ЩО ТАКЕ ДЕСЯТКОВИЙ ДРІБ. ПОРІВНЯННЯ ДЕСЯТКОВИХ ДРОБІВ

РОЗДІЛ 7 ДЕСЯТКОВІ ДРОБИ ТА ДІЇ З НИМИ

У розділі дізнаєтесь:

що таке десятковий дріб та яка його будова;

як порівнювати десяткові дроби;

які правила додавання і віднімання десяткових дробів;

як знайти добуток і частку двох десяткових дробів;

що таке округлення числа та як округлювати числа;

як застосувати вивчений матеріал на практиці

 ЩО ТАКЕ ДЕСЯТКОВИЙ ДРІБ. ПОРІВНЯННЯ ДЕСЯТКОВИХ ДРОБІВ

§ 29. ЩО ТАКЕ ДЕСЯТКОВИЙ ДРІБ. ПОРІВНЯННЯ ДЕСЯТКОВИХ ДРОБІВ

Подивіться на малюнок 220. Ви бачите, що довжина відрізка АВ дорівнює 7 мм, а довжина відрізка

DC – 18 мм. Щоб подати довжини цих відрізків у сантиметрах, треба використати дроби:  ЩО ТАКЕ ДЕСЯТКОВИЙ ДРІБ. ПОРІВНЯННЯ ДЕСЯТКОВИХ ДРОБІВ

Ви знаєте багато інших прикладів, коли використовуються дроби зі знаменниками 10,100, 1000 тощо. Так,  ЩО ТАКЕ ДЕСЯТКОВИЙ ДРІБ. ПОРІВНЯННЯ ДЕСЯТКОВИХ ДРОБІВ  ЩО ТАКЕ ДЕСЯТКОВИЙ ДРІБ. ПОРІВНЯННЯ ДЕСЯТКОВИХ ДРОБІВ

Такі дроби називають десятковими. Для їх запису використовують більш зручну форму, яку підказує лінійка із вашого шкільного приладдя. Звернемося до розглянутого прикладу.

Ви знаєте, що довжину відрізка DC (мал. 220) можна виразити мішаним числом

 ЩО ТАКЕ ДЕСЯТКОВИЙ ДРІБ. ПОРІВНЯННЯ ДЕСЯТКОВИХ ДРОБІВ

Якщо після цілої частини цього числа поставити кому, а після неї – чисельник дробової частини, то отримаємо більш компактний запис: 1,8 см. Для відрізка АВ тоді дістанемо: 0,7 см. Справді, дріб  ЩО ТАКЕ ДЕСЯТКОВИЙ ДРІБ. ПОРІВНЯННЯ ДЕСЯТКОВИХ ДРОБІВ є правильним, він менший від одиниці, тому його ціла частина дорівнює 0. Числа 1,8 і 0,7 – приклади десяткових дробів.

 ЩО ТАКЕ ДЕСЯТКОВИЙ ДРІБ. ПОРІВНЯННЯ ДЕСЯТКОВИХ ДРОБІВ

Мал. 220

Десятковий дріб 1,8 читають так: “одна ціла вісім десятих” , а дріб 0,7 – “нуль цілих сім десятих”.

? Як записати дроби  ЩО ТАКЕ ДЕСЯТКОВИЙ ДРІБ. ПОРІВНЯННЯ ДЕСЯТКОВИХ ДРОБІВ у вигляді десяткових дробів? Для цього треба знати будову запису десяткового дробу.

У запису десяткового дробу завжди є ціла і дробова частини. їх розділяє кома. У цілої частини класи і розряди такі самі, як у натуральних чисел. Ви знаєте, що це – класи одиниць, тисяч, мільйонів і т. д., а в кожному з них по 3 розряди – одиниць, десятків і сотень. У дробової частини десяткового дробу класи не виділяють, а розрядів може бути скільки завгодно, їх назви відповідають назвам знаменників звичайних дробів – десяті, соті, тисячні, десятитисячні, стотисячні, мільйонні, десятимільйонні тощо. Розряд десятих є найстаршим у дробовій частині десяткового дробу.

