ВІДСОТКОВІ РОЗРАХУНКИ

Розділ 3 ВІДНОШEННЯ І ПРОПОРЦІЇ

§ 19. ВІДСОТКОВІ РОЗРАХУНКИ

У 5 класі ви дізналися, що таке відсоток і як розв’язувати задачі на знаходження відсотка від числа та числа за його відсотком. Розглянемо, як розв’язувати такі задачі за допомогою пропорцій та ознайомимося з іншими видами задач на відсоткові розрахунки.

1. Знаходження відсотка від числа

Задача 1. Мама Малюка спекла 25 ватрушок. Карлсон з’їв 40 % ватрушок. Скільки ватрушок з’їв Карлсон?

Розв’язання.

 ВІДСОТКОВІ РОЗРАХУНКИ

Зверніть увагу:

Щоб знайти

число х, яке становитьd відсотків числа а, складають пропорцію:

Якщо

А – 100% а : х=

Х – а %, то 100 : d.

2. Знаходження числа за його відсотком

Задача 2. У 6-А класі високий рівень навчальних досягнень мають б учнів, що становить 20 % учнів класу. Скільки учнів навчається в 6-А класі?

Розв’язання. За умовою задачі, 6 відмінників – це 20 % учнів класу. У задачі треба з’ясувати, скільки учнів припадає на 100%. Складемо короткий запис даних задачі.

Учнів у класі: ? -100%

Відмінників: б

учн. – 20 %

Нехай х – кількість учнів у 6-А класі. Тоді складаємо пропорцію:  ВІДСОТКОВІ РОЗРАХУНКИ , х= 30. Отже, у 6-А класі – 30 учнів.

Зверніть увагу:

Щоб знайти число х за його частиною Ь, яка становить d відсотків, складають пропорцію:

Якщо

Х- 100% х : b=

то 100 : <2.

b – d %,

3. Знаходження відсоткового відношення двох чисел

А, Задача 3. Із 30 учнів 6-Б класу в спортивних змаганнях взяли участь 18 учнів. Скільки відсотків учнів класу взяли участь у спортивних змаганнях?

Розв’язання. За умовою задачі, у класі є 30 учнів, що становить 100 %. У задачі треба з’ясувати, скільки відсотків становлять 18 учнів. Складемо короткий запис даних задачі.

У класі: 30 учн. -100%

Брали участь: 18 учн.- ?

Нехай х – відсоток учнів, які брали участь у змаганнях. Тоді складаєм о пропорцію: 30: 18 = 100: х. Звідси: х=(18 ∙ 100): 30, х=60. Отже, 60 % учнів 6-Б класу взяли участь у змаганнях.

Зверніть увагу:

Щоб знайти відсоткове відношення двох чисел а і b, складають про порцію:

Якщо

А – 100 % а : b =

B – х %, то 100 : х.

? Чи правильно, що для знаходження відсоткового відношення чисел а і b можна помножити на 100 обернене відношення цих чисел? Так. Це випливає з основної властивості пропорції.

Розглянемо більш складні задачі на відсоткові розрахунки, які можна розв’язувати за допомогою пропорцій.

4. Знаходження зміни відсотка за зміною числа

Задача 4. Бджоли за день принесли до вулика 2 кг меду. Наступного дня вони працювали краще і зібрали 2,5 кг меду. На скільки відсотків більше зібрали меду бджоли за другий день? Розв’язання. За ум о вою задачі, за день бджоли принесли до вулика 2 кг меду, що становить 100 %. У задачі треба з’ясувати, на скільки відсотків 2,5 кг меду більше за 2 кг Складемо короткий запис даних задачі.

І день: 2 кг – 100 %

II день: 2,5 кг – (100+?)%

Нехай х – кількість відсотків, на яку збільшилася маса меду.

Тоді складаємо пропорцію:  ВІДСОТКОВІ РОЗРАХУНКИ Звідси:  ВІДСОТКОВІ РОЗРАХУНКИ х = 125 – 100, х = 25. Отже, за другий день бджоли зібрали меду на 25 % більше.

