати тригонометричні рівняння способом зведення до однієї тригонометричної функції (алгебраїчний спосіб).

І. Перевірка домашнього завдання

1. Відповіді на питання, що виникли у учнів при виконанні домашніх завдань.

2. Самостійна робота.

Розв’яжіть рівняння:

A) cosx =  Розвязування тригонометричних рівнянь способом зведення до однієї тригонометричної функції. (3 бали)

Б) tg (х + 2) = 0. (3 бали)

В) 1 + ctg4x = 0. (3 бали)

Г)  Розвязування тригонометричних рівнянь способом зведення до однієї тригонометричної функції class=""/>. (3 бали)

Розв’яжіть рівняння:

A) sinx =  Розвязування тригонометричних рівнянь способом зведення до однієї тригонометричної функції. (3 бали)

Б) ctg (х – 3) = 0 . (3 бали)

В)  Розвязування тригонометричних рівнянь способом зведення до однієї тригонометричної функції – tg2x = 0. (3 бали)

Г)  Розвязування тригонометричних рівнянь способом зведення до однієї тригонометричної функції. (3 бали)

Відповіді: В-1. а) розв’язків немає; б) – 2 + ?n, n Розвязування тригонометричних рівнянь способом зведення до однієї тригонометричної функціїZ; в)  Розвязування тригонометричних рівнянь способом зведення до однієї тригонометричної функції, n Розвязування тригонометричних рівнянь способом зведення до однієї тригонометричної функціїZ; г)  Розвязування тригонометричних рівнянь способом зведення до однієї тригонометричної функції, n Розвязування тригонометричних рівнянь способом зведення до однієї тригонометричної функціїZ.

В-2. а) розв’язків немає; б) 3 +  Розвязування тригонометричних рівнянь способом зведення до однієї тригонометричної функції + ?n, n Розвязування тригонометричних рівнянь способом зведення до однієї тригонометричної функціїZ; в)  Розвязування тригонометричних рівнянь способом зведення до однієї тригонометричної функції + Розвязування тригонометричних рівнянь способом зведення до однієї тригонометричної функції

class=""/>, n Розвязування тригонометричних рівнянь способом зведення до однієї тригонометричної функціїZ; г) ±  Розвязування тригонометричних рівнянь способом зведення до однієї тригонометричної функції Розвязування тригонометричних рівнянь способом зведення до однієї тригонометричної функції + ?n, n Розвязування тригонометричних рівнянь способом зведення до однієї тригонометричної функціїZ.

II. Сприймання і усвідомлення нового матеріалу

Деякі тригонометричні рівняння шляхом тотожних перетво­рень можна привести до рівнянь з однією тригонометричною функцією, потім зробити заміну і привести рівняння до алгеб­раїчного.

Розглянемо приклади.

Приклад 1. Розв’яжіть рівняння sin2х + 4cos x = 2,75.

Замінивши sin2х на 1 – cos2x, матимемо:

1 – cos2x + 4cos х – 2,75 = 0,

– cos2х + 4 cos х – 1,75 = 0,

Cos2 х – 4cos х + 1,75 = 0.

Нехай cos х = t, тоді t2 – 4t + 1,75 = 0.

Звідси t1 =  Розвязування тригонометричних рівнянь способом зведення до однієї тригонометричної функції. t2 =  Розвязування тригонометричних рівнянь способом зведення до однієї тригонометричної функції >1.

Оскільки t2 > 1, то cos x =  Розвязування тригонометричних рівнянь способом зведення до однієї тригонометричної функції – розв’язків немає.

Оскільки t1 =  Розвязування тригонометричних рівнянь способом зведення до однієї тригонометричної функції, то cos х =  Розвязування тригонометричних рівнянь способом зведення до однієї тригонометричної функції, х = ±  Розвязування тригонометричних рівнянь способом зведення до однієї тригонометричної функції + 2 ?n, n Розвязування тригонометричних рівнянь способом зведення до однієї тригонометричної функціїZ.

Відповідь: ±  Розвязування тригонометричних рівнянь способом зведення до однієї тригонометричної функції + 2 ?n, n Розвязування тригонометричних рівнянь способом зведення до однієї тригонометричної функціїZ.

