Сума кутів трикутника. Нерівність трикутника

§ 3. Паралельні прямі. Сума кутів трикутника

§ 15. Сума кутів трикутника. Нерівність трикутника

Вправи

357. Нехай х° – третій кут трикутника, тоді 35 + 96 + х = 180, звідси х + 131 = 180; х = 180 – 131; х = 49. Отже, третій кут дорівнює 49°.

Відповідь: 49°.

358. Нехай х° – один із кутів трикутника, тоді інші кути дорівнюють: 3x° та (х + 35)°. Маємо рівняння: х + 3х + х + 35 = 180, тоді 5х + 35 = 180; 5х = 180 – 35; 5х = 145; х = 29, звідси 3х = 3 х 29 = 87, x + 35 = 29 + 35 = 64. Отже, кути трикутника дорівнюють 29°, 87°, 64°.

Відповідь: 29°, 87°, 64°.

359. Нехай

кути трикутника дорівнюють 2х°, 3х°, 7х°. Тоді 2х + 3х + 7х = 180, звідси 12х = 180; х = 180 : 12; х = 15. Тоді 2х = 2 х 15 = 30, 3х = 3 х 15 = 45, 7x = 7 х 15 = 105. Отже, куги трикутника дорівнюють 30°, 45° і 105°.

Відповідь: 30°, 45° і 105°.

360. Оскільки всі кути рівностороннього трикутника рівні, то кожний кут дорівнює 180°: 3 = 60°.

Відповідь: 60°, 60°, 60°.

361. Нехай х° – гострий кут прямокутного рівнобедреного трикутника, Тоді 90° + 2х° = 180°, звідси 2х = 180 – 90; 2х = 90; х = 90 : 2; х = 45. Отже, кути прямокутного рівнобедреного трикутника дорівнюють 45°, 90°, 45°.

Відповідь: 45°, 90°, 45°.

362. Нехай х° – кут

при вершині рівнобедреного трикутника, тоді х + 2 х 63 = 180, звідси х + 126 = 180; х = 180 – 126; х = 54°. Отже, кут при вершині рівнобедреного трикутника дорівнює 54°.

Відповідь: 54°.

363. Нехай х° – кут при основі рівнобедреного трикутника, тоді 2х + 104 = 180, звідси 2х = 180 – 104; 2х = 76; х = 76 : 2; х = 38. Отже, кути при основі рівнобедреного трикутника дорівнюють 38° і 38°.

Відповідь: 38° і 38°.

364. Нехай х° – кут при основі рівнобедреного трикутника, тоді 4х + х + х = 180, звідси 6х = 180; х = 180 : 6; x = 30. 4x = 4 х 30 = 120. Отже, кути трикутника дорівнюють 30°, 30°, 120°.

Відповідь: 30°, 30°, 120°.

365. Нехай х° – кут при основі рівнобедреного трикутника, х° + 48° – кут при вершині, тоді 2х + (х + 48) =180, звідси 3х + 48 = 180; 3х = 180 – 48; 3х = 132; х = 132 : 3; х = 44. х + 48 = 44 + 48 = 92. Отже, кути трикутника дорівнюють 44°, 44°, 92°.

Відповідь: 44°, 44°, 92°.

366. 1) Кут при основі не може дорівнювати 110°, бо 110° х 2 = 220° > 180°. Тому це кут при вершині. Якщо х° – кут при основі, то 110 + 2х = 180, звідси 2х = 180 – 110; 2х = 70; х = 70 : 2;х = 35. Отже, кути трикутника дорівнюють 35°, 35°, 110°.

Відповідь: 35°, 35°, 110°; один розв’язок.

2) Якщо 50° – кут при основі, а х° – кут при вершині рівнобедреного трикутника, то 2 х 50 + х = 180, звідси 100 + х = 180; х = 180 – 100; х = 80. Якщо 50° – кут при вершині, а х° – кут при основі рівнобедреного трикутника, то 50 + 2х = 180°; звідси 2х = 180 – 50; 2х = 130; х = 130 : 2; х = 65.