У таблиці 40 ви бачите назви розрядів десяткового дробу і число “сто двадцять три цілих і чотири тисячі п’ятсот шість стотисячних” або  ЩО ТАКЕ ДЕСЯТКОВИЙ ДРІБ. ПОРІВНЯННЯ ДЕСЯТКОВИХ ДРОБІВ

Назву дробової частини “стотисячних” у звичайного дробу визначає її знаменник, а в десяткового – останній розряд його дробової частини. Ви бачите, що в чисельнику дробової частини числа  ЩО ТАКЕ ДЕСЯТКОВИЙ ДРІБ. ПОРІВНЯННЯ ДЕСЯТКОВИХ ДРОБІВ цифр на одну менше, ніж нулів у знаменнику. Якщо не врахувати цього, то в запису дробової частини дістанемо помилку – замість 4506 стотисячних запишемо 4506 десятитисячних, але  ЩО ТАКЕ ДЕСЯТКОВИЙ ДРІБ. ПОРІВНЯННЯ ДЕСЯТКОВИХ ДРОБІВ

Тому в запису даного числа десятковим дробом треба поставити 0 після коми (в розряді десятих): 123,04506.

Розряд

Сотні

Десятки

Одиниці

Десятні

Сотні

Тисячні

Десятитисячні

Стотисячні

Мільйонні

Число

1

2

3

0

4

5

0

6

Зверніть увагу:

У десятковому дробі після коми має стояти стільки цифр, скільки нулів у знаменнику відповідного звичайного дробу.

Можемо тепер записати дроби

 ЩО ТАКЕ ДЕСЯТКОВИЙ ДРІБ. ПОРІВНЯННЯ ДЕСЯТКОВИХ ДРОБІВ

У вигляді десяткових.

 ЩО ТАКЕ ДЕСЯТКОВИЙ ДРІБ. ПОРІВНЯННЯ ДЕСЯТКОВИХ ДРОБІВ

Десяткові дроби можна порівнювати так само, як і натуральні числа. Якщо у запису десяткових дробів багато цифр, то користуються спеціальними правилами. Розглянемо приклади.

Задача. Порівняйте дроби: 1) 96,234 і 830,123; 2) 3,574 і 3,547.

Розв’язання. 1, Ціла частина першого дробу – двоцифрове число 96, а ціла частина другого дробу – трицифрове число 830, тому:

96,234 < 830,123.

2. У записах дробів 3,574 і 3,547і цілі частині рівні. Тому порівнюємо порозрядно їх дробові частини Для цього запишемо дані дроби один під одним:

3,574

3,547

Кожен із дробів має 5 десятих. Але у першому дробі є 7 сотих, а у другому – лише 4 соті. Тому перший дріб є більшим за другий: 3,574 > 3,547.

Правила порівняння десяткових Дробів.

1. Із двох десяткових дробів більшим є той, у якого ціла частина більша.

2. Якщо цілі частини десяткових дробів рівні, то порівнюють їх дробові частини порозрядно, починаючи з найстаршого розряду.

Як і звичайні дроби, десяткові дроби можна розмістити на координатному промені. На малюнку 221 ви бачите, що точки А, В і С мають координати: А(0,2), Б(0,9), С(1,6).

 ЩО ТАКЕ ДЕСЯТКОВИЙ ДРІБ. ПОРІВНЯННЯ ДЕСЯТКОВИХ ДРОБІВ

Мал. 221

Дізнайтеся більше

Десяткові дроби пов’язані з десятковою позиційною системою числення. Проте їх поява має більш давню історію і пов’язана з ім’ям видатного математика й астронома ал-Каші (повне ім’я – Джемшид ібн-Масудал-Каші). У праці “Ключ до арифметики” (XV ст.) він уперше сформулював правила дій з десятковими дробами, навів приклади виконання дій із ними. Нічого не знаючи про відкриття ал-Каші, удруге “відкрив” десяткові дроби приблизно через 150 років фламандський математик та інженер Сімон Стевін. У праці “Децималь” (1585 p.) С. Стевін виклав теорію десяткових дробів. Він усіляко пропагував їх, підкреслюючи зручність десяткових дробів для практичних обчислень.

