Розв’язування задач на застосування теореми синусів

УРОК № 8

Тема. Розв’язування задач на застосування теореми синусів

Мета уроку: формування вмінь учнів застосовувати теорему синусів до розв’язування задач.

Тип уроку: комбінований.

Наочність і обладнання: таблиця “Співвідношення між сторонами і кутами трикутника” [13], посібник [14].

Вимоги до рівня підготовки учнів: застосовують теорему синусів до розв’язування задач.

Хід уроку

І. Перевірка домашнього завдання

1. Фронтальне опитування

1) Сформулюйте теорему синусів. 2) У трикутнику ABC (рис.

29) сторони дорівнюють а, b, с, а кути дорівнюють?, ?, ?. Навколо цього трикутника описане коло радіуса R. Виберіть правильні твердження.

А)  Розвязування задач на застосування теореми синусів;

Б)  Розвязування задач на застосування теореми синусів;

В) a2 = b2 + c2 – 2bcsin?;

Г) b = 2Rsin?.

 Розвязування задач на застосування теореми синусів

3) У трикутнику ABC відомо, що  Розвязування задач на застосування теореми синусівA = 60°,  Розвязування задач на застосування теореми синусівB = 45°. Радіус кола, описаного навколо цього трикутника, дорівнює  Розвязування задач на застосування теореми синусів см. Які з наведених тверджень є правильними, а які – неправильними?

А) ВС = 2 Розвязування задач на застосування теореми синусівSinB см;

Б) АС =  Розвязування задач на застосування теореми синусів см;

В) ВС = 3 см;

Г) АВ =

2 Розвязування задач на застосування теореми синусівSin70° см.

2. Перевірити правильність виконання домашніх вправ за записами, зробленими на дошці до початку уроку.

Розв’язання задачі

А)  Розвязування задач на застосування теореми синусів;  Розвязування задач на застосування теореми синусів; ?  Розвязування задач на застосування теореми синусів 21°;

? = 180° – ? – ?  Розвязування задач на застосування теореми синусів 180° – 120° – 21° = 39o;

 Розвязування задач на застосування теореми синусів; c =  Розвязування задач на застосування теореми синусів.

Відповідь, ?  Розвязування задач на застосування теореми синусів 21°, ?  Розвязування задач на застосування теореми синусів 39°, с  Розвязування задач на застосування теореми синусів 8,7.

Б)  Розвязування задач на застосування теореми синусів;  Розвязування задач на застосування теореми синусів; ?  Розвязування задач на застосування теореми синусів 6°;

? = 180° – ? – ?  Розвязування задач на застосування теореми синусів 180° – 164° – 6° = 10°;

 Розвязування задач на застосування теореми синусів; с =  Розвязування задач на застосування теореми синусів.

Відповідь. ?  Розвязування задач на застосування теореми синусів 6°, ?  Розвязування задач на застосування теореми синусів 10°, с  Розвязування задач на застосування теореми синусів 21,4.

II. Розв’язування задач

Використовуючи теорему синусів, доведіть, що:

А) у трикутнику проти більшого кута лежить більша сторона;

Б) проти більшої сторони лежить більший кут.

Наводимо зразок оформлення доведення теореми.

А) Дано: 0° < ? < 90°, 0° < ? < 90°, ? > ? (рис. 30). Довести, що а > b.

 Розвязування задач на застосування теореми синусів

Доведення

Оскільки? > ?, то sin? > sin?. Ураховуючи, що  Розвязування задач на застосування теореми синусів, маємо: а > b.

Б) Дано: 90° < ? < 180° (рис. 31). Довести, що а > b.

 Розвязування задач на застосування теореми синусів

Доведення

Оскільки 90° < ? < 180°, то 0° < 180° – ? < 90°, 180° – ? > ? (як зовнішній кут трикутника, не суміжний з кутом?. Тому sin? = sin(180°- ?) > sin?. Ураховуючи, що  Розвязування задач на застосування теореми синусів, маємо: а > b.

В) Дано: а > b. Довести, що? > ?.

Доведення

Припустимо, що? < ?. Якщо? = ?, то а = b, що суперечить умові а > b. Якщо? < ?, то а < b, що суперечить умові а > b. Отже, припущення неправильне, тоді? > ?.