Отже, кути трикутника дорівнюють 50°, 50° і 80° або 65°, 65° і 50°.

Відповідь: 50°, 50° і 80° або 65°, 65° і 50°; два розв’язки.

367. 1) Якщо 42° – кут при основі, х° – кут при вершині, тоді 2 х 42 + х = 180, звідси 84 + х = 180; х = 180 – 84; х = 96. Отже, кути трикутника дорівнюють 42°, 42°, 96°.

Якщо 42° – кут при вершині, х° – кут при основі, тоді 42 + 2х = 180, звідси 2х = 180 – 42; 2х = 138; х = 138 : 2; х = 69. Отже, кути трикутника дорівнюють 42°, 69°, 69°.

Відповідь: 42°, 42°, 96° або 42°, 69°, 6°; два розв’язки.

2) Кут при основі не може дорівнювати 94°, бо 94° х 2 = 188° > 180°. Тому це кут при вершині. Якщо х° – кут при вершині, то 2х + 94 = 180, звідси 2х = 180 – 94; 2х = 86; х = 86 : 2; х = 43. Отже, кути трикутника дорівнюють 43°, 43°, 94°.

Відповідь: 43°, 43°, 94°; один розв’язок.

368. 1) Сторони трикутника не можуть дорівнювати 6 см, 5 см, 12 см, бо 12 > 5 + 6 – не виконується нерівність трикутника.

Відповідь: не можуть.

2) Сторони трикутника не можуть дорівнювати 6 см, 5 см, 11 см, бо 11 = 5 + 6 – не виконується нерівність трикутника.

Відповідь: не можуть.

369. На рисунку ∠BAC = 2 х ∠BAK = 2 х 18° = 36°.

∠ABC = 180° – (90° + 36°) = 54°. ∠AKC = 180° – (90°+ 18°) = 72°.

 Сума кутів трикутника. Нерівність трикутника

Відповідь: 72°, 54°.

370. На рисунку AB = BC, ∠ACK = ∠KCB, ∠A = 66°.

 Сума кутів трикутника. Нерівність трикутника

 Сума кутів трикутника. Нерівність трикутника

Відповідь: 81°.

371. На рис. ∠ACM = ∠MCB, ∠CAK = ∠KAB, ∠BAC = 116°, ∠BCA = 34°.

 Сума кутів трикутника. Нерівність трикутника

 Сума кутів трикутника. Нерівність трикутника

Відповідь: 105°.

372. На рис. ∠B = 36°, ∠BAD = ∠DAC.

 Сума кутів трикутника. Нерівність трикутника

Таким чином, ∠DAB = ∠B, отже, ?ADB – рівнобедрений.

∠ADC = 180° – (∠DAC + ∠DCA) = 180° – (36° + 72°) = 180° – 108° = 72°.

Таким чином, ∠ADC = ∠C, отже, ?CAD – рівнобедрений.

 Сума кутів трикутника. Нерівність трикутника

373. На рисунку ∠ABF = ∠FBC, ∠A = 39°, ∠AFB = 78°.

 Сума кутів трикутника. Нерівність трикутника

 Сума кутів трикутника. Нерівність трикутника

Відповідь: 15°.

374. Нехай α, β, γ – кути трикутника. Тоді α + β + γ = 180° і α = β + γ, тоді α + β + γ = α + (β + γ) = α + α = 2α, звідси 2α = 180°, α = 180° : 2, α = 90°. Отже, трикутник – прямокутний.

375. 1) ∠KEM, ∠NFM; 2) ∠MEF.

376. 1) ?АМС; 2) ?АМВ, ?CMD.

377. 1) ∠ACB = 180° – ∠BCD = 180° – 75° = 105°.

2) ∠A – ∠B = 180° – 105° = 75°.

 Сума кутів трикутника. Нерівність трикутника

Відповідь: 1) 105°; 2) 75°.

378. Так (якщо трикутник тупокутний).

