Вектори у просторі – ВЕКТОРИ

Формули й таблиці

МАТЕМАТИКА

ВЕКТОРИ

Вектори у просторі

Вектор – спрямований відрізок  Вектори у просторі   ВЕКТОРИ

А – початок вектора

В – кінець вектора

 Вектори у просторі   ВЕКТОРИ

Модуль вектора – довжина відрізка, який зображує вектор: | Вектори у просторі   ВЕКТОРИ|.

Два вектори рівні, якщо вони однаково спрямовані і мають рівні модулі.

Координати вектора з початком у точці А(x1,y1,z1) і кінцем у точці В(х2,у2,z2).

 Вектори у просторі   ВЕКТОРИ

Рівні вектори мають рівні відповідні координати.

Колінеарні

вектори – ненульові вектори, що лежать на одній прямій або на паралельних прямих  Вектори у просторі   ВЕКТОРИ

 Вектори у просторі   ВЕКТОРИ – однаково спрямовані вектори  Вектори у просторі   ВЕКТОРИ і  Вектори у просторі   ВЕКТОРИ;

 Вектори у просторі   ВЕКТОРИ – протилежно спрямовані вектори  Вектори у просторі   ВЕКТОРИ і  Вектори у просторі   ВЕКТОРИ.

Теорема: Якщо  Вектори у просторі   ВЕКТОРИ, то існує число λ, таке, що  Вектори у просторі   ВЕКТОРИ = λ Вектори у просторі   ВЕКТОРИ. Якщо λ > 0, тоді  Вектори у просторі   ВЕКТОРИ

class=""/>. Якщо λ < 0, тоді  Вектори у просторі   ВЕКТОРИ.

Дії з векторами

 Вектори у просторі   ВЕКТОРИ – правило трикутника

 Вектори у просторі   ВЕКТОРИ

 Вектори у просторі   ВЕКТОРИ – правило паралелограма

 Вектори у просторі   ВЕКТОРИ

 Вектори у просторі   ВЕКТОРИ

 Вектори у просторі   ВЕКТОРИ

 Вектори у просторі   ВЕКТОРИ

 Вектори у просторі   ВЕКТОРИ

Сумою векторів  Вектори у просторі   ВЕКТОРИ є вектор  Вектори у просторі   ВЕКТОРИ

Добутком вектора  Вектори у просторі   ВЕКТОРИ(х, у, z) на число λ є вектор  Вектори у просторі   ВЕКТОРИ

Властивості:  Вектори у просторі   ВЕКТОРИ

 Вектори у просторі   ВЕКТОРИ

Скалярним добутком векторів  Вектори у просторі   ВЕКТОРИ є число  Вектори у просторі   ВЕКТОРИ

Скалярний квадрат вектора  Вектори у просторі   ВЕКТОРИ (х, у, z)

 Вектори у просторі   ВЕКТОРИ звідки  Вектори у просторі   ВЕКТОРИ

Теорема: Скалярний добуток двох ненульових векторів дорівнює добутку їх модулів на косинус кута між ними.

 Вектори у просторі   ВЕКТОРИ

 Вектори у просторі   ВЕКТОРИ

Якщо  Вектори у просторі   ВЕКТОРИ  Вектори у просторі   ВЕКТОРИ  Вектори у просторі   ВЕКТОРИ, тоді  Вектори у просторі   ВЕКТОРИ = 0.

Якщо  Вектори у просторі   ВЕКТОРИ ·  Вектори у просторі   ВЕКТОРИ = 0 і  Вектори у просторі   ВЕКТОРИ ≠ 0,  Вектори у просторі   ВЕКТОРИ ≠ 0, тоді  Вектори у просторі   ВЕКТОРИ  Вектори у просторі   ВЕКТОРИ  Вектори у просторі   ВЕКТОРИ

 Вектори у просторі   ВЕКТОРИ

Рівняння площини

 Вектори у просторі   ВЕКТОРИ

Де (х0, у0, z0) – координати точки, через яку проходить площина;

 Вектори у просторі   ВЕКТОРИ (А; В; С) – нормальний вектор до площини