Узагальнення поняття степеня

Математика – Алгебра

Степенева функція

Узагальнення поняття степеня

Основнi означення

1. Якщо n Є N,  Узагальнення поняття степеня, то  Узагальнення поняття степеня, де a – довільне число.
2.  Узагальнення поняття степеня, де а – довільне число.
3.  Узагальнення поняття степеня для  Узагальнення поняття степеня.  Узагальнення поняття степеня не має змісту.
4.  Узагальнення поняття степеня, n Є N,  Узагальнення поняття степеня.
5.  Узагальнення поняття степеня, n Є N, m Є Z,  Узагальнення поняття степеня.

Властивості степеня з

раціональним показником

Для будь-яких раціональних чисел r і s і будь-яких додатних a і b виконуються такі рівності.
1.  Узагальнення поняття степеня.
2.  Узагальнення поняття степеня.
3.  Узагальнення поняття степеня.
4.  Узагальнення поняття степеня.
5.  Узагальнення поняття степеня.
6. Якщо  Узагальнення поняття степеня, то  Узагальнення поняття степеня для  Узагальнення поняття степеня;  Узагальнення поняття степеня для  Узагальнення поняття степеня.
7. Якщо  Узагальнення поняття степеня, то

src="/image/2/sprav-ukr2822_fmt.jpeg" class=""/> для  Узагальнення поняття степеня;  Узагальнення поняття степеня для  Узагальнення поняття степеня.

Поняття степеня з ірраціональним показником

Нехай a – будь-яке додатне число, яке не дорівнює 1,  Узагальнення поняття степеня – будь-яке ірраціональне число.
Розглянемо три випадки.
1.  Узагальнення поняття степеня,  Узагальнення поняття степеня.
Наприклад,  Узагальнення поняття степеня;  Узагальнення поняття степеня. Степінь  Узагальнення поняття степеня означає таке число, яке більше від усякого степеня  Узагальнення поняття степеня, але менше від усякого степеня  Узагальнення поняття степеня, де  Узагальнення поняття степеня – будь-яке раціональне наближення числа  Узагальнення поняття степеня, взяте з недостачею, а  Узагальнення поняття степеня – будь-яке наближення числа a, взяте з надлишком. Зверніть увагу: таке дійсне число існує, і до того ж єдине.
2.  Узагальнення поняття степеня,  Узагальнення поняття степеня.
Наприклад,  Узагальнення поняття степеня. Тоді під степенем  Узагальнення поняття степеня розуміють число, яке менше від будь-якого степеня  Узагальнення поняття степеня, але більше від будь-якого степеня  Узагальнення поняття степеня.
3. a – довільне число, крім 1,  Узагальнення поняття степеня.
Наприклад,  Узагальнення поняття степеня,  Узагальнення поняття степеня. Тоді вважають  Узагальнення поняття степеня.
Дії над степенями з ірраціональними показниками виконуються за тими самими правилами, які встановлені для степенів із раціональними показниками.

Степенева функція

Функцію  Узагальнення поняття степеня, де x – змінна, а p – стале дійсне число, називають Степеневою функцією.
Властивості степеневої функції залежать від значення p.
1. p Є N. Тоді  Узагальнення поняття степеня;  Узагальнення поняття степеня;  Узагальнення поняття степеня
Якщо p – непарне, знак y збігається зі знаком x; функція непарна й зростає на всій області визначення. Якщо p – парне,  Узагальнення поняття степеня для всіх значень x; функція парна. Якщо  Узагальнення поняття степеня, функція спадає, якщо Узагальнення поняття степеня, функція зростає.
2. p Є Z;  Узагальнення поняття степеня. Тоді  Узагальнення поняття степеня.
Графік складається з двох віток;  Узагальнення поняття степеня.
Якщо p – непарне, то для всіх значень  Узагальнення поняття степеня знак функції збігається зі знаком аргументу.
Функція непарна, спадна на кожному з проміжків  Узагальнення поняття степеня і  Узагальнення поняття степеня.
Якщо p – парне,  Узагальнення поняття степеня для всіх x; функція парна. Якщо  Узагальнення поняття степеня, функція спадає, якщо  Узагальнення поняття степеня, функція зростає. На рисунках, поданих нижче, наведені графіки степеневої функції для різних значень p:
 Узагальнення поняття степеня
 Узагальнення поняття степеня
 Узагальнення поняття степеня

Показникова функція

Функція  Узагальнення поняття степеня, де  Узагальнення поняття степеня і  Узагальнення поняття степеня, називається Показниковою (з основою а).
Властивості показникової функції
 Узагальнення поняття степеня Узагальнення поняття степеня:
 Узагальнення поняття степеня Узагальнення поняття степеня
1.  Узагальнення поняття степеня. 1.  Узагальнення поняття степеня.
2.  Узагальнення поняття степеня. 2.  Узагальнення поняття степеня.
3. Функція не є ні парною, ні непарною.
4. Графік функції розміщений у верхній півплощині, перетинає вісь Oу у точці (0; 1), вісь Oх є для нього асимптотою.
5. Функція зростає 5. Функція спа на R. дає на R.
6. Якщо  Узагальнення поняття степеня, то  Узагальнення поняття степеня.
7. Якщо  Узагальнення поняття степеня, то існує, і до того ж єдине, значення x, при якому  Узагальнення поняття степеня(Тобто рівняння  Узагальнення поняття степеня завжди має розв’язок, і до того ж єдиний, якщо  Узагальнення поняття степеня,  Узагальнення поняття степеня,  Узагальнення поняття степеня.)
На рисунку внизу зліва зображений графік показникової функції  Узагальнення поняття степеня при  Узагальнення поняття степеня; на рисунку 1 – при  Узагальнення поняття степеня.
 Узагальнення поняття степеня
Рис. 1
 Узагальнення поняття степеня
Рис. 2