ТРЕТЯ ОЗНАКА РІВНОСТІ ТРИКУТНИКІВ

РОЗДІЛ 3 ТРИКУТНИКИ

& 14. ТРЕТЯ ОЗНАКА РІВНОСТІ ТРИКУТНИКІВ

Вам уже відомі дві ознаки рівності трикутників. Знаючи властивості рівнобедреного трикутника, можна довести ще одну ознаку.

Теорема 18 (третя ознака рівності трикутників).

Якщо три сторони одного трикутника дорівнюють відповідно трьом сторонам іншого трикутника, то такі трикутники – рівні.

Доведення. Нехай у трикутниках ABC і А1В1С1 АВ = А1В1, АС = А1С1 і ВС = В1С1 (мал. 175, а). Доведемо, що ∆АВС = ∆А1В1С1.

Прикладемо трикутник А1В1С1 до трикутника ABC так, щоб вершина А1

сумістилася з вершиною A, B1 – з В, а С1 і С виявилися но різні боки від прямої АВ. Тоді ∆A1B1C1 займе положення трикутника АВС2 (мал. 175, б). Провівши відрізок СС2, одержимо рівнобедрені трикутники САС2 і СВС2, бо АС = АС2 і ВС = = ВС2. У цих трикутниках кути при основах рівні: ∠АСС2 = ∠АС2С, ∠BCC2 = ∠BC2С. Отже, рівні також кути АСВ і АС2В. Тому за двома сторонами і кутом між ними ∆АВС = ∆АВС2. За побудовою ∆АВС2 = ∆A1B1C1. Таким чином, ∆АВС = ∆A1B1C1, що й треба було довести.

Зверніть увагу! Ми розглянули випадок, коли відрізки АВ і СС2 перетинаються. Для випадків, коли ці відрізки не перетинаються, доведення теореми треба дещо

змінити. Пропонуємо розглянути ці випадки самостійно, використовуючи малюнки 176 і 177.

Мат. 175

Мал. 176

Мал. 177

Мал. 178

Третя ознака рівності трикутників стверджує, що трьома сторонами трикутник визначається однозначно. Уявімо, що кожний семикласник побудував у зошиті трикутник, сторони якого дорівнюють, наприклад, 3 см, 4 см і 5 см. Один спочатку відклав найбільший відрізок, а з його кінців проводив дуги радіусами 3 см і 4 см (мал. 178). Другий спочатку відклав найменший з даних відрізків і т. д. Хоч будували вони різними способами, в результаті всі одержали рівні трикутники.

Пригадавши й дві інші ознаки рівності трикутників, можна зробити такий висновок.

Трикутник визначається (задається) однозначно:

1) двома сторонами і кутом між ними;

2) стороною і двома прилеглими кутами;

3) трьома сторонами.

Зверніть увагу! У пункті 2) йдеться про кути, сума яких менша від 180°, а в пункті 3) – про три відрізки, кожний із яких менший від суми двох інших.

Для допитливих

Третя ознака рівності трикутників засвідчує, що трикутник – фігура жорстка. Щоб краще зрозуміти, про що йдеться, уявіть збиті цвяхами з окремих планок трикутник і чотирикутник (мал. 179). Такий чотирикутник неважко деформувати: змінити кути, не змінюючи довжин сторін. Трикутник так деформувати не можна. Три сторони трикутника однозначно визначають його кути! Так само, знаючи дві сторони трикутника і кут між ними, можна однозначно визначити третю сторону і два інші кути; знаючи сторону і два прилеглі кути, можна визначити дві інші його сторони і т. д. Як це робити, дізнаєтеся в старших класах.

Мал. 179

Мал. 180

Знаючи, що з усіх многокутників тільки трикутник фігура жорстка, ажурні конструкції виготовляють так, щоб вони мали якомога більше трикутників (мал. 180).

Запитання і завдання для самоконтролю

1. Сформулюйте та доведіть третю ознаку рівності трикутників.

2. Сформулюйте першу і другу ознака рівності трикутників.

3. Як ви розумієте вислів “трикутник визначається трьома його сторонами”?

4. Якими елементами визначається трикутник?

5. Як слід розуміти, що трикутник – фігура жорстка?

Виконаємо разом

1. Доведіть, що якщо в чотирикутнику протилежні сторони рівні, то і протилежні кути – рівні.

– Нехай в чотирикутнику ABCD АВ = CD і BC = AD(мал. 181). Проведемо відрізок АС. У результаті утворяться два трикутники: ABC і CDA.

Вони рівні за трьома сторонами, бо АВ = CD і ВС =AD, а сторона АС у них спільна. Отже, ∆АВС = ∆СВА. А в рівних трикутниках проти рівних сторін лежать рівні кути. Тому ∠B = ∠B.

Рівність кутів BAD і BCD можна довести двома способами: або показати, що кожний із них складається з двох рівних кутів: ∠1 = ∠3 і ∠2 = ∠4 (мал. 182), або – провівши відрізок ВD.