Зверніть увагу:

Щоб знайти зміну відсотка х за зміною числам до числа b, складають пропорцію:

Якщо

А – 100 % а і b =

B – (100 + x) %, то =100 : (100+ х).

? Чи можна в такий спосіб розв’язувати задачі на зменшення числа? Так. У цьому випадку треба скласти пропорцію а : b= 100 : (100 – х).

5. Знаходження числа за його відсотковою зміною

Задача 5. У 10 років Іванко має зріст 130 см. Яким був зріст Іванка в 9 років, якщо за рік він підріс на 4 %?

Розв’язання. За умовою задачі, Іванко в 10 років має зріст 130 см, що на 4 % більше, ніж у 9 років. Отже, зросту Іванка в 9 років відповідає 100 %, а в 10 років – (100 + 4) %. Складемо короткий запис даних задачі.

Зріст у 9 років: ? -100%

Зріст у 10 років: 130 см – (100+ 4) %

Нехай х – зріст Іванка в 9 років. Тоді складаємо пропорцію:  ВІДСОТКОВІ РОЗРАХУНКИ . Звідси:  ВІДСОТКОВІ РОЗРАХУНКИ х = 125. Отже, зріст Іванка в 9 років станови в 125 см.

? Чи можна 8 ріст Іван ка в 10 років прийняти за 100 % ? Так. Чи відповідатимуть тоді (100 – 4) % зросту Іванка в 9 років? Ні, оскільки 4 % від 130 см не дорівнюють 4 % від 125 см.

Зверніть увагу:

Щоб знайти число х, яке змінилося до числа Ь, за його відсотковою зміною т, складають пропорцію:

Якщо

Х – 100% х : b=

B – (100 + n) % то = 100 : (100 +n).

6. Знаходження відсоткового відношення двох чисел за зміною числа

Задача 6. За перший день Марійка прочитала 20 сторінок книжки. а за другий – на 5 сторінок більше. Скільки у відсотках прочитала Марійка за другий день порівняно з першим днем?

Розв’язання. За умовою задачі, за перший день Марійка прочитала 20 сторінок, що становить 100 %. У задачі треба з’ясувати, скільки відсотків становлять (20 +5) сторінок. Складемо короткий запис даних задачі.

I день: 20 с. -100%

II день: (20 +5) с. – ?

Нехай х – кількість сторінок у відсотках, які прочитала Марійка за другий день. Тоді складаємо пропорцію: 20 : (20 + + 5) = 100 : х. Звідси: х= (25 ∙ 100) : 20, х = 125. Отже, за другий день Марійка прочитала 125 % від прочитаною за перший день.

Зверніть увагу:

Щоб знайти відсоткове відношення двох чисел а і а + n за зміною числа а на n, складають пропорцію:

Якщо

А – 100 % а : (а + n) =

А + n – х %, то =100 : x.

? Чи можна в такий спосіб розв’язувати задачі на зменшення даного числа? Так. У цьому випадку треба скласти пропорцію а : (а – n) = 100 : х.

Дізнайтеся більше

У параграфі ви розглянули розв’язування задач за допомогою алгебраїчного способу Проте кожну 5 них можна розв’язати й арифметично, до того ж не одним способом. Звернемося до задачі 1 даного параграфа.

Задача. Мама Малюка спекла 25 ватрушок. Карлсон з’їв У 40 % усіх ватрушок. Скільки ватрушок з’їв Карлсон?

Розв’язання.

Арифметичний спосіб 1.

1) Скільки ватрушок становить 1 %?

25 : 100- 0,25 (в.).

2) Скільки ватрушок становлять40 %?

40 ∙ 0,25 = 10 (в.).

Отже, Карлсон з ‘їв 10 ватрушок.

Арифметичний спосіб 2.

1) Як виразити 40 % дробом?

40% =0,4.

2) Скільки ватрушок становлять 40 %?