Відокремлювати цілу частину десяткового дробу від дробової пропонували по-різному. Так, ал-Каші цілу й дробову частини писав різним чорнилом або ставив між ними вертикальну риску. С. Стевін для відокремлення цілої частини від дробової ставив нуль у кружечку. Прийняту в наш час кому запропонував відомий німецький астроном Йохан Кеплер (1571 – 1630).

РОЗВ’ЯЖІТЬ ЗАДАЧІ

1173. Запишіть у сантиметрах довжину відрізка АВ, якщо:

1)АВ = 5мм; 2)АВ = 8мм; 3)АВ = 9мм; 4)АВ = 2мм.

1174. Прочитайте дроби:

1)12,5; 3)3,54; 5)19,345; 7)1,1254;

2)5,6; 4)12,03; 6)15,103; 8)12,1065.

Назвіть: а) цілу частину дробу; б) дробову частину дробу; в) розряди дробу.

1175. Наведіть приклад десяткового дробу, в якого після коми стоїть:

1) одна цифра; 2) дві цифри; 3) три цифри.

1176. Скільки знаків після коми має десятковий дріб, якщо знаменник відповідного звичайного дробу дорівнює:

1)10; 2)100; 3)1000; 4) 10000?

1177. У якого з дробів більша ціла частина:

1) 12,5 чи 115,2; 4) 789,154 чи 78,4569;

2) 5,25 чи 35,26; 5) 1258,00265 чи 125,0333;

3) 185,25 чи 56,325; 6) 1269,569 чи 16,12?

1178. У числі 1256897 відокремте комою останню цифру і прочитайте число, яке отримали. Потім послідовно переставляйте кому на одну цифру ліворуч і називайте дроби, які ви отримали.

1179. Прочитайте дроби і запишіть їх у вигляді десяткового дробу:

 ЩО ТАКЕ ДЕСЯТКОВИЙ ДРІБ. ПОРІВНЯННЯ ДЕСЯТКОВИХ ДРОБІВ

1180 Прочитайте дроби і запишіть їх у вигляді десяткового дробу:

 ЩО ТАКЕ ДЕСЯТКОВИЙ ДРІБ. ПОРІВНЯННЯ ДЕСЯТКОВИХ ДРОБІВ

1181. Запишіть звичайним дробом:

1) 2,5; 4)0,5; 7)315,89; 10)45,089;

2)125,5; 5)12,12; 8)0,15; 11)258,063;

3)0,9; 6)25,36; 9) 458;,025; 12)0,026.

1182. Запишіть звичайним дробом:

1)4,6; 2)34,45; 3)0,05; 4)185,342.

1183. Запишіть десятковим дробом:

1) 8 цілих 3 десяті; 5) 145 цілих 14 сотих;

2) 12 цілих 5 десятих; 6) 125 цілих 19 сотих;

3) 0 цілих 5 десятих; 7) 0 цілих 12 сотих;

4) 12 цілих 34 соті; 8) 0 цілих 3 соті.

1184. Запишіть десятковим дробом:

1) нуль цілих вісім тисячних;

2) двадцять цілих чотири соті;

3) тринадцять цілих п’ять сотих;

4) сто сорок п’ять цілих дві соті.

1185. Запишіть частку у вигляді звичайного дробу, а потім у вигляді десяткового дробу:

1)33:100; 3)567:1000; 5)8:1000;

2)5:10; 4)56:1000; 6)5:100.

1186. Запишіть частку у вигляді мішаного числа, а потім у вигляді десяткового дробу:

1)188:100; 3)1567:1000; 5)12548:1000;

2)25:10; 4)1326:1000; 6)15485:100.

