ВІДНІМАННЯ РАЦІОНАЛЬНИХ ЧИСЕЛ

Розділ 4 РАЦІОНАЛЬНІ ЧИСЛА ТА ДІЇ З НИМИ

§ 27. ВІДНІМАННЯ РАЦІОНАЛЬНИХ ЧИСЕЛ

Ви вже вмієте віднімати додатні числа і можете знайти різницю, коли зменшуване більше за від’ємник або дорівнює йому.

? Чи можна від меншого числа відняти більше? Так, якщо діємо з раціональними числами. Поміркуємо, спираючись на координатну пряму.

Нехай треба знайти різницю чисел 4 і 5. На координатній прямій позначимо точку з координатою 4 і відкладемо від неї ліворуч 5 одиниць (мал. 131). Дістали точку з координатою -1. Отже:

4 – 5 = -1.

 ВІДНІМАННЯ РАЦІОНАЛЬНИХ ЧИСЕЛ class=""/>

Мал. 131

Зверніть увагу:

Під час віднімання раціональних чисел зменшуване може бути меншим, ніж від’ємник.

? Чи можна знаходити різницю раціональних чисел без опори на координатну пряму? Так. Для цього треба знати правила віднімання раціональних чисел.

У попередньому параграфі ви дізналися, як додавати числа з різними знаками. Дію віднімання числа b від числа а можна звести до дії додавання числа а і числа, протилежного до числа b, тобто – b. Щоб переконатися в цьому, порівняємо

малюнки 131 132. На першому з них бачимо, як знаходили різницю чисел 4 і 5, а на другому – суму чисел 4 і -5. В обох прикладах дістали число -1. Отже:

 ВІДНІМАННЯ РАЦІОНАЛЬНИХ ЧИСЕЛ

Мал. 132

Запам’ятайте!

Правило заміни віднімання додаванням Щоб від одного числа відняти інше, можна до зменшуваного додати число, протилежне до від’ємника:

А – b = а + (-b).

Задача 1 . Обчисліть:

1) 6,5-1,4; 2)6,5-(-1,4); 3) -6,5 -1,4; 4)-6,5-(-1.4): 5)-6,5-0.

Розв’язання.

 ВІДНІМАННЯ РАЦІОНАЛЬНИХ ЧИСЕЛ

? Чи правильно, що внаслідок віднімання раціональних чисел зменшуване завжди зменшується? Ні. У задачі 1 у прикладах 1 і В зменшуване зменшилось, оскільки від’ємник – додатне число. У прикладах 2.1 4, навпаки, зменшуване збільшилось, оскільки від’ємник – від’ємне число. А в прикладі 5 зменшуване не змінилось, оскільки від’ємник дорівнює 0.

Зверніть увагу:

1) у результаті віднімання раціональних чисел зменшуване:

– зменшується, якщо від’ємник є додатним;

– збільшується. якщо від’ємник є від’ємним;

– не змінюється, якщо від’ємник дорівнює 0;

2) про віднімання раціонального числа а від числа b кажуть: число b змінили на число a.

? Як знайти різницю кількох чисел? Розглянемо приклад.

Задача 2. Обчисліть різницю-2,8-(-3,2)-1,2-(-5,8).

Розв’язання. Замінимо дію віднімання дією додавання:

-2,8-(-3,2)-1,2-(-5,8) =

= -2,8+ 3,2 +(-1,2)+ 5,8.

В отриманій сум і можна згрупувати доданки одним із двох способів так, як показано в задачі 2 параграфа 26. Застосуємо перший із них. Тоді дістанемо:

-2,8+ 3,2+ (-1,2)+ 5,8 =

= (-2,8+(-1,2))+(3,2+ 5,8) =

= -4 + 9 = 5.

Отже, -2,8 – (-3,2)- 1,2- (-5,8) = 5.

Дізнайтеся більше

Натуральні числа, а також додатні дробові числа виникли в давнину під час розв’язування практичних задач. Потреба ввести цілі числа була зумовлена розвитком математики, зокрема необхідністю розв’язувати рівняння. Оскільки віднімати натуральні числа було можливо лише за умови, що зменшуване більше за від’ємник, то множина натуральних чисел потребувала розширення. Цілі числа і є розширенням множини натуральних чисел. У множині цілих чисел завжди можна виконати віднімання. Теорію від’ємного числа найбільш змістовно розробив німецький математик М. Штифель (1487-1567). Свою теорію він виклав у книзі “Повна арифметика”, яка побачила cвіту 1544 р.

