ЩО ТАКЕ ФУНКЦІЯ

РОЗДІЛ 4 ФУНКЦІЇ

У розділі дізнаєтесь:

► що таке функція, її область визначення і область значень;

► про способи задания функції;

► що називають графіком функції та як його побудувати;

► яка функція називається лінійною та які її властивості;

► що є графіком лінійної функції та як його побудувати;

► яка функція називається прямою пропорційністю та які її властивості;

► що є графіком прямої пропорційності та як його побудувати;

► як застосувати вивчений матеріал на практиці

 ЩО ТАКЕ ФУНКЦІЯ

&15.
ЩО ТАКЕ ФУНКЦІЯ

У повсякденному житті різні величини часто пов’язані між собою і навіть залежать одна від одної. Наприклад: шлях, який пробігає пантера за певний час залежить від її швидкості; вартість деякої кількості однакових товарів залежить від ціни одного такого товару; периметр і площа квадрата залежать від довжини його сторони тощо. У математиці, фізиці, хімії, біології та інших науках вивчають різні залежності між величинами.

Ви знаєте, що об’єм куба з ребром а знаходять

за формулою: V = а3. У цьому випадку кажуть, що ребру а відповідає об’єм V. До того ж, якщо сторону куба збільшувати або зменшувати, то відповідно буде змінюватись і його об’єм. Це означає, що величини а і V є змінними величинами, причому величина V залежить від величини а. Тому довжину сторони куба а вважають незалежною змінною, а його об’єм V – залежною змінною. У цій залежності кожному значенню змінної а відповідає єдине значення змінної V. Таку відповідність між змінними a i V називають функціональною залежністю.

? Чи кожна відповідність двох змінних є функціональною залежністю? Ні. Розглянемо приклад.

У приміському автобусі ціна на квиток залежить від відстані між початковим пунктом маршруту та певною зупинкою на маршруті (табл. 11).

Таблиця 11

Відстань (y км)

0-4

4,1-12

12,1-20

20,1-26

26,1-28

28,1-33

33,1-37

Вартість квитка (у грн)

3

5,73

8,02

10,32

12,61

14,9

17,2

Очевидно, що між змінними величинами “відстань” та “вартість квитка” існує залежність. Якщо вважати незалежною змінною відстань, а залежною змінною – вартість квитка, то така відповідність є функціональною залежністю, оскільки кожному значенню незалежної змінної відповідає єдине значення залежної змінної. Проте, якщо вважати незалежною змінною вартість квитка, а залежною змінною – відстань, то за ціною квитка пасажира ми не зможемо однозначно визначити, на яку саме відстань цей пасажир проїде від початкового пункту маршруту автобуса. Тому така відповідність не е функціональною залежністю.

Запам’ятайте!

Правило, згідно з яким кожному значенню незалежної змінної ставиться у відповідність єдине значення залежної змінної, називається функцією.

? Функцію найчастіше позначають літерою f, незалежну змінну – літерою x, а залежну змінну – літерою у. Тоді функціональну залежність змінної у від змінної х коротко записують: у = f (х) і читають: “Ігрек дорівнює еф від ікс”.

? Чи можна позначати функцію, залежну та незалежну змінні іншими літерами? Так. Наприклад, y = h (х) (у – залежна змінна, х – незалежна змінна, h – функція), s = g (t) (s – залежна змінна, t – незалежна змінна, g- функція), z = f (ψ) (г – залежна змінна, ψ- незалежна змінна, f – функція) тощо.

Незалежну змінну називають аргументом функції, а залежну змінну – функцією. Тому для функції у = f (x) змінна х – це аргумент, а у – функція. Правило f, яке задає функцію, найчастіше подають у вигляді формули. Наприклад, f (х) = х + 2, f (х) = х3 або у = х + 2, у = х3. Для певного значення х відповідне значення у чи f(x) називають значенням функції.

Обчислюючи значення функції, обов’язково вказують відповідне значення аргументу. Наприклад, запис f (3) означає, що значення функції знаходять для значення аргументу, яке дорівнює 3, тобто для х = 3. Наприклад, для функції f (х) = х3 + 2 аргументу х = 3 відповідає значення функції f (3) = 33 + 2 = 27 + 2 = 29.

Задача 1. Знайдіть значення функції у – х3 – 8, якщо х = -1; 0; 2.