25 ∙ 0,4 = 10 (в.).

Отже, Карлсон з’їв 10 ватрушок.

ПРИГАДАЙТЕ ГОЛОВНЕ

1. Яку пропорцію складають, щоб знайти відсоток від числа?

2 Яку пропорцію складають, щоб знайти число за його відсотком?

3. Яку пропорцію складають, щоб знайти відсоткове відношення двох чисел?

4. Яку пропорцію складають, щоб знайти зміну відсотка за зміною числа?

5. Яку пропорцію складають, щоб знайти число за його відсотковою зміною?

6. Яку пропорцію складають, щоб знайти відсоткове відношення двох чисел за зміною числа?

780′. Як знайти: 1) 1 % числа а; 2) 25% числа а; 3) п % числа а?

781′. Петрик стверджує, що для знаходження 10 % числа а треба число а поділити на 10. Чи правий Петрик? Відповідь поясніть.

782′. До задачі склали скорочений запис:

1) 120-100%, 2)70 – 100%, 3) 20- 100%,

? -30%; ? -50%; ?-150%.

Яку пропорцію треба скласти для розв’язування задачі?

783′. Як знайти число b, якщо відоме значення його 1 %?

784′. Катруся стверджує, що для знаходження числа b, 50 % якого дорівнюють 60, треба 60 помножити на 2. Чи права Катруся? Відповідь поясніть.

785′. Як знайти число за значенням:

1)10% цього числа; 2) 25 % цього числа?

786′. До задачі склали скорочений запис:

1) ? – 100 %, 2) ?-100%, 3) ?-100%,

40-10%; 50 – 25%; 450-50%.

Яку пропорцію треба скласти для розв’язування задачі?

787′. За допомогою якого виразу можна знайти відсоткове відношення чисел 5 і 30:  ВІДСОТКОВІ РОЗРАХУНКИ ∙ 100 чи  ВІДСОТКОВІ РОЗРАХУНКИ ∙ 100 ? Відповідь поясніть.

788′. До задачі склали скорочений запис:

1) 160- 100%, 2) 250- 100%, 3) 600-100%,

40 – ?%; 50 – ?%; 450 – ?%.

Яку пропорцію треба скласти для розв’язування задачі?

789°. Для числа 450 знайдіть його: 1) 2 %; 2) 20 %; 3) 75 %; 4) 120 %.

790°. Для числа 240 знайдіть його: 1) 30 %; 2) 150 %.

791°. До магазину завезли 2000 кг яблук. За перший день продали 35 % усіх яблук. Скільки кілограмів яблук продали за перший день?

792°. У школі навчається 800 учнів. Дівчата становлять 54 % всіх учнів. Скільки дівчат навчається в школі?

793°. Знайдіть число, 45 % якого дорівнюють:

1)90; 2)180; 3)36; 4)4,5.

794°. Знайдіть число, 30 % якого дорівнюють: 1) 15; 2) 60.

795°. Туристи за 1 – й день походу подолали 30 км, що становить 15% запланованої відстані. Яку відстань планували подолати туристи?

796°. На зошити Марійка витратила 25 грн, що становить 20 % усіх її грошей. Скільки грошей було в Марійки спочатку?

797°. Скільки відсотків даного числа становить число 5?

1)20; 2)25; 3)50; 4)150,

798°. Скільки відсотків даного числа становить число 7? 1) 14; 2)56.

799°. На рік сім’я заготовила 10 мішків картоплі. За три осінні місяці з’їли 2,5 мішки картоплі. Скільки відсотків картоплі використала сім’я восени?

800°. В акваріумі в Сашка 24 рибки, з них 6 – скалярії. Скільки відсотків усіх рибок в акваріумі становлять скалярії?

801°. У 6-Б класі навчаються 32 учні, з них 10 учнів відвідують спортивні секції. Скільки відсотків спортсменів у 6-Б класі?

802°. У квітковий магазин завезли 80 троянд, серед них – 30 білих. Скільки відсотків становлять білі троянди?