379. Трикутник прямокутний.

380. ∠DCB = 136°, ∠B = 61°, тоді ∠A = ∠BCD – ∠B = 136° – 61° = 75°.

 Сума кутів трикутника. Нерівність трикутника

Відповідь: 75°.

381. ∠BCD = 154°. Нехай ∠B = х°, ∠A = х° + 28°, тоді х + х + 28 = 154, звідси 2х + 28 = 154; 2х = 154 – 28; 2х = 126; х = 126 : 2; х = 63, тоді x + 28 = 63 + 28 = 91.

Отже, шукані кути дорівнюють 63°, 91°.

 Сума кутів трикутника. Нерівність трикутника

Відповідь: 63°, 91°.

382. Нехай ∠A = х°, ∠B = 6х°, тоді х + 6х = 98, звідси 7x = 98; х = 98 : 7; х = 14, тоді 6х = 6 х 14 = 84. Отже, шуані кути дорівнюють 14° і 84°.

 Сума кутів трикутника. Нерівність трикутника

Відповідь: 14°, 84°.

383. AB = BC, ∠DBA. Оскільки ∠A = ∠C, ∠A + ∠C = 38°, тоді ∠A = ∠C = 38° : 2 = 19°. ∠B= 180° – 38° = 142°.

 Сума кутів трикутника. Нерівність трикутника

Відповідь: 19°, 19°, 142°.

384. 1)Оскільки АВ > АС > ВС, тоді ∠С > ∠B > ∠A.

2) Оскільки AB = BC, BC > АС, тоді ∠C = ∠A > ∠B.

385. Якщо ∠A = 34°, ∠B = 28°, тоді ∠C = 180° – 34° – 28° = 118°.

Оскільки ∠B < ∠A < ∠C, то АС < BC < AB.

386. 1) Оскільки ∠C > ∠A > ∠B, тоді АВ > ВС > АС.

2) Оскільки ∠B > ∠C, ∠A = ∠B, тоді BC = АС > AB.

387. Нехай ∠A = ∠A1, ∠B = ∠B1, тоді ∠C = 180° – (∠A + ∠B) = 180° – (∠A1 + ∠B1) = ∠C1. Отже, ∠C = ∠C1.

388. 1) Відповідний кут трикутника дорівнює 180° – 54° = 126°. Це може бути тільки кут при вершині (бо він тупий). Тоді кут при основі дорівнює 1/2 • 54° = 27°. Отже, кути трикутника дорівнюють 27°, 27°, 126°.

Відповідь: 27°, 27°, 126°; один розв’язок.

2) Якщо 112° – зовнішній кут при основі, то відповідний кут трикутника дорівнює 180° – 112° = 68°, і тоді кут при вершині дорівнює 180° – 68° – 68° = 44°. Отже, кути трикутника дорівнюють 68°, 68°, 44°.

Якщо 112° – зовнішній кут при вершині рівнобедреного трикутника, то відповідний кут трикутника дорівнює 180° – 112° = 68°, а кут при основі дорівнює 1/2 • 112° = 56°. Отже, кути трикутника дорівнюють 56°, 56°, 68°.

Відповідь: 44°, 68°, 68° або 56°, 56°, 68°; два розв’язки.

389. Якщо це зовнішній кут при основі, то відповідний кут трикутника дорівнює 180° – 130° = 50°, а кут при вершині 180° – 2 х 50° = 80°. Отже, кути трикутника дорівнюють 50°, 50°, 80°.

Якщо це зовнішній кут при вершині, то відповідний кут трикутника дорівнює 180° – 130° = 50°, а кут при основі 1/2 • 130° = 65°. Отже, кути трикутника дорівнюють 65°, 65°, 50°.

Відповідь: 50°, 50°, 80° або 50°, 65°, 65°; два розв’язки.

390. 1) Якщо одна сторона трикутника дорівнювала б 20 см, тоді сума двох сторін дорівнювала б 30 см – 20 см = 10 см, і нерівність трикутника не виконувалася, бо 20 > 10. Отже, сторона не може дорівнювати 20 см.