Усне розв’язування задач

1) У трикутнику ABC  Розвязування задач на застосування теореми синусівA = 32°,  Розвязування задач на застосування теореми синусівB = 63°. Яка зі сторін трикутника є:

А) найбільшою; б) найменшою?

2) У прямокутному трикутнику ABC ( Розвязування задач на застосування теореми синусівC = 90°)  Розвязування задач на застосування теореми синусівB = 18°. Який із катетів трикутника є:

А) більшим; б) меншим?

3) У трикутнику ABC АВ = 5 м, ВС = 6 м, АС = 7 м. Який із кутів трикутника є:

А) найбільшим; б) найменшим?

4) У трикутнику ABC АВ = АС = 10 см, ВС = 12 см. Які кути трикутника рівні? Який кут цього трикутника є найбільшим?

Колективне розв’язування задач

1) Доведіть, що коли в трикутнику є тупий кут, то протилежна йому сторона є найбільшою. 2) Що більше: основа чи бічна сторона рівнобедреного трикутника, якщо прилеглий до основи кут більший від 60°?

Розв’язання

Нехай АС = ВС (рис. 32),  Розвязування задач на застосування теореми синусівCAB > 60°, тоді  Розвязування задач на застосування теореми синусівCBA > 60°,  Розвязування задач на застосування теореми синусівАСВ = 180° – ( Розвязування задач на застосування теореми синусівCAB +  Розвязування задач на застосування теореми синусівCBA) < 60°. Оскільки  Розвязування задач на застосування теореми синусівACB <  Розвязування задач на застосування теореми синусівCAB =  Розвязування задач на застосування теореми синусівCBA, то АВ < СА = СВ, тобто бічна сторона більша від основи.

Відповідь. Більшою є бічна сторона.

 Розвязування задач на застосування теореми синусів

3) У трикутнику ABC кут С тупий. Доведіть, що коли точка X лежить на стороні АС, то ВХ < АВ.

Доведення

Якщо в трикутнику ABC (рис. 33) кут С тупий, то кут А є гострим.

 Розвязування задач на застосування теореми синусівAXB >  Розвязування задач на застосування теореми синусівACB (за властивістю зовнішнього кута трикутника). Тоді в трикутнику AXB маємо:  Розвязування задач на застосування теореми синусівAXB >  Розвязування задач на застосування теореми синусівXAB, отже, АВ > ВХ, що і треба було довести.

 Розвязування задач на застосування теореми синусів

4) У трикутнику ABC кут С тупий. Доведіть, що коли точка X лежить на стороні АС, а точка Y – на стороні ВС, то XY < АВ.

Доведення

Згідно з результатами задачі 3, із трикутника ABC (рис. 34) маємо ХВ < АВ. (1)

Із трикутника ХСВ (кут С тупий) аналогічно знаходимо: XY < XB. (2)

Ураховуючи нерівності (1) і (2), одержуємо: XY < ХВ < АВ. Отже, XY < АВ, що і треба було довести.

 Розвязування задач на застосування теореми синусів

ІІІ. Самостійна робота

Самостійну роботу навчального характеру можна провести, скориставшись посібником [14], тест 3 “Теорема синусів та її наслідки”.

IV. Домашнє завдання

Розв’язати задачі.

1. У трикутнику ABC  Розвязування задач на застосування теореми синусівA = 40°,  Розвязування задач на застосування теореми синусівВ = 60°,  Розвязування задач на застосування теореми синусівC = 80°. Яка із сторін трикутника є найбільшою, яка – найменшою? 2. У трикутнику ABC сторони АВ = 5,1 м, ВС = 6,2 м, АС = 7,3 м. Який із кутів трикутника є найбільшим, який – найменшим? 3. На стороні АВ трикутника ABC позначено точку D. Доведіть, що відрізок CD менший за одну із сторін: АС або ВС.

V. Підбиття підсумків уроку

Завдання класу

1. Сформулюйте теорему про співвідношення між кутами трикутника і протилежними сторонами. 2. У трикутнику дві сторони дорівнюють 3 см і 4 см. Чи може кут, протилежний стороні 3 см, бути тупим?


1 Star2 Stars3 Stars4 Stars5 Stars (1 votes, average: 5,00 out of 5)


Розв’язування задач на застосування теореми синусів - Плани-конспекти уроків по математиці


Розв’язування задач на застосування теореми синусів