Приклад 2. Розв’язати рівняння tg х + 3ctg х = 4.

Tg х + 3ctg х = – 4, tg х +  Розвязування тригонометричних рівнянь способом зведення до однієї тригонометричної функції = 4.

Нехай tg х = t, тоді t +  Розвязування тригонометричних рівнянь способом зведення до однієї тригонометричної функції = 4, t2 – 4t + 3 = 0, t1 = 1 і t2 = 3.

Маємо: 1) tg x = 1, х =  Розвязування тригонометричних рівнянь способом зведення до однієї тригонометричної функції+ ?n, n Розвязування тригонометричних рівнянь способом зведення до однієї тригонометричної функціїZ.

2) tg х = 3, х = arctg 3 + ?n, n Розвязування тригонометричних рівнянь способом зведення до однієї тригонометричної функціїZ.

Відповідь:  Розвязування тригонометричних рівнянь способом зведення до однієї тригонометричної функції+ ?n, arctg3 + ?n, n Розвязування тригонометричних рівнянь способом зведення до однієї тригонометричної функціїZ.

III. Формування умінь і навичок учнів розв’язувати триго­нометричні рівняння, що зводяться до алгебраїчних

Виконання вправ______________________________

Розв’яжіть рівняння.

1. а) 2sin2x + cos х – 1 = 0;

Б) tg х – 2ctg х + 1 = 0;

В) 6sin2x + 5cos х – 2 = 0;

Г) tg x + 2ctg х = 3.

Відповідь: а) 2?n, ±  Розвязування тригонометричних рівнянь способом зведення до однієї тригонометричної функції+ 2 ?n, n Розвязування тригонометричних рівнянь способом зведення до однієї тригонометричної функціїZ; б)  Розвязування тригонометричних рівнянь способом зведення до однієї тригонометричної функції+ ?n, – arctg 2 + ?n, n Розвязування тригонометричних рівнянь способом зведення до однієї тригонометричної функціїZ; в) ± Розвязування тригонометричних рівнянь способом зведення до однієї тригонометричної функції + 2?n,  Розвязування тригонометричних рівнянь способом зведення до однієї тригонометричної функціїZ; г) arctg 2 + ?n,  Розвязування тригонометричних рівнянь способом зведення до однієї тригонометричної функції+ ?n, n Розвязування тригонометричних рівнянь способом зведення до однієї тригонометричної функціїZ.

2. a) cos 2х + sin x = 0;

Б) cos 2х = 3 + 7cos x;

В) 3 + 5sin 3х = cos 6х;

Г) 3cos2 6х + 8sin 3х cos 3х – 4 = 0.

Відповідь: а)  Розвязування тригонометричних рівнянь способом зведення до однієї тригонометричної функції+ 2?n, (-1)n+1 Розвязування тригонометричних рівнянь способом зведення до однієї тригонометричної функції+ ?n, n Розвязування тригонометричних рівнянь способом зведення до однієї тригонометричної функціїZ; б) ±  Розвязування тригонометричних рівнянь способом зведення до однієї тригонометричної функції + 2 ?n, n Розвязування тригонометричних рівнянь способом зведення до однієї тригонометричної функціїZ; в) (-1)n+1  Розвязування тригонометричних рівнянь способом зведення до однієї тригонометричної функції+  Розвязування тригонометричних рівнянь способом зведення до однієї тригонометричної функції, n Розвязування тригонометричних рівнянь способом зведення до однієї тригонометричної функціїZ; г)  Розвязування тригонометричних рівнянь способом зведення до однієї тригонометричної функції+  Розвязування тригонометричних рівнянь способом зведення до однієї тригонометричної функції,  Розвязування тригонометричних рівнянь способом зведення до однієї тригонометричної функції(-1)narcsin Розвязування тригонометричних рівнянь способом зведення до однієї тригонометричної функції+ Розвязування тригонометричних рівнянь способом зведення до однієї тригонометричної функції n Розвязування тригонометричних рівнянь способом зведення до однієї тригонометричної функціїZ.

IV. Підсумки уроку

V. Домашнє завдання

Розділ II § 3 (1). Вправи: № 2 (13; 23; 30; 37).