803°. Число 30 збільшили на 40 %. Яке число отримали?

804°. Число 50 збільшили на 20 %. Яке число отримали?

805°. Зменште число 32 на: 1) 20 %; 2) 25 %; 3) 50 %; 4) 75 %.

806°. Зменште число 60 на: 1) 30 %; 2) 75 %.

807°. Збільште число 60 на: 1) 10 %; 2) 25 %; 3) 50 %; 4) 120 %.

808°. Збільште число 125 на: 1) 40 %; 2) 150 %,

809°. У перший вулик бджоли принесли за день 2 кг меду, а в другий – на 15 % більше. Скільки меду принесли бджоли в другий вулик?

810°. Стільниковий телефон Сергійка коштує 500 грн, а Михайлика – на 20 % дорожчий. Скільки коштує стільниковий телефон Михайлика?

811 °. За перший місяць магазин продав товарів на суму 10 000 грн, а за другий – на 8 % менше. На яку суму продав товару магазин за другий місяць?

812°. Квиток у цирк коштував 25 грн, а через місяць квитки подорожчали на 20 %. Яка нова ціна квитка?

813°. Знайдіть число, після збільшення якого на 20 % було отримано число: 1) 84; 2) 240.

814°. Знайдіть число, після збільшення якого на 60 % було отримано число 640.

815°. Знайдіть число, після зменшення якого на 80 % було отримано число: 1) 60; 2) 140.

816°. Знайдіть число, після зменшення якого на 30 % було отримано число 28.

817°. Скільки коштував товар, якщо після підвищення його ціни на 15 % він став коштувати 345 грн?

818°. У банку на вклади громадян нараховують 7 % річних. Скільки гривень було покладено на рахунок у банк, якщо через рік на рахунку стало 5350 грн?

819°. Під час сушіння виноград втрачає 70 % своєї маси. Скільки кілограмів родзинок отримають із 10 кг винограду? Скільки кілограмів винограду потрібно взяти, щоб отримати 10 кг родзинок?

820°. із посадженого насіння соняшника зійшло 180 зернят насіння, що становить 90% від кількості посадженого насіння. Скільки насіння соняшника було посаджено? Скільки зернят насіння зійде, якщо посадити 350 зернят соняшника?

821°. Число 50 збільшили на 20. На скільки відсотків збільшилося число?

822Число 45 збільшили на 15. На скільки відсотків збільшилося число?

823°. Число 40 зменшили на 10. На скільки відсотків зменшилося число?

824°. Число 80 зменшили на 20. На скільки відсотків зменшилося число?

825°. Число 50 збільшили на а. Знайдіть відсоткове відношення числа 50 й отриманого числа, якщо: 1) а = 10; 2) а = 5.

826°. Число 25 збільшили на а. Знайдіть відсоткове відношення отриманого числа і числа 25, якщо а = 15.

827°. Число 24 зменшили на b. Знайдіть відсоткове відношення отриманого числа і числа 24, якщо: 1) b – 12; 2) b – 16.

828°. Число 36 зменшили на b. Знайдіть відсоткове відношення числа 36 і отриманого числа, якщо b = 9.

829°. Вінні-Пух купив 15 банок згущеного молока. За день він з’їв 3 банки. Скільки відсотків згущеного молока залишилось у Вінні-Пуха?

830°. Мама купила 25 кг борошна. За один тиждень вона витратила 3 кг борошна. Скільки відсотків борошна залишилось у мами?

831°. Магазин за перший день продав 150 кг кавунів, а за другий – на 90 кг більше, ніж за перший. Скільки відсотків кавунів продав магазин за другий день порівняно з першим?

832°. Оксанка за минулий тиждень отримала 8 оцінок “10”, а за цей тиждень – на 2 такі оцінки більше. Який відсоток оцінок “10” отримала дівчинка за цей тиждень порівняно з минулим?

833. Що більше: 1) 20 % числа 50 чи 50 % числа 20; 2)10% числа 120 чи 50 % числа 24?