2) Якщо одна сторона трикутника дорівнювала б 15 см, тоді сума двох сторін дорівнювала б 30 см – 15 см = 15 см, і нерівність трикутника не виконувалася б, бо 15 = 15. Отже, сторона не може дорівнювати 15 см.

391. 1) Якщо дві сторони трикутника дорівнюють 7 см і 9 см, то третя сторона дорівнює 20 – 7 – 9 = 4 (см). Трикутник ні сторонами 7 см, 9 см, 4 см існує. Отже, периметр трикутника може дорівнювати 20 см.

2) Якщо дві сторони дорівнюють 7 см і 9 см, то третя сторона дорівнює 32 – 7 – 9 = 16. Трикутника зі сторонами 7 см, 9 см, 16 см не існує, бо не виконується нерівність трикутника, бо 7 см + 9 см = 16 см. Отже, периметр трикутника не може дорівнювати 16 см.

3) Якщо дві сторони дорівнюють 7 см i 9 см, то третя сторона дорівнює 18 – 9 – 7 = 2 (см). Трикутник зі сторонами 2 см, 7 см, 9 см не існує, бо 2 + 7 = 9. Отже, периметр не може дорівнювати 18 см.

392. Нехай х см, х + 2 см, х + 6 см. Тоді х + х + 2 + х + 6 = 20, звідси 3х + 8 = 20; 3х = 20 – 8; 3х = 12; х = 12 : 3; х = 4. Тоді сторони трикутника дорівнюють 4 см, 6 см і 10 см. Проте трикутника зі сторонами 4 см, 6 см, 10 см не існує (бо 10 = 4 + 6).

Відповідь: ні.

393. ∠AOC = 180° – (∠OAC + ∠OCA) = 180° – ∠BAC = ∠BAD. Отже, ∠AOC дорівнює зовнішньому куту трикутника ABC при вершині А.

 Сума кутів трикутника. Нерівність трикутника

394. Оскільки ВС || AD, то ∠B = ∠D, тоді ∠CMD = ∠A + ∠MDA = ∠A + ∠B = 25° + 55° = 80°.

Відповідь: 80°.

395. AB = АС, ∠AKB = 105°. ∠AKB – зовнішній кут трикутника ВКС. Якщо ∠KBC = x°, тоді ∠C = 2x° i x + 2x = 105, звідси 3х = 105; х = 105 : 3; х = 35, 2х = 70. Отже, ∠C = 70°, ∠ABC = 70°, ∠A= 180° – 70° – 70° = 40°.

 Сума кутів трикутника. Нерівність трикутника

Відповідь: 40°, 70°, 70°.

396. BD = ВС, ∠ACD = 15°, ∠DCB = 40°. Оскільки ∠DCB = 40° і DB = ВС, то ∠CDB = 40°, ∠B = 180° – 40° – 40° = 100°.

Оскільки ∠BDC – зовнішній кут трикутника ADC при вершині D і ∠ACD = 15°, тоді ∠BDC = ∠A + ∠ACD, звідси 40° = ∠A + 15°, ∠A = 40° – 15°, ∠A = 25°. ∠C = 180° – ∠A – ∠B = 180° – 25° – 100° =55°.

 Сума кутів трикутника. Нерівність трикутника

Відповідь: 100°, 25°, 55°.

397. ∠3 = 180° – ∠B = ∠1 = 180° – ∠B – ∠2 = ∠4. Отже, ∠3 = ∠4.

398. ∠CAD = 180° – ∠ACD – ∠D = 180° – 95° – 45° = 40°.

Оскільки ВС || AD, то ∠CAD = ∠BCA = 40° (як внутрішні різносторонні при паралельних прямих ВС і AD та січній АС).

∠BAC = 180° – ∠B – ∠BCA = 180° – 100° – 40° = 40°.

Оскільки ∠BAC = ∠BCA = 40°, то? ABC – рівнобедрений і AB = ВС.

