СУМА КУТІВ ТРИКУТНИКА 👍, Науковий портал Predmety.in.ua

РОЗДІЛ 3 ТРИКУТНИКИ

& 10. СУМА КУТІВ ТРИКУТНИКА

Теорема 8 Сума кутів трикутника дорівняй: 180°.

Доведення. Нехай ABC – довільний трикутник (мал. 130). Через йот вершину С проведемо пряму КР, паралельну стороні АВ.

Утворені кути АСК і ВСР позначимо цифрами 1 і 2. Тоді ∠A = ∠1, ∠B = ∠2, як внутрішні різносторонні кути при паралельних прямих АВ і КР та січних АС і ВС. Кути 1, 2 і С в сумі дорівнюють розгорнутому куту, тобто 180°. Тому

∠A + ∠B + ∠C = ∠1 + ∠2 + ∠C = 180°.

СУМА КУТІВ ТРИКУТНИКА

Мал. 130

Отже, ∠А + ∠В + ∠С

= 180°.

Зверніть увагу! У доведеній теоремі 8 йдеться про суму мір кутів трикутника. Але для спрощення формулювань замість “міра кута” часто вживають слово “кут”.

Наслідок Трикутник не може мати двох прямих або двох тупих кутів. У кожному трикутнику принаймні два кути – гострі.

Іноді крім кутів трикутника (внутрішніх) розглядають також його зовнішні кути. Зовнішнім кутом трикутника називають кут, утворений стороною трикутника і продовженням його іншої сторони. Наприклад, зовнішнім кутом трикутника ABC при вершині А є кут КАС (мал. 131).

Теорема 9 Зовнішній кут трикутника дорівнює

сумі двох внутрішніх кутів трикутника, не суміжних із ним.

Доведення. Нехай ∠КАС – зовнішній кут трикутника ABC (див. мал. 131). Тоді

∠КАС = 180° – ∠ВАС (згідно з теоремою про суміжні кути),

∠В + ∠C = 180° – ∠ВАС (згідно з теоремою про суму кутів трикутника).

Отже, ∠КАС = ∠B + ∠С.

СУМА КУТІВ ТРИКУТНИКА

Мал. 131

Наслідок Зовнішній кут трикутника більший за кожний внутрішній кут, не суміжний із ним.

Зверніть увагу! При кожній вершині трикутника можна побудувати два зовнішні кути, продовживши одну чи іншу його сторону. Наприклад, кожний із кутів КАС і РАВ – зовнішній кут трикутника ABC при вершині А (мал.132). Такі два зовнішні кути – вертикальні, тому дорівнюють один одному.

ДЛЯ ДОПИТЛИВИХ

Теорему про суму кутів трикутника можна узагальнити і поширити на довільні многокутники.

Кожний чотирикутник можна розрізати на два трикутники, сполучивши його протилежні вершини відрізком. (Якщо один із кутів чотирикутника більший від розгорнутого, то саме його вершину слід сполучити з протилежною, як на малюнку 133.) Сума всіх кутів чотирикутника дорівнює сумі всіх кутів двох утворених трикутників, тобто 180°. 2. Отже, сума кутів будь-якого чотирикутника дорівнює 360°?.

СУМА КУТІВ ТРИКУТНИКА

Мал. 132

СУМА КУТІВ ТРИКУТНИКА

Мал. 133

Довільний п’ятикутник можна розрізати на чотирикутник і трикутник або на 3 трикутники (мал. 134).

Отже, сума кутів п’ятикутника дорівнює 180° ∙ З, тобто 540°.

Спробуйте написати формулу, за якою можна обчислити суму кутів довільного n-кутника.

СУМА КУТІВ ТРИКУТНИКА

Мал. 134

Запитання і завдання для самоконтролю

1. Сформулюйте та доведіть теорему про суму кутів трикутника.

2. Що таке зовнішній кут трикутника?

3. Сформулюйте та доведіть теорему про зовнішній кут трикутника.

4. Чи правильно, що зовнішній кут трикутника більший за кожний внутрішній кут, не суміжний із ним?

5. Чому дорівнює сума кутів чотирикутника?

Виконаємо разом

1. Чому дорівнює сума зовнішніх кутів трикутника, взятих при кожній вершині по одному?

Нехай ABC – довільний трикутник. Позначимо його зовнішні кути цифрами 1, 2 і 3 (мал. 135).