1187. Запишіть частку у вигляді мішаного числа, а потім у вигляді десяткового дробу:

1)1165:100; 3)2546:1000; 5)26548:1000;

2) 69 : 10; 4) 1269 : 1000; 6) 3569 : 100.

1188. Виразіть у гривнях:

1) 35 к.; 2) 6 к.; 3)12 грн 35 к.; 4)123к.

1189. Виразіть у гривнях:

1) 58 к.; 2) 2 к.; 3)56 грн 55 к.; 4)175к.

1190. Запишіть у гривнях і копійках:

1)10,34 грн; 2) 12,03 грн; 3) 0,52 грн; 4) 126,05 грн.

1191. Виразіть у метрах і відповідь запишіть десятковим дробом: 1) 5 м 7 дм; 2) 15 м 58 см; 3) 5 м 2 мм; 4) 12 м 4 дм 3 см 2 мм.

1192. Виразіть у кілометрах і відповідь запишіть десятковим дробом: 1) 3 км 175 м; 2) 45 км 47 м; 3) 15 км 2 м.

1193. Запишіть у метрах і сантиметрах:

1) 12,55 м; 2) 2,06 м; 3) 0,25 м; 4) 0,08 м.

1194. Найбільша глибина Чорного моря становить 2,211 км. Виразіть глибину моря в метрах.

1195. Порівняйте дроби:

1) 15,5 і 16,5; 5) 4,2 і 4,3; 9) 1,4 і 1,52;

2) 12,4 і 12,5; 6) 14,5 і 15,5; 10) 4,568 і 4,569;

3)45,8 і 45,59; 7) 43,04 і 43,1; 11)78,45178,458;

4) 0,4 і 0,6; 8) 1,23 і 1,364; 12) 2,25 і 2,243.

1196. Порівняйте дроби:

1)78,5 і 79,5; 3) 78,3 і 78,89; 5) 25,03 і 25,3;

2) 22,3 і 22,7; 4) 0,3 і 0,8; 6) 23,569 і 23,568.

1197. Запишіть у порядку зростання десяткові дроби:

1) 15,3; 6,9; 18,1; 9,3; 12,45; 36,85; 56,45; 36,2;

2) 21,35; 21,46; 21,22; 21,56; 21,59; 21,78; 21,23; 21,55.

1198. Запишіть у порядку спадання десяткові дроби:

15,6; 15,9; 15,5; 15,4; 15,45; 15,95; 15,2; 15,35.

1199. Виразіть у квадратних метрах і запишіть десятковим дробом:

1) 5 дм2; 2) 15 см2; 3)5дм212см2.

1200 . Кімната має форму прямокутника. Її довжина становить 90 дм, а ширина – 40 дм. Знайдіть площу кімнати. Відповідь запишіть у квадратних метрах.

1201 . Порівняйте дроби:

1)0,04 і 0,06; 5) 1,003 і 1,03; 9) 120,058 і 120,051;

2) 402,0022 і 40,003; 6) 1,05 і 1,005; 10) 78,05 і 78,58;

3) 104,05 і 105,05; 7) 4,0502 і 4,0503; 11) 2,205 і 2,253;

4) 40,04 і 40,01; 8)60,4007і60,04007; 12)20,12 і 25,012.

1202. Порівняйте дроби:

1)0,03 і 0,3; 4) 6,4012 і 6,404;

2) 5,03 і 5,003; 5) 450,025 і 450,2054;

1203. Запишіть п’ять десяткових дробів, які на координатному промені містяться між дробами:

1)6,2 і 6,3; 2) 9,2 і 9,3; 3) 5,8 і 5,9; 4) 0,4 і 0,5.

1204. Запишіть п’ять десяткових дробів, які на координатному промені містяться між дробами: 1) 3,1 і 3,2; 2) 7,4 і 7,5.

1205. Між якими двома сусідніми натуральними числами розміщується десятковий дріб:

1)3,5; 2)12,45; 3)125,254; 4)125,012?