ПРИГАДАЙТЕ ГОЛОВНЕ

1. Що означає відняти від одного числа інше?

2. Чи може зменшуване бути меншим від від’ємника?

3. Як відняти відданого числа інше, спираючись на координатну пряму?

4. Сформулюйте правило заміни віднімання додаванням. Наведіть приклад.

1178′. Від числа 2 відняли число 7. Чи правильно це показано на координатній прямій:

1)мал. 133; 2) мал. 134?

 ВІДНІМАННЯ РАЦІОНАЛЬНИХ ЧИСЕЛ

Мал. 133

 ВІДНІМАННЯ РАЦІОНАЛЬНИХ ЧИСЕЛ

Мал. 134

1179′. Чи правий Юрко, стверджуючи, що від меншого раціонального числа не можна відняти більше раціональне число?

1180′. Від числа -2 відняли число -5. Чи правильно це показано на координатній прямій: 1)мал. 135; 2) мал. 136?

 ВІДНІМАННЯ РАЦІОНАЛЬНИХ ЧИСЕЛ

Мал. 135

 ВІДНІМАННЯ РАЦІОНАЛЬНИХ ЧИСЕЛ

Мал. 136

1181′. Чи правильно Катруся застосувала правило заміни віднімання додаванням:

1) – 12 – 34 = -12 + 34; 2) -12 – 34 = -12 + (-34)?

1182′. Чи правильне твердження:

1) число 38 зменшиться, якщо від нього відняти 22;

2) число -74 збільшиться, якщо від нього відняти 65?

1183′. Чи правильно, що:

1)-6,9-0 = 6,9; 2) 0-(-25) = -25?

1184°. Накресліть координатну пряму. Позначте на ній число 7. Покажіть на координатній прямій, як зменшити дане число:

1) на 2; 2) на 7; 3) на 13. Яке число отримали?

1185°. Число 25 зменшили: 1) на 5; 2) на 55; 3) на 7,5; 4) на3,8. Яке число отримали?

1186°. Чи правий Віталик, стверджуючи, що різницею меншого і більшого натуральних чисел є: 1) натуральне число; 2) ціле число; 3) раціональне число?

1187°. Обчисліть:

1)37-62; 4)51-51; 7)0,99-2,54; 10)37,5-42,5;

2)96-32; 5)1-4,9; 8)4,89-9,43; 11)0,01-0,1;

3)87-62; 6)0,1-5; 9)4,9-5,4; 12)1,89-0,39.

1188°. Обчисліть:

1)85-27; 2)13-31; 3)5,09-42,1; 4)2,34-0,4.

1189°. Змололи 9 т пшениці й отримали 8200 кг борошна. Решту становили висівки. На скільки кілограмів більше дістали борошна, ніж висівок?

1190°. Знайдіть значення виразу:

1) -12 – 64; 5)-1-6,23; 9)-5,04 – 0,04;

2)-46-33; 6) -0,04-8; 10) -93,7 – 4,7;

3) -12 – 23; 7) -0,09 – 0,9; 11) -0,02 -0,1;

4)-91 -91; 8) -0,9-0,09; 12)-54,5-65,5.

1191°. Знайдіть значення виразу:

1) – 43 – 34; 2) -572 – 300; 3) -6,04 – 2,14.

1192°. Накресліть координатну пряму. Позначте на ній число 3. Покажіть на координатній прямій, як змінити дане число на:

1) -2; 2) -3; 3) -10. Яке число отримали?

1193°. Обчисліть:

1) -8 – (-70); 5) -745 – (-425); 9) -5,6 – (-1,1);

2) -53 – (-53); 6) -30 – (-282); 10) -0,05 – (-1);

3) -820- (-20); 7) -5- (-32,7); 11)-4,67-(-2,07);

4) -419 – (-519); 8) -1,4 – (-2 2,9); 12) -348 – (-56).