Перший спосіб:

Згідно з теоремою про зовнішній кут трикутника

∠1 = ∠B + ∠C, ∠2 = ∠A + ∠B, ∠2 = ∠А + ∠C.

Додавши окремо ліві й праві частини цих рівностей, матимемо:

∠1 + ∠2 + ∠3 = 2(∠A + ∠B + ∠C) = 2 ∙ 180° = 360°.

Другий спосіб:

∠1 + ∠2 + ∠3 = 180° – ∠A + 180° – ∠B + 180° – ∠C = 540° – (∠A + ∠B + ∠C) = 640° – 180° = 360°.

СУМА КУТІВ ТРИКУТНИКА

Мал. 135

Отже, сума зовнішніх кутів трикутника, взятих по одному при кожній вершині, дорівнює 360°.

2. Доведіть, що в кожному трикутнику є кут не більший за 60° і кут не менший від 60°.

Якби кожний кут трикутника був менший від 60° то сума всіх йот кутів становила б менше 180°, я це неможливо. Якби кожний кут трикутника був більший за 60°, то сума всіх його кутів була б більшою за 180°, що також неможливо.

Отже, у кожному трикутнику є кут, не більший за 60°, і кут, не менший від 60°.

ЗАДАЧІ І ВПРАВИ

Виконайте усно

289.Сума двох кутів трикутника дорівнює 80°. Знайдіть третій кут.

290. Два кути трикутника дорівнюють по 30°. Знайдіть третій кут.

291. Чи існує трикутник з кутами: 60°, 70° і 80°?

292. Два кути трикутника дорівнюють 20° і 80°. Знайдіть третій кут.

293. Знайдіть кути прямокутного трикутника, якщо один із них дорівнює 30°.

294. Знайдіть кути трикутника, якщо вони пропорційні числам:

А)2, 3 і 5; б)1, 5 і 6; в) СУМА КУТІВ ТРИКУТНИКА , , .

295. Доведіть, що сума гострих кутів прямокутного трикутника дорівнює: 90°.

296. Заповніть порожні клітинки таблиці про кути трикутника ABC.

∠A	30°	20°	83°	95°	54°
∠B	70°	45°	35°	47°
∠C	100°	45°	17°	67°	54°

297. Знайдіть кути трикутника, якщо один із них:

А) дорівнює другому і менший від третього на 30°;

Б) більший за другий на 20°, а за третій – на 40°;

В) більший за другий у 2 рази, а за третій – на 10°.

298. У трикутнику ABC кути А і В дорівнюють по 66°. Знайдіть зовнішній кут трикутника при вершині С.

299. Чи може кожний зовнішній кут трикутника дорівнювати 100°?

300. Кути трикутника пропорційні числам 1, 2 і 3. Доведіть, що цей трикутник прямокутний.

301. Знайдіть кути трикутника ABC, якщо ∠A + ∠B = 100° і ∠B + ∠C = 120°.

302. ∠ABC = 30°. Під яким кутом пряма АС перетинає промінь ВС, якщо промінь ВА вона перетинає під кутом 45°?

303. СН і CL – висота і бісектриса трикутника ABC, ∠A = 60°, ∠B = 30°. Знайдіть ∠HCL.

304. CL- бісектриса трикутника ABC, ∠A = 80°, ∠B = 40°. Знайдіть: a) ∠CLA; б) під яким кутом перетинаються бісектриси кутів А і В.

305. СН – висота трикутника ABC. Знайдіть ∠ACH і ∠BCН, якщо:

А) ∠A = 30° і ∠B = 60°;

Б) ∠A = 30° і ∠B = 120°.

306. Знайдіть міри зовнішніх кутів трикутника ABC, якщо:

А) ∠A = 40°, ∠В = 50°;

Б) ∠B = 120°, ∠C = 40°;

В) ∠A + ∠В = 100°, ∠B + ∠C = 130°;

Г) ∠A + ∠C = 95°, ∠В + ∠С = 135°.

307. Кути А і В трикутника ABC – рівні. Доведіть, що бісектриса зовнішнього кута трикутника ABC при вершині С паралельна стороні АВ.

308. Знайдіть суму кутів А, В, С, D, Е п’ятикутної зірки (мал. 136).

309. Трикутник АВС розташований на поверхні куба, як показано на малюнку 137. Знайдіть суму кутів, позначених на малюнку цифрами.