399. ∠CAK = 180° – ∠BAC = 180° – 70° = 110°.

 Сума кутів трикутника. Нерівність трикутника

∠AKC = 180° – (110° + 35°) = 35°.

 Сума кутів трикутника. Нерівність трикутника

Відповідь: 35°, 35°, 110°.

400.

 Сума кутів трикутника. Нерівність трикутника

 Сума кутів трикутника. Нерівність трикутника

Відповідь: 140°.

401.  Сума кутів трикутника. Нерівність трикутника Сума кутів трикутника. Нерівність трикутника Оскільки ∠FBA = ∠A і ці кути є різносторонні при прямих FB і АС та січній AB, то FB || АС.

 Сума кутів трикутника. Нерівність трикутника

402. Нехай FB || АС, тому ∠FBA = ∠BAC – як внутрішні різносторонні при паралельних прямих FB і АС та січній AB. Отже, ∠DBA = 2∠ВАС, але ∠DBA = ∠ВАС + ∠BCA, тоді 2∠BAC = ∠BAC + ∠BCA, 2∠BAC – ∠BAC = ∠BCA; ∠BAC = ∠BCA. Оскільки ∠BAC = ∠BCA, то? ABC – рівнобедрений (AB = BC).

403. ∠BAC = ∠C = 2∠B. Тоді ∠B + 2 • 2∠B = 180° або 5∠B = 180°, звідси ∠B = 180°: 5, ∠B = 36°.

 Сума кутів трикутника. Нерівність трикутника

∠BAC – ∠C = 72°; ∠BAM = 1/2 • ∠BAC = 1/2 • 72° = 36°. ∠B = ∠BAM, отже, BM = MA. ∠AMC = 180° – (∠MAC + ∠C) = 180° – (36° + 72°) = 180° – 108° = 72°; ∠AMC = ∠C, отже, MA = АС. ОскількиBM = MA, MA = АС, то BM = AC.

404. BM = AM = AC. Оскільки AM = AC, то ∠C = ∠AMC = ∠B + ∠BAM, але BM = AM, тому ∠B = ∠BAM. Отже, ∠C = ∠BAC = 2∠B, тоді ∠B + 2 • 2∠B = 180°; 5∠B = 180°; ∠B = 180° : 5; ∠B = 36°, ∠BAC= ∠C = 72°.

 Сума кутів трикутника. Нерівність трикутника

Відповідь: 36°, 72°, 72°.

405. 2) Якщо б усі кути були меншими від 60°, то їхня сума була б менша за 180°, чого не може бути. Отже, в будь-якому трикутнику є кут, не менший за 60°.

2) Якщо б усі кути були більшими від 60°, то їх сума була б більша за 180°, чого не може бути. Отже, в будь-якому трикутнику є кут, не більший за 60°.

406. 1) Нехай α > β + γ, тоді α + α > α + β + γ або 2α > 180°, звідси α > 180° : 2; α > 90°. Отже, якщо один із кутів трикутника більший за суму двох інших, то даний трикутник – тупокутний.

Відповідь: тупокутний.

2) Нехай α – будь-який кут трикутника, тоді α < β + γ, тоді α + α < α + β + γ або 2α < 180°, звідси α < 90°. Отже, якщо будь-який з кутів трикутника менший від суми двох інших, то даний трикутник – гострокутний.

Відповідь: гострокутний.

407. Нехай α, β, γ – кути трикутника. Оскільки α + β > 90°, то γ = 180° – (α + β) < 180° – 90° = 90°. Аналогічно, α < 90°, β < 90°. Отже, трикутник – гострокутний.

Відповідь: гострокутний.

408. ∠DAC = ∠B + ∠ACB > ∠B > 90°. ∠ADC = 180° – (∠DAC + ∠ACD) < 90°, тобто ∠ADC < ∠DAC.

 Сума кутів трикутника. Нерівність трикутника

У? DAC сторона АС лежить напроти ∠ADC, а сторона CD – напроти більшого кута DAC. Тому CD > АС.