1194°. Обчисліть:

1) -56 – (-27); 3)-2,3-(-23);

2) -103 – (-513); 4) -4,09- (-3,003).

1195°. Накресліть координатну пряму. Позначте на ній число 6. Покажіть на координатній прямій, як змінити дане число на:

1) -4; 2) 6; 3) -6. Яке число отримали?

1196°. Обчисліть:

1) – 34 – (-51); 4)34-51; 7)-2,3-2,9;

2) – 34 – 51; 5) 2,3-2,9; 8) 2,3-(-2,9);

3) 34 – (-51); 6) -2,3 – (-2,9); 9) 3,5- (-3,2).

1197°. Обчисліть:

1) 6-3,8; 2)-6-(-3,8); 3)-6-3,8; 4)6-(-3,8).

1198°. За даними таблиці 12 знайдіть різницю.

Таблиця 12

 ВІДНІМАННЯ РАЦІОНАЛЬНИХ ЧИСЕЛ

1199°. За даними таблиці 13 знайдіть від’ємник.

Таблиця 13

 ВІДНІМАННЯ РАЦІОНАЛЬНИХ ЧИСЕЛ

1200°. Знайдіть різницю даного числа і числа, протилежного до нього:

1)21; 2)-345; 3)-2500;  ВІДНІМАННЯ РАЦІОНАЛЬНИХ ЧИСЕЛ

1201 °. Знайдіть значення різниці a – с і різниці с-а, якщо:

1) а= 12, с = -38; 2) а = -3,45, с = -5,55.

Яку закономірність ви помітили?

1202°. Обчисліть:

1)0-37; 2)12-12; 3)0-(-12); 4) -11 – 0.

1203°. Знайдіть значення різниці а-(b-с), якщо:

1) а = -35, b= 14, с = 21; 2) а = -16, b = -7, с = -9.

1204°. Як зміниться число 6,7, якщо від нього відняти число:

1) -6; 2)-6,7; 3)6,7;

 ВІДНІМАННЯ РАЦІОНАЛЬНИХ ЧИСЕЛ 5)37-62; 6)51-51;

7)0,99-2,54; 8)37,5-42,5?

1205°. Розв’яжіть рівняння:

 ВІДНІМАННЯ РАЦІОНАЛЬНИХ ЧИСЕЛ

1206°. Розв’яжіть рівняння:

 ВІДНІМАННЯ РАЦІОНАЛЬНИХ ЧИСЕЛ

1207°. Висота гори Еверест становить 8848 м, а найглибша точка Маріанської западини в Тихому океані розміщується на 19 842 м нижче від вершини Евересту. Яка глибина Маріанської западини?

1208. Обчисліть:

1) 1000-5627-23 112-0; 3)-25,1 – 7,2 – 4,9;

2) -4040- 762 – 3030; 4) 234 – 24,8 – 675,2.

1209. Обчисліть:

 ВІДНІМАННЯ РАЦІОНАЛЬНИХ ЧИСЕЛ

1210. Обчисліть:

 ВІДНІМАННЯ РАЦІОНАЛЬНИХ ЧИСЕЛ

1211. Обчисліть:

1) 2503 – (-831) – (-1169); 3) -72,62 -(-51,15)- (-56,47);

2) -743 – (-395) – (-1 043); 4) 405,2 – (-2,91) – (-6,7).

1212. Виконайте віднімання зручним способом:

1)- 19 – 11 – (-32,5); 2) 8,2- (-12,8)- 5;

3)-23,5-36,5-24,2-(-39,8); 4) 2,348 – (-5,652) – (-10,3) – (-35,7);

5)-3,8-(-5,3)-(-1,8)-(-4,7);

 ВІДНІМАННЯ РАЦІОНАЛЬНИХ ЧИСЕЛ

1213. Обчисліть:

 ВІДНІМАННЯ РАЦІОНАЛЬНИХ ЧИСЕЛ

3)27,56-36-27,56-(-12);

4)39,126- 12,1 + 18-21,026;

1214. За допомогою координатної прямої покажіть, що відстань між точками А(а) і В(b) дорівнює | а – b |.

1215. Знайдіть відстань між точками А і В, якщо:

1) А (20) і В (12); 3) А (-18,5) і В (-4); 5)А (-24) і В (6);

2)А(-2)і В (15); 4)А(4,9)іВ (0,5); 6)А (-2,5) і В (-6).