СУМА КУТІВ ТРИКУТНИКА

Мал. 136

СУМА КУТІВ ТРИКУТНИКА

Мал. 137

310. Прямолінійний тунель АВ пробивають із двох боків гори (мал. 138). Чи правильно вибрано напрямки A1A і B1В, якщо вимірювання показали, що ∠A = 50°, 10′, ∠B = 48° 20′ і ∠C = 80° 5′?

СУМА КУТІВ ТРИКУТНИКА

Мал. 138

Практичне завдання

311. Пакресліть довільний трикутник і проведіть усі його бісектриси. Що ви помітили? Чи можна стверджувати, що всі три бісектриси трикутника проходять через одну точку? А всі три медіани трикутника?

ВПРАВИ ДЛЯ ПОВТОРЕННЯ

312. Відрізок, довжина якого дорівнює а, поділенo на два нерівні відрізки. Знайдіть відстань між серединами утворених відрізків.

313. Один із суміжних кутів на 20° більший за інший. У скільки разів перший кут більший за другий?

314. Периметр квадрата дорівнює 4 дм. Чи можна з нього вирізати трикутник” периметр якого дорівнює 3 дм?

315. Чи існує трикутник, периметр якого у 1000 разів більший за одну з його сторін? А за одну з висот?

316. Січна с з паралельними прямими а і b утворює внутрішні односторонні кути, що відносяться як 2 : 3. Як відносяться кути, утворені бісектрисами цих кутів і січною с?

(2 votes, average: 3,50 out of 5)

СУМА КУТІВ ТРИКУТНИКА - Математика

Схожі записи:

Властивості додавання Розділ 4 Раціональні числа і дії мідними §40. Властивості додавання Для додавання раціональних чисел, як і для додавання додатних чисел, справджуються переставна і сполучна властивості....
КУТИ І ЇХ МІРИ РОЗДІЛ 1 НАЙПРОСТІШІ ГЕОМЕТРИЧНІ ФІГУРИ ТА ЇХ ВЛАСТИВОСТІ & 3. КУТИ І ЇХ МІРИ Два промені, що мають спільний початок, розбивають площину на дві частини....
Множення одночленів. Піднесення одночленів до степеня Розділ 1. ЦІЛІ ВИРАЗИ & 6. Множення одночленів. Піднесення одночленів до степеня При множенні одночленів використовують властивості дії множення та правило множення степенів з однаковими...
Усна та письмова нумерація багатоцифрових чисел Розділ III Нумерація багатоцифрових чисел. Усні обчислення на основі нумерації багатоцифрових чисел Усна та письмова нумерація багатоцифрових чисел 350. Склади вирази та знайди їхні значення....
Функція. Область визначення і область значень функції. Способи задання функцій. Функціональна залежність між величинами як математична модель Розділ 2. ФУНКЦІЇ & 19. Функція. Область визначення і область значень функції. Способи задання функцій. Функціональна залежність між величинами як математична модель У житті ми...
ПИСЬМОВЕ МНОЖЕННЯ БАГАТОЦИФРОВОГО ЧИСЛА НА РОЗРЯДНЕ ЧИСЛО ПИСЬМОВЕ МНОЖЕННЯ НА ДВОЦИФРОВЕ ЧИСЛО ПИСЬМОВЕ МНОЖЕННЯ БАГАТОЦИФРОВОГО ЧИСЛА НА РОЗРЯДНЕ ЧИСЛО 801. Розглянь способи множення на розрядне число. Поясни їх. А) 286 ∙ 40...
Одиниці площі Одиниці площі 1 Назви відомі тобі одиниці довжини. Чому є потреба використовувати різні одиниці довжини? 2 Яку одиницю площі ти знаєш? Згадай означення квадратного сантиметра....
ВІДСОТКОВІ РОЗРАХУНКИ Розділ 3 ВІДНОШEННЯ І ПРОПОРЦІЇ § 19. ВІДСОТКОВІ РОЗРАХУНКИ У 5 класі ви дізналися, що таке відсоток і як розв’язувати задачі на знаходження відсотка від...
Письмове множення й ділення двоцифрових і трицифрових чисел на одноцифрове та двоцифрове Письмове множення й ділення двоцифрових і трицифрових чисел на одноцифрове та двоцифрове 83. Порівняйте значення виразів кожної пари. Визначте, на скільки значення другого добутку більше...
МНОЖЕННЯ БЕГЕТОЦИФРОВИХ ЧИСЕЛ НА РОЗРЯДНІ ОДИНИЦІ ЗАСТОСУВАННЯ НУМЕРАЦІЇ ДО ВИКОНАННЯ ДІЙ МНОЖЕННЯ БЕГЕТОЦИФРОВИХ ЧИСЕЛ НА РОЗРЯДНІ ОДИНИЦІ 470. Прочитай числа. Поясни, що означає кожна цифра в записі числа. 6 054 605...
МНОЖЕННЯ КРУГЛИХ БАГАТОЦИФРОВИХ ЧИСЕЛ ПИСЬМОВЕ МНОЖЕННЯ НА ДВОЦИФРОВЕ ЧИСЛО МНОЖЕННЯ КРУГЛИХ БАГАТОЦИФРОВИХ ЧИСЕЛ 838. Поясни обчислення. 120 ∙ 700 = (12 ∙ 10) ∙ (7 ∙ 100) = (12...
Задачі на пропорційне ділення ст.12 Задачі на пропорційне ділення 1 Розв’яжи задачу 1. Зістав задачі 1 і 2; 1 і 3; 3 і 4; 2 і 4. У чому їх...
Порівняння десяткових дробів Розділ 2 ДРОБОВІ ЧИСЛА І Дії З НИМИ § 35. Порівняння десяткових дробів Важливим є питання порівняння десяткових дробів. Почнемо з такого прикладу. Відомо, що...
Strong>Множення на двоцифрове і трицифрове числа 5. Множення і ділення багатоцифрових чисел Множення на двоцифрове і трицифрове числа 876. Усно. Продовж записи та обчисли результат. (200 + 30 + 5) ∙...
Одиниці площі ст. 83 Одиниці площі – Ар (сотка) – 1 а – Гектар – 1 га 1 Назви одиниці довжини і площі в порядку зростання. Визнач площу квадрата...
Прямокутний паралелепіпед. Куб. Піраміда Розділ 1 НАТУРАЛЬНІ ЧИСЛА І ДІЇ З НИМИ. ГЕОМЕТРИЧНІ ФІГУРИ І ВЕЛИЧИНИ § 25. Прямокутний паралелепіпед. Куб. Піраміда Сірникова коробочка, цеглина, дерев’яний брусок, ящик, пенал...
Додатні та від’ємні числа. Число 0 Розділ 4 Раціональні числа і дії мідними У цьому розділі ви: – згадаєте поняття рівняння; – ознайомитеся з поняттями додатного, від’ємного та раціонального чисел; –...