2. Hа колі з центром О позначено точки А, В, К і Р такі, що АВ = КР (мал. 183). Доведіть, що ∆АОВ = ∆КОР.

Провівши в дані точки радіуси, отримаємо трикутники АОВ і КОР. Вони рівні за трьома сторонами, бо АВ = КР за умовою і ОА = ОВ = ОК = ОР – як радіуси. Отже, ∆АОВ = ∆КOP.

Мая. 181

Мал. 182

Мал. 183

ЗАДАЧІ І ВПРАВИ

Виконайте усно

419. ∆АВС = ∆КРТ. Знайдіть периметр трикутника КРТ, якщо: а) кожна сторона трикутника ABC дорівнює 5 см;

Б) АС = ВС = 3 дм, АС = 4 дм;

420. На малюнку 184 АВ = DC і АС = DB. Доведіть, що:

А) ∠A = ∠D;

Б) ВК = СК;

В) ∠ACK = ∠DBK.

Мал. 184

421. Точка О рівновіддалена від вершин А, В і С рівностороннього трикутника. Доведіть, що:

∠AOB = ∠BOC = ∠AOC;

∠OAB = ∠OBC = ∠OCA.

422. Два рівні різносторонні трикутники ABC і КРТ можна сумістити тільки одним способом. Два рівні рівнобедрені трикутники – двома способами, суміщаючи сторону АВ із КР або із ТР. Скількома способами можна сумістити два рівні рівносторонні трикутники?

423. Якщо відрізки АО і О В рівні, а точка X рівновіддалена від точок А і С, то точка X лежить на прямій, яка ділить ∠AOB навпіл. Доведіть.

424. Якщо М – довільна точка висоти ВН трикутника ABC, у якому, АВ = ВС, то : а) МА = МС; б) ∆АВМ = ∆СВМ; в) ∆АМН = ∆СМН. Доведіть.

425. Прикладаючи два рівні трикутники я кутами 30° і 70° рівними сторонами, можна утворити кілька різних чотирикутників. Зобразіть їх на малюнку. Визначте кути утворених чотирикутників.

426. Доведіть, що якщо основа і бічна сторона одного рівнобедреного трикутника дорівнюють відповідно основі і бічній стороні іншого рівнобедреного трикутника, то такі трикутники рівні.

427. Доведіть, що якщо сторона одного рівностороннього трикутника дорівнює стороні іншого рівностороннього трикутника, то такі трикутники рівні.

428. На колі з центром О позначено точки А, В і С так, що АВ = ВС = СА. Доведіть, що:

А) ∆ОАВ = ∆ОВС = ∆ОСА;

Б) ∠AOB = ∠BOC = ∠COA = 120°;

В) ∠OAB = ∠OBC = ∠OCA = 30°.

Б

429. На колі з центром О позначено точки А, В і С так, що АВ = ВС = СА, а AМ – діаметр. Доведіть, що:

А) ВМ = CM;

Б) ∠ОВМ = ∠OСM.

430. Доведіть рівність двох трикутників за двома даними сторонами і медіаною, проведеною до однієї з них.

431. Замкнена ламана ABCDA така, що АВ = CD і AD = ВС. Доведіть, що ∠А = ∠С і ∠В = ∠D. Розгляньте два випадки (мал. 185,186).

Мал. 185

Мал. 186

432. Спробуйте узагальнити задачу 431 на випадок, коли дана ламана не лежить в одній площині (мал. 187).

Мал. 187

433. Рівнобедрені трикутники АРС і ABC мають спільну основу АС. Пряма РВ перетинає її в точці О. Доведіть, що:

А) ∠РАВ = ∠РСВ;

Б) АО = ОС;

В) АС ⏊ ВР.

Розгляньте випадки, коли точки Р і В лежать по одну і по різні сторони від АС.

434. Чи з будь-яких чотирьох рівних трикутників можна скласти один трикутник? Покажіть на малюнку.

435. Рівносторонніми трикутниками, мов паркетинами, можна замостити всю площину (мал. 188). Чи можна замостити площину рівними нерівносторонніми трикутниками? Якщо можна – покажіть на малюнку.

Мал. 188

Практичне завдання

436. Спробуйте скласти 4 рівні трикутники за допомогою восьми цілих сірників. А чи можна скласти 4 рівні трикутники за допомогою шести цілих сірників?

ВПРАВИ ДЛЯ ПОВТОРЕННЯ

437. Знайдіть кути трикутника, якщо вони пропорційні числам 2, 3 і 4.

438. Знайдіть середнє арифметичне кутів трикутника.

439. Середнє aрифметичне сторін трикутника дорівнює: 20 см. Знайдіть його периметр.

440. Півпериметр трикутника дорівнює р. Знайдіть середнє арифметичне його сторін.

441. Доведіть, що сума кутів чотирикутника дорівнює 360°. Знайдіть середнє арифметичне його кутів.