Тотожності

УРОК № 2

Тема. Тотожності sin 2 ? + cos 2 ? = 1; sin (180°- ?) = sin?; cos (180°- ?) = – cos?; sin (90°- ?) = cos?; cos (90°- ?) = sin?

Мета уроку: виведення формул sin2? + cos2? = 1; sin(180°- ?) = sin?; cos(180°- ?) = – cos?; sin(90°- ?) = cos?; cos(90°- ?) = sin?. Формування вмінь учнів знаходити тригонометричні функції тупих кутів.

Тип уроку: комбінований.

Наочність і обладнання: таблиця “Співвідношення між сторонами і кутами трикутника” [13], табл. 1. Вимоги до рівня підготовки учнів: застосовують формули sin2? + cos2? = 1; sin(180°- ?) = sin?; cos(180°- ?) = – cos?; sin(90°- ?) = cos?; cos(90°- ?) = sin? до розв’язування вправ.

Хід

уроку

I. Перевірка домашнього завдання

Перевірити наявність виконаних домашніх завдань та відповісти на запитання, які виникли в учнів у ході виконання домашніх завдань.

Фронтальне опитування

1) Сформулюйте означення синуса, косинуса, тангенса кутів від 0° до 180°.

2) Користуючись таблицею (або калькулятором), знайдіть:

A) sin 112°, cos 112°, tg 112°;

Б) sin 149°, cos 149°, tg 149°;

В) sin 167°, cos 167°, tg 167°.

II. Поетапне сприймання й усвідомлення нового матеріалу

Основна тригонометрична тотожність

Слід

зазначити, що основну тригонометричну тотожність sin2? + cos2? = 1 у восьмому класі доведено для гострого кута?. Покажемо, що ця тотожність справедлива для будь-якого кута sin 0° до 180°.

Якщо кут? – тупий (рис. 6), тоді із прямокутного трикутника ОАВ ( ТотожностіВ = 90°, АВ = у, ВО = – х, ОА = 1) за теоремою Піфагора маємо: ОВ2 + АВ2 = ОА2, (-x)2 + у2 = 1, х2 + у2 = 1. Ураховуючи, що x = cos?, у = sin?, маємо sin2? + cos2? = 1.

Якщо? = 0°, тоді cos2 0° + sin2 0° = 12 + 02 = 1.

Якщо? = 90°, тоді cos2 90° + sin2 90° = 02 + 12 = 1.

Якщо? = 180°, тоді cos2 180° + sin2 180° = (-1)2 + 02 = 1.

Отже, для будь-якого кута? (0° < ? < 180°) виконується тотожність sin2 ? + cos2 ? = 1.

 Тотожності

Формули доповнення

У 8-му класі для гострого кута а було доведено формули доповнення, які виражають функції кута 90°- ? через функції кута?. Нагадаємо їх:

Sin(90° – ?) = cos?, cos(90° – ?) = sin?, tg(90°- ?) =  Тотожності або tg(90°- ?) = ctg?.

Наприклад, sin 30° = cos 60° =  Тотожності, cos 45° = sin 45° =  Тотожності, cos 30° = sin 60° =  Тотожності.

Слід зазначити, що ці формули справедливі і для тупого кута a, проте це спричинює необхідність вводити тригонометричні функції від’ємних кутів. Із цим матеріалом учні ознайомляться в 10-му класі.

Формули sin(180°- ?) = sin?, cos(180°- ?) = – cos?

Розглянемо коло з центром О у початку координат і радіусом 1. Відкладемо кут? – гострий кут, який утворює радіус кола з додатною віссю Ох. Побудуємо кут 180°- ?. Для цього відкладемо кут В1ОА1 від від’ємної півосі Ох, тоді  ТотожностіA1OB = 180° – ? (рис. 7).

 Тотожності

Нехай координати точок А і А1 відповідно (х; у) і (х1; у1), ?ОВА = ?ОВ1А1 (за гіпотенузою і гострим кутом). Тоді sin (180°- ?) = y1 = y = sin?, cos (180°-?) = = х1 = – x = – cos?, tg (180°- ?) =  Тотожності =  Тотожності =  Тотожності = – tg?. Ці формули дають можливість, знаючи значення тригонометричних функцій гострих кутів, знаходити значення тригонометричних функцій тупих кутів.

Наприклад,

Sin 120° = sin (180° – 60°) = sin60° =  Тотожності,

Cos 120° = cos (180° – 60°) = – cos 60° =  Тотожності,

Tg 120° = tg (180° – 60°) = – tg 60° =  Тотожності.

Далі слід запропонувати учням знайти: sin 135°, cos 135°, tg 135°, sin 150°, cos 150°, tg 150°. Після цього результати треба занести до табл. 1, якою учні будуть користуватися протягом наступних уроків.

Таблиця 1

Функція

Кут

30°

45°

60°

90°

120°

135°

150°

Sin?

 Тотожності

 Тотожності

 Тотожності

1

 Тотожності

 Тотожності

 Тотожності

Cos?

 Тотожності

 Тотожності

 Тотожності

0

 Тотожності

 Тотожності

 Тотожності

Tg?

 Тотожності

1

 Тотожності

 Тотожності

– 1

 Тотожності

III. Закріплення й осмислення нового матеріалу

Виконання вправ

1. Спростіть вираз:

A) 1 – cos2?;

Б) (1 – cos?)(1 + cos?);

В) sin4? + sin2?cos2? + cos2?;

Г) 1 + 2sin2?cos2?.

2. Знайдіть:

А) cos? і tg?, якщо sin? = 0,8 і 90° < ? < 180°;

Б) sin? і tg?, якщо cos? =  Тотожності і 90° < ? < 180°.

IV. Домашнє завдання

1. Вивчити формули та значення тригонометричних функцій деяких кутів (табл. 1).

2. Знайти cos? і tg?, якщо sin? =  Тотожності і 90° < ? < 180°.

3. Спростити sin4? + sin2?cos2? – sin2? + 1.

V. Підбиття підсумків уроку

Завдання класу

1. Чи можуть одночасно виконуватися рівності:

А) sin? =  Тотожності, cos? =  Тотожності;

Б) sin? =  Тотожності, cos? =  Тотожності?

2. Визначте знак виразу:
а) sin 171°; б) cos 139°; в) tg 173°.




Тотожності