Розв’язання. Щоб знайти значення функції для заданих значень аргументу, підставимо ці значення аргументу у формулу, що задає функцію:

Якщо х = -1, то f(-1) = (-1)3 – 8 = -1 -8 =-9;

Якщо х = 0, то f (0) = 03 – 8 = 0 – 8 = -8;

Якщо х = 2,то f (2) = 23 – 8 = 8 – 8 = 0.

Запам’ятайте!

Усі можливі значення аргументу утворюють область визначення функції, а відповідні значення залежної змінної – область значень функції.

? Область визначення та область значень функції у = f (х) коротко позначають D (f) та Е (f) відповідно.

Задача 2. Периметр прямокутника зі сторонами а і b дорівнює 28 см. Складіть формулу залежності довжини сторони а від довжини сторони b. Назвіть аргумент цієї функції та знайдіть її область визначення й область значень.

Розв’язання. 1. Периметр прямокутника зі сторонами а і b обчислюють за формулою Р = 2(а + b). За умовою задачі Р = 28 см. Отже, 28 = 2 (a + b) Звідси а + b = 14 і а = 14 – b.

2. Для функції а = 14 – b змінна b є аргументом.

3. Довжини сторін прямокутника можуть набувати лише додатних значень, тому b > 0 і a > 0. Оскільки a + b = 14, то значення і незалежної змінної b, і залежної змінної а не можуть бути більшими за 14 Звідси 0 < b < 14 і0 < а < 14. Отже, область визначення даної функції: 0 < b < 14, а її область значень: 0 < a < 14.

Зверніть увагу:

Функція вважається заданою, якщо:

1) задано область її визначення;

2) указано правило, згідно з яким для кожного значення аргументу можна знайти відповідне значення залежної змінної (функції).

Функцію можна задавати різними способами.

У задачі 2 ми задали функцію за допомогою формули a = 14 – b, тобто аналітично. Цю ж функцію можна задати описово, тобто словесно охарактеризувати залежність двох заданих величин, наприклад, так: довжина сторони a прямокутника дорівнює різниці його півпериметра 14 і довжини другої сторони b. Будь-яка задача, за умовою якої ми складаємо формулу функціональної залежності, задає функцію описово.

Існує ще один спосіб задания функції – табличний. Назва цього способу підказує, що залежність між аргументом

І функцією можна подати у вигляді таблиці. Наприклад, такою є таблиця 12.

Таблиця 12

X

-2

-1

0

1

2

Y(х)

4

-2

-4

-2

4

Проте табличний спосіб задания функції має деякі недоліки у порівнянні з попередніми. Ви бачите, що в таблиці 12 указано лише п’ять значень аргументу і функції. Отже, область визначення й область значень цієї функції утворюють по п’ять чисел. Якщо ж областю визначення деякої функції є, наприклад, усі натуральні числа, то задати її таблично просто неможливо. Хоча і для таких функцій нерідко виникає потреба складати таблиці (нехай і неповні), наприклад, щоб перейти від аналітичного до графічного способу задания функції. Докладніше про це ви дізнаєтесь у наступному параграфі.

Зверніть увагу:

Щоб задати функцію, використовують такі способи:

– аналітичний;

– описовий;

– табличний;

– графічний.

Дізнайтеся більше

Функція – одне з основних наукових понять. У сучасному формулюванні воно з’явилось не одразу. Спочатку це поняття було зовсім нечітким. Перші спроби описати поняття “функція” були здійснені наприкінці XVII ст. Готфрідом Вільгельмом Лейбніцем (1646-1716), а також його учнями і послідовниками – братами Йоганном і Якобом Бернуллі. Термін “функція” належить Лейбніцу і походить від латинського слова function, що означає “виконання”, “здійснення”. Термін”аргумент функції” походить від латинського argumentum. Область визначення функції f(x) позначають D(f) або dom f (від англ. domain, що означає “область”). Область значень функціїf(x) частіше позначають E(f), рідше – R(f) (від франц. range) або cod(f) (від англ. codomain – “співобласть”). Нині вивченню функцій та їх властивостей присвячено величезний розділ математики – математичний аналіз.

 ЩО ТАКЕ ФУНКЦІЯ

ПРИГАДАЙТЕ ГОЛОВНЕ

1. Наведіть приклад функціональної залежності.

2. Сформулюйте означення функції.

3. Як позначають функцію?

4. Як називають незалежну змінну?

5. Що таке область визначення функції?

6. Як називають залежну змінну?

7. Що таке область значень функції?

8. Назвіть способи задания функції.

РОЗВ’ЯЖІТЬ ЗАДАЧІ

782. Прочитайте запис: 1) у = h (z); 2) s = g(t); 3) z = f(j). Назвіть залежну і незалежну змінні.

