Тотожність

Розв’яжіть задачі

132. 1) Ні; 2) ні; 3) так.

133. 1) Ні; 2) ні; 3) так.

134. 1) Ні; 2) так.

135. Так. Наприклад: 12 = 12.

136. 1) Ні; 2) ні; 3) так; 4) ні; 5) так; 6) так, при а, с ≠ 0.

137. 1) Ні; 2) ні; 3) так; 4) так,

138. Спростивши ліву частину, ми матимемо: 12 – 5 + 9 = 16; 16 = 16 є тотожністю.

 Тотожність

141. 1) ОДЗ-1: а і b – будь-які числа; ОДЗ-2: а і b – будь-які числа.

10а – (6а – 9b) = 10а – 6а + 9b = 4а + 9b. Тобто, 4а + 9b = 4а + 9b, що й треба було довести.

2) ОДЗ-1: n і m – будь-які числа; ОДЗ-2: n – будь-яке число.

(0,7n –

0,6m) – 2(0,4n – 0,3m) = 0,7n – 0,6m – 0,8n + 0,6m = -0,1n.

Тобто, -0,1n = -0,1n, що й треба було довести.

142. ОДЗ-1: а і b – будь-які числа; ОДЗ-2: а і b – будь-які числа.

(17а – 6b) + 4(-5а + 4b) = -3а + 10b;

(17а – 6b) + 4(-5а + 4b) = 17а – 6b – 20а + 16b = -3а + 10b;

Тобто, -3а + 10b = -3а + 10b, що й треба було довести.

143. 1)ОДЗ-1: а – будь-яке число; ОДЗ-2: а і b – будь-які числа.

 Тотожність

Тобто а = а, що й треба було довести.

2) ОДЗ-1: с i d – будь-які числа; ОДЗ-2: с i d – будь-які числа.

4(d – с) – 5(d –

с) = 4d – 4с – 5d + 5с = с – d.

Тобто с – d = с – d, що й треба було довести.

144. ОДЗ-1: с – будь-яке число; ОДЗ-2: с і d – будь-які числа.

0,8(5с – 3d) – 4(2,5с – 0,6d) = 4с – 2,4d – 10с + 2,4d = -6с.

Тобто -6с = -6с, що й треба було довести.

145. 1) ОДЗ-1: а і b – будь-які числа; ОДЗ-2: а і b – будь-які числа.

12а – 4(3а – 7b) = (4а + b) – (4а – 27b);

12а – 12а + 28b = 4а + b – 4а + 27b;

28b = 28b, що й треба було довести.

2) ОДЗ-1: m і n – будь-які числа; ОДЗ-2: m і n – будь-які числа.

 Тотожність

Звідси:

 Тотожність

 Тотожність що й треба було довести.

146. ОДЗ-1: m і n – будь-які числа; ОДЗ 2: m і n – будь-які числа.

 Тотожність

Звідси:

 Тотожність

 Тотожність що й треба було довести.

147. 1) ОДЗ-1: а і b – будь-які числа; ОДЗ-2: а і b – будь-які числа.

4,9а – 4(а – 0,6b) – 0,3(3а + 8b) = 4,9а – 4а + 2,4b – 0,9а – 2,4b = 0,9а – 0,9а + 2,4b – 2,4b = 0.

Тобто 4,9а – 4(а – 0,6b) = 0,3(3а + 8b), що й треба було довести.

2) ОДЗ-1: р і k – будь-які числа; ОДЗ-2; р і k – будь-які числа.

 Тотожність

 Тотожність

Тобто  Тотожність що й треба було довести.

148. ОДЗ-1: р і k – будь-які числа; ОДЗ-2; k i p – будь-які числа.

 Тотожність

Звідси:  Тотожність що й треба було довести.

149. 1) 5а – 2 = а + 4а – 2; 5а – 2 = 5а – 2, рівність є тотожністю.

2) 14b – 14b = 14; 0 ≠ 14, рівність не є тотожністю.

3) х – 2у = х – 2у, рівність є тотожністю.

4)  Тотожність рівність є тотожністю.

ОДЗ-1: n ≠ 0, m ≠ 0; ОДЗ-2: n ≠ 0.

150. 1) – c + d – 2c + 2 = -3c + 3d; -3с + d + 2 = -3с + 3d.

При с = 1, d = 2: -3 • 1 + 2 + 2 = -3 • 1 + 3 • 2; 1 ≠ 3. Не виконується тотожність, тобто рівність не є тотожністю.

2) ОДЗ-1: k ≠ 0; ОДЗ-2: k – будь-яке число. 3 – 2 = 3k; 1 ≠ 3k. Рівність не є тотожністю.

151. 1) ab – ac – ab + bc + ac – cb = 0; 0 = 0, що й треба було довести;

2) сn + cm – cm + сn = 2nс + 2mn – 2mn; 2сn = 2nс; 2сn = 2сn, що й треба було довести;

3) 4р + 8k – 8k + 4рk = 4k – 8р; 4р + 4pk = 4k – 8р, не виконується тотожність рівностей;

4) 7,2с – 2,4ср = 7,2с + 4,8р – 2,4ср + 4,8р; 7,2с – 2,4ср ≠ 7,2с – 2,4ср + 9,6р, рівність не є тотожністю.

