Вектори в просторі – Декартові координати та вектори в просторі

Геометрія

Декартові координати та вектори в просторі

Вектори в просторі

Усі основні означення векторів у просторі залишаються такими самими, як означення векторів на площині (див. розділ “Геометрія. 8 клас”).
Координатами вектора  Вектори в просторі   Декартові координати та вектори в просторі, де  Вектори в просторі   Декартові координати та вектори в просторі,  Вектори в просторі   Декартові координати та вектори в просторі, називають числа Вектори в просторі   Декартові координати та вектори в просторі,  Вектори в просторі   Декартові координати та вектори в просторі,  Вектори в просторі   Декартові координати та вектори в просторі.
Вектори рівні тоді, й тільки тоді, коли вони мають відповідно рівні координати. Це дає підставу

позначити вектор його координатами  Вектори в просторі   Декартові координати та вектори в просторі, або просто  Вектори в просторі   Декартові координати та вектори в просторі.
 Вектори в просторі   Декартові координати та вектори в просторі.
Дії над векторами в просторі позначають так само, як і на площині:
 Вектори в просторі   Декартові координати та вектори в просторі
 Вектори в просторі   Декартові координати та вектори в просторі.
Діють і геометричні правила: правило трикутника, правило паралелограма, правило многокутника.
Так само доводиться, що  Вектори в просторі   Декартові координати та вектори в просторі, а напрям вектора  Вектори в просторі   Декартові координати та вектори в просторі збігається з напрямом  Вектори в просторі   Декартові координати та вектори в просторі
class=""/>, якщо  Вектори в просторі   Декартові координати та вектори в просторі, і протилежний напряму  Вектори в просторі   Декартові координати та вектори в просторі, якщо  Вектори в просторі   Декартові координати та вектори в просторі.
Зберігається поняття колінеарних векторів і його необхідна й достатня умова.
Скалярним добутком векторів Вектори в просторі   Декартові координати та вектори в просторі і  Вектори в просторі   Декартові координати та вектори в просторі називається число  Вектори в просторі   Декартові координати та вектори в просторі.
Має місце теорема, за якою скалярний добуток векторів дорівнює добутку їх абсолютних величин і косинуса кута між векторами:
 Вектори в просторі   Декартові координати та вектори в просторі.
Для того щоб два вектори були перпендикулярними, необхідно й достатньо, щоб їх скалярний добуток дорівнював нулю.
Кожний вектор у просторі можна єдиним способом розкласти за трьома координатними векторами  Вектори в просторі   Декартові координати та вектори в просторі,  Вектори в просторі   Декартові координати та вектори в просторі і  Вектори в просторі   Декартові координати та вектори в просторі (див. рисунок).
 Вектори в просторі   Декартові координати та вектори в просторі