1206. Запишіть п’ять десяткових дробів, для яких виконується нерівність:

1)3,41 <х< 5,25; 3) 1,59 < х < 9,43;

2) 15,25 < х < 20,35; 4) 2,18 < х < 2,19.

1207. Запишіть п’ять десяткових дробів, для яких виконується нерівність:

1) 3 < х < 4; 2) 3,2 < х < 3,3; 3)5,22 <х< 5,23.

1208. Запишіть найбільший десятковий дріб:

1) із двома цифрами після коми, який менший від 2;

2) з однією цифрою після коми, який менший від 3;

3) із трьома цифрами після коми, який менший від 4;

4) з чотирма цифрами після коми, який менший від 1.

1209. Запишіть найменший десятковий дріб:

1) із двома цифрами після коми, який більший за 2;

2) із трьома цифрами після коми, який більший за 4.

1210. Запишіть усі цифри, які можна поставити замість зірочки, щоб отримати правильну нерівність:

1) 0, *3 >0,13; 3) 3,75 > 3, *7; 5) 2,15 < 2,1 *;

2) 8,5* < 8,57; 4) 9,3* < 9,34; 6)9,*4>9,24.

1211. Яку цифру можна поставити замість зірочки, щоб отримати правильну нерівність:

1)0,*3 >0,1*; 2) 8,5* <8,*7; 3)3,7*>3,*7?

1212. Запишіть усі десяткові дроби, ціла частина яких дорівнює 6, а дробова частина містить три десяткові знаки, записані цифрами 7 і 8. Запишіть ці дроби в порядку їх спадання.

1213. Запишіть шість десяткових дробів, ціла частина яких дорівнює 45, а дробова частина – складається з чотирьох різних цифр: 1, 2, 3, 4. Запишіть ці дроби в порядку їх зростання.

1214. Скільки можна скласти десяткових дробів, ціла частина яких дорівнює 86, а дробова частина – складається з трьох різних цифр: 1,2,3?

1215. Скільки можна скласти десяткових дробів, ціла частина яких дорівнює 5, а дробова є трицифровою, записаною цифрами 6 і 7? Запишіть ці дроби в порядку їх спадання.

1216. Закресліть у числі 50,004007 три нулі так, щоб утворилося:

1) найбільше число; 2) найменше число.

ЗАСТОСУЙТЕ НА ПРАКТИЦІ

1217. Виміряйте довжину і ширину свого зошита у міліметрах і запишіть відповідь у дециметрах.

1218. Запишіть свій зріст у метрах за допомогою десяткового дробу.

1219. Виміряйте розміри своєї кімнати та обчисліть її периметр і площу. Відповідь запишіть у метрах і квадратних метрах.

ЗАДАЧІ НА ПОВТОРЕННЯ

1220. При яких значеннях х дріб  ЩО ТАКЕ ДЕСЯТКОВИЙ ДРІБ. ПОРІВНЯННЯ ДЕСЯТКОВИХ ДРОБІВЄ неправильним?

1221. Розв’яжіть рівняння:

1)  ЩО ТАКЕ ДЕСЯТКОВИЙ ДРІБ. ПОРІВНЯННЯ ДЕСЯТКОВИХ ДРОБІВ

1222. Магазин мав продати 714 кг яблук. За перший день було продано  ЩО ТАКЕ ДЕСЯТКОВИЙ ДРІБ. ПОРІВНЯННЯ ДЕСЯТКОВИХ ДРОБІВ усіх яблук, а за другий –  ЩО ТАКЕ ДЕСЯТКОВИЙ ДРІБ. ПОРІВНЯННЯ ДЕСЯТКОВИХ ДРОБІВ від того, що продали за перший день. Скільки яблук продали, за 2 дні?

1223. Ребро куба зменшили на 10 см і отримали куб, об’єм якого дорівнює 8 дм3. Знайдіть об’єм першого куба.




ЩО ТАКЕ ДЕСЯТКОВИЙ ДРІБ. ПОРІВНЯННЯ ДЕСЯТКОВИХ ДРОБІВ