783. Чи правильно, що х є аргументом функції:

1)у = 3x + 2; 2) x = 4t – 5; 3) z = 4j2 – 5j + 1?

784. Чи правильно, що у є функцією від а, якщо:

1) у =3а + 2; 2) a = у3 + 2у, 3)р = у4 + 2у – 7?

785. Наведіть приклад функції, заданої аналітично. Назвіть її область визначення та область значень.

786. Наведіть приклад функції, заданої за допомогою таблиці. Назвіть її область визначення та область значень.

787. Кожна сторона п’ятикутника дорівнює а. Чи пов’язані функціональною залежністю периметр Р цього п’ятикутника та довжина його сторони? Якщо так, то назвіть незалежну і залежну змінні.

788. Кілограм помідорів коштує 14 грн. Чи пов’язані функціональною залежністю вартість помідорів та їх маса? Якщо так, то назвіть незалежну і залежну змінні.

789. Кожному натуральному числу відповідає вдвічі більше натуральне число. Чи є дана залежність функцією? Якщо так, то запишіть її у вигляді формули.

790. Наприкінці першого семестру класний керівник 7-А класу оголосив учням їх рейтинг у класі. Відомо, що:

1) кожному учню поставили у відповідність його рейтингову оцінку;

2) кожній рейтинговій оцінці поставили у відповідність учня, який її отримав.

Яка із цих двох залежностей є функціональною?

791. Велосипедист їхав зі швидкістю 18 км/год. Запишіть у вигляді формули залежність пройденого ним шляху S від часу t. Знайдіть значення отриманої функції, якщо:

1) t = 3 год; 2) t =3,5 год; 3) t = 10,2 год.

792. Поїзд рухався зі швидкістю 75 км/год. Запишіть у вигляді формули залежність пройденого ним шляху S від часу t. Знайдіть значення отриманої функції, якщо:

1) t = 9год; 2) t = 11,5 год; 3)4 = 20,4год.

793. Функцію задано формулою: g = 2t2 + 4. Назвіть:

1) аргумент функції; 2) область визначення функції; 3) область значень функції.

794. Функцію задано формулою: 2 = 5 – 7r2. Назвіть:

1) аргумент функції; 2) область визначення функції; 3) область значень функції.

795. Знайдіть значення функції у = 5х – 6, якщо:

1) х = -3; 2) х = -1; 3)х = 0; 4) х = 2; 5) х = 4.

796. Знайдіть значення функції у = -3х + 1, якщо:

1) х = -2; 2) х = -1; 3)х = 0; 4)х = 3; 5)х = 5.

797. Накресліть у зошиті й заповніть таблицю 13, якщо у(х) = -3х2 + 2х – 1.

Таблиця 13

X

-2

-1

0

1

2

Y(x)

798. Накресліть у зошиті й заповніть таблицю 14, якщо f(х) = -3х3 + х + 4.

Таблиця 14

X

-2

-1

0

1

2

F(x)

799. Працівники фабрики відраховують у пенсійний фонд 5 % своєї заробітної плати. Уведіть змінні та запишіть формулу залежності відрахувань у пенсійний фонд від розміру заробітної плати.

800. Страховий агент отримує 6,5 % від продажу страхових полісів. Уведіть змінні та запишіть формулу залежності доходу страхового агента від розміру проданих страхових полісів.

801. Знайдіть у (-2), у (-1), у (0), у (1,5), у (2), якщо:

1) y = |x| – 2;

2) у =|х – 2|;

3) у = |2 – х|;

4)у = 1 – 2|х|.

802. Знайдіть у (-3), у (-1,5), у (0), у (1), у (3), якщо:

1) y = |x| – 3;

2) у = |х – 3|;

3) у = |3 + х|;

4) у = 3 – 2|х|.

803. Кожному натуральному числу поставили у відповідність остачу від ділення цього числа на 6. Чи є така залежність функціональною? Якщо так, то знайдіть її область визначення й область значень.

804. За даними таблиці 15 знайдіть невідомі величини, якщо f(х) = -3х + 8.

Таблиця 15

X

-2

1

F(x)

6

0

-1

805. За даними таблиці 16 знайдіть невідомі величини, якщо g(x) = 7 – 5х.

Таблиця 16

X

-3

2,4

G(х)

12

0

-3

806. Тетянка живе в багатоповерховому будинку. Вона порахувала кількість сходинок від входу до першого поверху, а потім до кожного з чотирьох наступних поверхів і занесла ці дані до таблиці 17.