409. ∠C > 90°; ∠ADC = 180° – (∠C + ∠CAD) < 90°, отже, ∠C > ∠ADC.

У? ADC сторона АС лежить напроти ∠ADC, а сторона AD – напроти більшого кута С, тому AD > АС.

 Сума кутів трикутника. Нерівність трикутника

410. Нехай ∠CAM = ∠MAB, ∠CBN = ∠NBA, ∠AOB = 90°. Тоді ∠C = 180° – (∠CAB + ∠CBA) = 180° – (2∠OAB + 2∠OBA) = 180° – 2(∠OAB + ∠OBA) = 180° – 2(180° – ∠OAB) = 180° – 2(180° – 90°) = 180° – 2 • 90° = 180° = 180° = 0°, такого бути не може. Отже, не існує трикутника, дві діагоналі якого перпендикулярні.

 Сума кутів трикутника. Нерівність трикутника

Відповідь: не існує.

411. ∠BAL = ∠LAC, ∠ACK = ∠KCB, AO = OL.

Оскільки СО – бісектриса і медіана трикутника ALC, тоді ∠AOC = 90°, що неможливо (див. задачу 410). Отже, не Існує трикутника, у якого одна бісектриса ділить навпіл другу бісектрису.

 Сума кутів трикутника. Нерівність трикутника

Відповідь: не існує.

412. 1-й випадок. Нехай ∠ABL = ∠LBC, AL = BL = CL.

Оскільки BL – бісектриса і медіана трикутника ABC, то BL ⊥ АС. Тоді ∠ALB = ∠BLC = 90°,  Сума кутів трикутника. Нерівність трикутника  Сума кутів трикутника. Нерівність трикутника Отже, кути трикутника дорівнюють 45°, 45°, 90°.

 Сума кутів трикутника. Нерівність трикутника

2-й випадок. ∠ABL = ∠LBC, AL = BL, BL = ВС.

Нехай ∠ABC = 2x°, тоді ∠A = х°,  Сума кутів трикутника. Нерівність трикутника і для? АВС маємо:  Сума кутів трикутника. Нерівність трикутника звідси 4х + 2х + 180 – х = 360; 5х = 180; x = 180 : 5; x = 36, тоді ∠B = 72°,  Сума кутів трикутника. Нерівність трикутника ∠A = 36°. Отже, кути трикутника дорівнюють 36°, 72°, 72°.

 Сума кутів трикутника. Нерівність трикутника

Відповідь: 45°, 48°, 90° або 36°, 72°, 72°.

413. Припустимо, що точка С не є внутрішньою точкою відрізка, тоді точка С лежить на прямій AB поза відрізком AB або точка С не належить прямій AB.

 Сума кутів трикутника. Нерівність трикутника

Розглянемо випадок, коли С лежить на прямій AB, але не належить відрізку AB, тоді не виконується рівність AB = АС + СВ. Отже, точка С не може належати прямій AВ і не належати відрізку AB.

Якщо точка С не належить прямій AB, то виконується нерівність AВ < АС + ВС, що суперечить умові. Отже, точка С не може лежати поза прямою AB.

 Сума кутів трикутника. Нерівність трикутника

Таким чином, точка С – внутрішня точка відрізка AB.

414. Якщо шукана точка X лежить десь на прямій m, тоді згідно з нерівністю трикутника АХ + ХВ > AB. Сума АХ + ХВ буде найменшою, коли точка X буде належати відрізку AB. Отже, С – точка перетину відрізка AB і прямої m.

 Сума кутів трикутника. Нерівність трикутника

415. Якщо одна сторона дорівнює 2,8 см, а друга сторона – 0,6 см, тоді третя сторона – x см, причому 2,8 – 0,6 < х < 2,8 + 0,6, звідси 2,2 < х < 3,4. Отже, х = 3. Отже, третя сторона дорівнює 3 см.

Відповідь: 3 см.

416.