152. 1) аb – ас – ad + ab + ас + ad = 2ab; 2аb = 2ab, що й треба було довести;

2) – mn – 4m + mn + 4n = 4m – 4n; -4m + 4n ≠ 4n – 4n. Рівність не є ТОТОЖНІСТЮ.

153. 1-й спосіб (перетворення лівої частини рівності):

ОДЗ-1: а, b і с – будь-які числа;

ОДЗ-2: а, b і с – будь-які числа.

8а – 8b + 6b – 6с – 4а + 4с = 4а – 2b – 2с = 4а – 2(b + с).

Тобто, 8(а – b) + 6(b – с) – 4(а – с) = 4а – 2(b + с), що й треба було довести.

2-й спосіб (перетворення обох частин рівності):

8а – 8b + 6b – 6с – 4а + 4с = 4а – 2b – 2с; 4а – 2b – 2с = 4а – 2b – 2с, що й треба було довести.

3-й спосіб (різницеве порівняння):

8(а – b) + 6(b – с) – 4(а – с) – 4а + 2(b + с) = 8а – 8b + 6b – 6с – 4а + 4с – 4а + 2b + 2с = 0, що й треба було довести.

154. ОДЗ-1: m, n і р – будь-які числа; ОДЗ-2: m, n і р – будь-які числа.

1-й спосіб (перетворення правої частини рівності):

2(-n + m) – 6(m – р) + 4(n – р) = -2n + 2m – 6m + 6р + 4n – 4р = 2n – 4m + 2р = 2(n + р) – 4m.

Тобто 2(n + р) – 4m = 2(-n + m) – 6(m – р) + 4(n – р), що й треба було довести.

2-й спосіб (різницеве порівняння):

2(n +р) – 4m – 2(-n + m) + 6(m – р) – 4(n – р) = 2n + 2р – 4m + 2n – 2m + 6m – 6р – 4n + 4р = 0, що й треба було довести.

155. 1) 12x – 5(5 + 3х) + 3(х + 4) = 12х – 25 – 15x + 3х + 12 = -13; вираз не залежить від х;

2) 8,5(y + 2) – 1,7(10 + 5у) – 15,5 = 8,5y + 17 – 17 – 8,5р = 0, що й треба було довести.

3) а(b – 4) + b(6 – а) – 2(3b – 2а) = аb – 4а + 6b – аb – 6b + 4а = 0, вираз не залежить від значення змінних а і b.

 Тотожність

Що й треба було довести.

156. 1) 9(5 – y) + 6(y – 3) – 3(4 – y)= 45 – 9у + 6у – 18 – 12 + 3у =15, що й треба було довести;

2) m(n – 2,8) + n(4,2 – m) – 1,4(3n – 2m) – 6 = mn – 2,8m + 4,2n – mn – 4,2n + 2,8m – 6 = -6, що й треба було довести.

 Тотожність

Що й треба було довести.

 Тотожність

 Тотожність

160. n, n + 1, n + 2 – три послідовних натуральних числа, тоді середнє арифметичне:

 Тотожність що є середнім числом.

 Тотожність

 Тотожність середнє арифметичне для десяти натуральних числа.

При n = 1: 1 + 4,5 = 5,5; при n = 2: 2 + 4,5 = 6,5; 5,5 ≠ 5,8; 6,5 ≠ 5,8. Що й треба було довести.

Застосуйте на практиці

162. Нехай v – швидкість, з якою повинен їхати автобус, щоб хлопці вчасно потрапили на базу, тоді 2 • 4 + v • 4 = 250. Звідси v = 60,5 (км/год).

163. S1 = а2 – площа квадрата; S2 – площа прямокутника. S1 = S2 за умовою.

S2 = b • 2а, де b – ширина, а2 = b • 2а; b = a/2 – ширина прямокутника.

2а – а = а – різниця довжин огорожею.

Довжина ділянки з прямокутною формою на 80 м довша. А ширина ділянки з прямокутною формою на а – a/2 = 80 – 40 = 40 (м) коротша.

164. 15% від n – це 0,15n.

N + 0,15n – грошей у клієнта через 1 рік.

15 % від (n + 0,15n) = 0,15(n + 0,15n) = 0,15n + 0,0225n.

N + 0,15n + 0,15n + 0,0225n = 1,3225n – грошей буде у клієнта через 2 роки.

165. 3 % від m – 0,03m.

1,03m тис. жителів через рік.

3 % від 1,03m – 0,0309m.

1,0609m тис. жителів через 2 роки,

3 % від 1,0609m – 0,031827m.

1,092727m тис. жителів через 3 роки.

3 % від 1,092727m – 0,03278181m.

1,12550881m тис. жителів через 4 роки.

3 % від 1,12550881m – 0,0337652643m.

1,1592740743m тис. жителів буде через 5 років.

Задачі на повторення

 Тотожність

167. 42 + (-5)2 = 16 + 25 = 41; (4 – 5)2 = (-1)2 = 1; 41 > 1, тобто а2 + b2 > (а + b)2, при а = 4, b = -5.

168. Нехай в 7-А класі навчається x учнів, тоді відсутніх 1/16x.

1/16х + 30 = х; х + 480 = 16х; 15х = 480; х = 32. В 7-А класі навчається 32 учня.

169.  Тотожність становлять діти від усіх глядачів.




Тотожність