Таблиця 17

Поверх

1

2

3

4

5

Кількість сходинок

4

15

26

37

48

Якби дівчинка продовжила заповнювати таблицю, то скільки сходинок вона б записала у клітинці, що відповідає:

1)8 поверху; 2) 11 поверху; 3)21 поверху? Уведіть змінні та складіть формулу залежності кількості сходинок від поверху.

807. Складіть із кроком 0,5 таблицю значень функції, заданої формулою у = х2(2 – Зх), якщо -1 ≤ х ≤ 2.

808. Складіть із кроком 1 таблицю значень функції, заданої формулою у = 3(1 – х2), якщо -3 ≤ х ≤ 4.

809. Знайдіть область функції, заданої формулою:

1)  ЩО ТАКЕ ФУНКЦІЯ;

2) y = x2 + 4x + 2;

3) y =  ЩО ТАКЕ ФУНКЦІЯ;

4) y = –  ЩО ТАКЕ ФУНКЦІЯ.

810. Знайдіть область визначення функції, заданої формулою:

1) y = x3 -7x;

2) y =  ЩО ТАКЕ ФУНКЦІЯ;

3) y =  ЩО ТАКЕ ФУНКЦІЯ;

4) y = –  ЩО ТАКЕ ФУНКЦІЯ.

811. Знайдіть область значень функції, заданої формулою:

1) у = 3х2; 3)у = – x2 + 1; 5) у = х3 – 3;

2) у = х2 +2 ; 4) у = -2х2 + 7; 6) у = 4х – 3.

812. Знайдіть область значень функції, заданої формулою:

1) у = 2х2; 2) у = -2х2; 3)у = 2х2.

813. Знайдіть у(-2), у(-1), y(0), у( 1), у(2), якщо:

 ЩО ТАКЕ ФУНКЦІЯ

814. Чи задає функцію наступна рівність:

1) |y|= х + 1; 2)|у|+|x|=1; 3) |y| – 2|х| = 4; 4)|х – у| = 2?

Відповідь поясніть.

815. Паперовий квадрат зі стороною 50 см потрібно розрізати на певну кількість менших квадратів. Задайте формулою функцію знаходження кількості маленьких квадратів залежно від довжини їх сторони. Скільки маленьких квадратів можна отримати, якщо сторона кожного дорівнює: 1) 25 см; 2) 10 см; 3) 5 см; 4) 4 см?

816. Потяг долає відстань в 1 км між сусідніми стовпами за 90 с. На скільки кілометрів за годину потрібно збільшити швидкість потяга, щоб зменшити цей час до 1 хв?

817. Складіть формулу, яка задає наступну функцію: значення функції дорівнює потроєному аргументу, якщо він кратний числу 3; значення функції дорівнює подвоєному аргументу, якщо його остача відділення на число 3 дорівнює 1; значення функції дорівнює аргументу, якщо його остача від ділення на число 3 дорівнює 2.

ЗАСТОСУЙТЕ НА ПРАКТИЦІ

818. Оленка планує запросити на день народження п гостей. Мама доручила дівчинці купити кожному з гостей по 250 г цукерок та крім цього ще 400 г цукерок. Задайте формулою залежність маси цукерок, які потрібно купити, від кількості гостей.

819. На пересування містом татів автомобіль витрачає щодня 8 я бензину. Задайте формулою функцію для визначення об’єму витраченого бензину залежно від кількості днів. Скільки літрів бензину потрібно купити татові, щоб йому вистачило на: 1)5 днів; 2) 7 днів; 3) 10 днів; 4) 14 днів?

ЗАДАЧІ НА ПОВТОРЕННЯ

820. Сума деякого числа та його  ЩО ТАКЕ ФУНКЦІЯ дорівнює 40. Знайдіть невідоме число.

821. Подайте дроби  ЩО ТАКЕ ФУНКЦІЯ,  ЩО ТАКЕ ФУНКЦІЯ,  ЩО ТАКЕ ФУНКЦІЯ у вигляді десяткових та округліть їх до сотих.

822. Розкладіть на множники вираз:

1) (2х + 5)2 – (4х + 5)2;

2) (3 n2 + 2)2 – (3 + 2n2)2.

823. У трикутнику сторони дорівнюють 6 см, 8 см і 10 см. Кожну сторону збільшили на 40 %. Як змінився периметр трикутника (у %)? Знайдіть його.




ЩО ТАКЕ ФУНКЦІЯ