ЗНАХОДЖЕННЯ ДРОБУ ВІД ЧИСЛА ТА ЧИСЛА ЗА ЙОГО ДРОБОМ РОЗДІЛ 5 ЗВИЧАЙНІ ДРОБИ § 25. ЗНАХОДЖЕННЯ ДРОБУ ВІД ЧИСЛА ТА ЧИСЛА ЗА ЙОГО ДРОБОМ У попередніх параграфах ви дізналися, що таке дріб, з’ясували, що...
МНОЖЕННЯ ДРОБІВ. ЗНАХОДЖЕННЯ ДРОБУ ВІД ЧИСЛА Розділ 2 ЗВИЧАЙНІ ДРОБИ ТА ДІЇ З НИМИ § 9. МНОЖЕННЯ ДРОБІВ. ЗНАХОДЖЕННЯ ДРОБУ ВІД ЧИСЛА Дроби, як і натуральні числа, можна множити. Наприклад, щоб...
Розв’язування текстових задач за допомогою рівнянь Розділ 1 НАТУРАЛЬНІ ЧИСЛА І ДІЇ З НИМИ. ГЕОМЕТРИЧНІ ФІГУРИ І ВЕЛИЧИНИ § 13. Розв’язування текстових задач за допомогою рівнянь Розглянемо текстові задачі, одним із...
Задачі на одночасний рух двох тіл у різних напрямках Задачі на одночасний рух двох тіл у різних напрямках 1 Розв’яжи задачу, користуючись підказками. Два вершники виїхали одночасно назустріч один одному з двох селищ і...
ТАБЛИЦА УМНОЖЕНИЯ ЧИСЛА 7 АРИФМЕТИЧЕСКИЕ ДЕЙСТВИЯ УМНОЖЕНИЯ И ДЕЛЕНИЯ ТАБЛИЦА УМНОЖЕНИЯ ЧИСЛА 7 799. Как проверить, что 7 ∙ 8 = 56? 800. Объясни, как составили таблицу. 801. 7...
Рівні фігури Розділ 1 НАТУРАЛЬНІ ЧИСЛА І ДІЇ З НИМИ. ГЕОМЕТРИЧНІ ФІГУРИ І ВЕЛИЧИНИ § 23. Рівні фігури Геометричні фігури можуть бути рівними. Якщо вирізану з картона...
Мішані числа Розділ 2 ДРОБОВІ ЧИСЛА І Дії З НИМИ § 31. Мішані числа На координатному промені (рис.243) зображено неправильний дріб Він містить 1 цілу одиницю та...
КОЛО І КРУГ Круг – перша найпростіша і найдосконаліша фігура. Прокл РОЗДІЛ 4 КОЛО І КРУГ. ГЕОМЕТРИЧНІ ПОБУДОВИ У цьому розділі ви розширите і поглибите свої знання про...
Письмове множення і ділення на кругле число Письмове множення і ділення на кругле число Спосіб добору цифр у значенні частки 1 Знайди значення виразів. 56 ∙ 10 900 : 100 7 ∙...
БУКВЕНІ ВИРАЗИ. ФОРМУЛИ РОЗДІЛ 2 ДІЇ ПЕРШОГО СТУПЕНЯ З НАТУРАЛЬНИМИ ЧИСЛАМИ У розділі дізнаєтесь: Що таке буквений вираз та як його складати; т як користуватися формулами; Про дії...
ТАБЛИЦА УМНОЖЕНИЯ ЧИСЛА 3 АРИФМЕТИЧЕСКИЕ ДЕЙСТВИЯ УМНОЖЕНИЯ И ДЕЛЕНИЯ ТАБЛИЦА УМНОЖЕНИЯ ЧИСЛА 3 516. Прочитай равенство 3 ∙ 5 = 15. Что показывает второй множитель? Как проверить, что 3...
Множення многочлена на многочлен Розділ 1. ЦІЛІ ВИРАЗИ & 11. Множення многочлена на многочлен Помножимо многочлен a + b на многочлен х + у. Позначимо многочлен х + у...
ДОДАТНІ ТА ВІД’ЄМНІ ЧИСЛА. ЧИСЛО НУЛЬ Розділ 4 РАЦІОНАЛЬНІ ЧИСЛА ТА ДІЇ З НИМИ У розділі дізнаєтесь: Ü про додатні та від’ємні числа; Ü що таке координатна пряма; Ü що таке...
УСТНОЕ СЛОЖЕНИЕ И ВЫЧИТАНИЕ ДВУЗНАЧНЫХ ЧИСЕЛ С ПЕРЕХОДОМ ЧЕРЕЗ РАЗРЯД УСТНОЕ СЛОЖЕНИЕ И ВЫЧИТАНИЕ ДВУЗНАЧНЫХ ЧИСЕЛ С ПЕРЕХОДОМ ЧЕРЕЗ РАЗРЯД 265. Запиши числа 12, 36, 55, 71 в виде суммы разрядных слагаемых. 266. 30 +...
Правильні і неправильні дроби Розділ 2 ДРОБОВІ ЧИСЛА І Дії З НИМИ § 30. Правильні і неправильні дроби Чисельник звичайного дробу може бути меншим від знаменника, може дорівнювати йому...
РОЗРЯДНІ ЧИСЛА ШОСТОГО РОЗРЯДУ НУМЕРАЦІЯ БАГАТОЦИФРОВИХ ЧИСЕЛ РОЗРЯДНІ ЧИСЛА ШОСТОГО РОЗРЯДУ 396. Запиши числа цифрами, якщо 1 сот. тис. = 100 тис. = 100 000. 2 сот. тис. 4...
ЗБІЛЬШЕННЯ ТА ЗМЕНШЕННЯ ЧИСЛА В КІЛЬКА РАЗІВ АРИФМЕТИЧНІ ДІЇ МНОЖЕННЯ ТА ДІЛЕННЯ ЗБІЛЬШЕННЯ ТА ЗМЕНШЕННЯ ЧИСЛА В КІЛЬКА РАЗІВ 658. Розглянь малюнок і прочитай записи. Відрізок КМ у 4 рази довший за...
ДІЛЕННЯ НА РОЗРЯДНІ ОДИНИЦІ ЗАСТОСУВАННЯ НУМЕРАЦІЇ ДО ВИКОНАННЯ ДІЙ ДІЛЕННЯ НА РОЗРЯДНІ ОДИНИЦІ 478. Поясни спосіб ділення круглих чисел на розрядні одиниці. 840 = 84 дес., 84 дес. :...