1216. Розв’яжіть рівняння:

1) |х + 5| = 1; 2) |х + 4| =3; 3)|х|+6=1; 4)|x|+12 = 8.

1217. Складіть числовий вираз і знайдіть його значення:

1) від різниці чисел 4,09 і –  ВІДНІМАННЯ РАЦІОНАЛЬНИХ ЧИСЕЛ відніміть 4,1;

2) від різниці чисел 0,0072 і -6,9928 відніміть суму чисел 7,4 і 1218. Складіть числовий вираз і знайдіть його значення:  ВІДНІМАННЯ РАЦІОНАЛЬНИХ ЧИСЕЛ

1) від різниці чисел 6,7 і  ВІДНІМАННЯ РАЦІОНАЛЬНИХ ЧИСЕЛ відніміть 8,8;

2) від різниці чисел 27,3 і -12 відніміть число, протилежне до числа 18,7.

1219. Обчисліть:

 ВІДНІМАННЯ РАЦІОНАЛЬНИХ ЧИСЕЛ

1220. Знайдіть різницю найбільшого цілого двоцифрового і найменшого цілого чотирицифрового чисел.

1221. Знайдіть різницю найменшого цілого двоцифрового і найбільшого цілого трицифрового чисел.

1222. Оля задумала число, яке спочатку змінила на -35, а потім – на 90. У результаті отримала число -140. Яке число задумала Оля?

1223. Іван задумав число, яке спочатку змінив на -25,3, а потім – на  ВІДНІМАННЯ РАЦІОНАЛЬНИХ ЧИСЕЛ. У результаті отримав число  ВІДНІМАННЯ РАЦІОНАЛЬНИХ ЧИСЕЛ. Яке число задумав Іван?

1224*. У банку лежить 3500 грн. Протягом першого місяця з рахунку зняли 200 грн, другого місяця – у 2,5 раза більше. Третього місяця зняли 20 % тієї суми, що залишилася. Визначте, скільки грошей залишилося на рахунку.

1225*. Обчисліть:  ВІДНІМАННЯ РАЦІОНАЛЬНИХ ЧИСЕЛ

1226*. Замість кожної зірочки поставте “+” або “-” так, щоб була правильною рівність: 1*2*3*4*5*6*7*8*9 = -21.

1227*, Замість кожної зірочки поставте “+” або “-” так, щоб була правильною рівність: 2*4*6*8*10*12 = 2.

1228*. Віктор написав на дошці 1 *2*3*4*5*6*7*8*9 = 21, поставивши замість кожної зірочки або “+”, або “-“. Вікторія змінила деякі знаки на протилежні і в результаті замість числа 21 записала число 20. Доведіть, що хтось із дітей помилився.

ЗАСТОСУЙТЕ НА ПРАКТИЦІ

1229. У понеділок температура становила 15,5 °С. Протягом кожного наступного дня температура знижувалася на 1,5 °С. Визначте, яка температура була в п’ятницю ввечері.

1230. Після засухи рівень води в озері знизився на 15,5 см. Внаслідок зливи рівень води піднявся на 34,7 см, після чого становив 697 см. Визначте рівень води в озері до засухи.

1231. Кількість забитих м’ячів записували зі знаком “+”, а кількість пропущених – зі знаком “-“. Скільки м’ячів пропустила команда, якщо забила 12 голів, а сума забитих і пропущених м’ячів дорівнює – З?

ЗАДАЧІ НА ПОВТОРЕННЯ

1232. Обчисліть: 1) 63 ∙ 78 + 78 ∙ 37; 2)136-23-136- 13.

1233. Обчисліть:

1) 1,2-3,5-0,25-0,02; 2)1,01-6,2-100; 3)0,4-1,8-6,25.

1234. Знайдіть значення виразу:

 ВІДНІМАННЯ РАЦІОНАЛЬНИХ ЧИСЕЛ

1235. Добуток двох чисел дорівнює 5,13. Один із множників дорівнює 0,3. Знайдіть другий множник.




ВІДНІМАННЯ РАЦІОНАЛЬНИХ ЧИСЕЛ