 Сума кутів трикутника. Нерівність трикутника

 Сума кутів трикутника. Нерівність трикутника

Відповідь:  Сума кутів трикутника. Нерівність трикутника

417. CM = MB, ∠CAM > ∠BAM.

На продовженні медіани AM за точку M відкладемо відрізок MD, який дорівнює AM. Тоді? САМ = ?BDM (за двома сторонами і кутом між ними), звідси ∠CAM = ∠BDM, АС = BD.

У? ADB: ∠ADB > ∠BAD, тоді AB > BD = АС. Отже, AB > АС.

 Сума кутів трикутника. Нерівність трикутника

418. Нехай ∠B = β, тоді ∠EFB = β, ∠AEF = ∠EBF + ∠EFB = β + β = 2β i ∠EAF = 2β. Нехай ∠C = γ, тоді ∠FAC = 180° – 2∠C = 180° – 2γ.

Оскільки ∠EAF + ∠FAC = ∠C, то 2β + 180° – 2γ = γ, звідси 2β + 180° = 3γ.

З іншого боку βγ= 180° – 2у, тоді 2(180° – 2γ) + 180° = 3γ; 360° – 4γ + 180° = 3γ; 7γ = 540°; γ = (540/7)°.

 Сума кутів трикутника. Нерівність трикутника

Отже, кути трикутника дорівнюють:  Сума кутів трикутника. Нерівність трикутника

 Сума кутів трикутника. Нерівність трикутника

419. AB = 2 см, ∠A = 60°, ∠B = 70°, AD = 1 CM. Середину M сторони AB з’єднаємо з точкою D. ?AMD – рівносторонній, отже, ∠AMD = ∠MDA = 60°. ?BMD – рівнобедрений, тому  Сума кутів трикутника. Нерівність трикутника

Тоді ∠DBC = 70° – ∠DBA = 70° – 30° = 40°. ∠ADB = ∠ADM + ∠MDB = 60° + 30° = 90°, тоді ∠BDC = 90°. ∠C = 180° – ∠DBC – ∠BDC = 180° – 40° – 90° = 50°. Отже, кути трикутника BDCдорівнюють 40°, 90°, 50°.

 Сума кутів трикутника. Нерівність трикутника

Відповідь: 40°, 90°, 50°.

420. AM = MC. Доведемо, що AB + BC > 2 BM.

На промені ВМ від точки М відкладемо MD = ВМ. ?AMD = ?CMВ (за першою ознакою рівності трикутників, тоді BC = AD).

Оскільки для трикутника ABD справедливо, що AB + AD > BD або AB + AD > 2ВМ. Враховуючи, що AD = ВС, маємо: AB + ВС > 2ВМ.

 Сума кутів трикутника. Нерівність трикутника

Вправи для повторення

421. Нехай BD = 3х, тоді DC = 7х, AB = 5х.

За умовою CD – BD = 16 см, тоді 7х – 3х = 16; 4х = 16; х = 4. Отже, BD = 12 см, DC = 28 см, AB = 20 см. M – середина відрізка AB, N – середина відрізка CD, тоді

 Сума кутів трикутника. Нерівність трикутника

Відповідь: 36 см.

422. ∠OAC = ∠OCA, AM = MC. Оскільки? АОС – рівнобедрений, бо ∠OAC = ∠OCA), то ОМ ⊥ АС. Оскільки ВМ ⊥ AC, ВМ – медіана, то? АВC – рівнобедрений.

 Сума кутів трикутника. Нерівність трикутника

Спостерігайте, рисуйте, конструюйте, фантазуйте

423. Існує шестикутник, жодні дві діагоналі якого не мають спільних точок, відмінних від вершин. Це просторовий шестикутник ABCDKL, який розташований на двох кубах.

 Сума кутів трикутника. Нерівність трикутника


1 Star2 Stars3 Stars4 Stars5 Stars (2 votes, average: 3,50 out of 5)


Сума кутів трикутника. Нерівність трикутника - ГДЗ з математики


Сума кутів трикутника. Нерівність трикутника