834. Що менше: 10 % числа 25 чи 25 % числа 10?

835. У міському парку посадили 50 дерев, з яких 20 % становлять ялинки, а решту – сосни. Скільки дерев кожного виду посадили в парку?

836. У цеху працюють 400 робітників. Чоловіки становлять 75 % усіх робітників цеху. Скільки жінок працює в цеху?

837. Яке з двох чисел менше:

1)15% якого дорівнюють 30 чи 30 % якого дорівнюють 15;

2) 25 % якого дорівнюють 100 чи 10 % якого дорівнюють 40?

838. Яке з двох чисел більше: 50 % якого дорівнюють 10 чи 10 % якого дорівнюють 50?

839. До магазину привезли фрукти. Серед них було 400 кг яблук, що становить 20 % загальної кількості фруктів. Груш було на 100 кг менше, ніж яблук. Решту фруктів становили сливи. Скільки кілограмів фруктів привезли до магазину? Скільки кілограмів слив привезли до магазину?

840. У першому цеху працюють 180 робітників, що становить 45 % усіх робітників заводу. У другому цеху робітників на 50 менше, ніж у першому. Решта робітників працюють у третьому цеху. Скільки робітників працюють на заводі? Скільки робітників працюють у третьому цеху?

841. Тетянка прочитала 80 сторінок книжки, після чого їй залишилося прочитати ще 120 сторінок. Скільки відсотків усіх сторінок прочитала Тетянка?

842. Токар до обіду обточив 13 деталей, а після обіду – решту 12 деталей. Скільки відсотків усіх деталей обточив токар після обіду?

843. Порівняйте відсоткове відношення пар чисел:

1) 12 і 4та 15 і 3; 2) 8 і 40та 5 і 25.

844. Порівняйте відсоткове відношення пар чисел: 15 і 10 та 9 і 6.

845. У прямокутнику сторони дорівнюють 8 см і 10 см. Кожну сторону збільшили на 50 %. Як змінився периметр прямокутника? Відповідь подайте в дециметрах.

846 У прямокутнику сторони дорівнюють 16 дм і 24 дм. Кожну сторону збільшили на 40 %. Як змінився периметр прямокутника? Відповідь подайте в метрах,

847. У трикутнику сторони дорівнюють 14 см, 18 см і 20 см. Кожну сторону зменшили на 25%. Як змінився периметр трикутника?

848. У прямокутному паралелепіпеді ребра дорівнюють 3 см, 12 см і 8 см. Кожне ребро зменшили на 50 %. Як змінилася сума довжин усіх ребер паралелепіпеда?

849. Чи можна стверджувати, що при зміні кожної сторони квадрата на n%, периметр квадрата також зміниться на n %?

850. Число 60 збільшили на 25 %, а потім – ще на 15 %. Яке число отримали?

851. Число 64 зменшили на 25 %, а потім – ще на 35 %. Яке число отримали?

852. Число48 збільшили на 55%, а потім – зменшили на 15%. Яке число отримали?

853. Число 150 зменшили на 75 %, а потім – збільшили на 40 %. Яке число отримали?

854. Число а зменшили на 20 %. На скільки відсотків потрібно збільшити нове число, щоб отримати дане число а?

855. Число b зменшили на 30 %, а потім збільшили на 30 %. Як змінилося число b?

856. У прямокутнику сторони дорівнюють 4 см і 12 см. На скільки відсотків збільшиться периметр прямокутника, якщо кожну його сторону: 1) збільшити вдвічі; 2) збільшити в 4 рази; 3) зменшити в 4 рази?

857. У прямокутному паралелепіпеді ребра дорівнюють 5 см, 8 см і 7 см. На скільки відсотків збільшиться сума довжин усіх ребер паралелепіпеда, якщо кожне його ребро: 1) збільшити на 1 см; 2) зменшити на 1 см; 3) збільшити на 2 см?

858. У трикутнику зі сторонами 5 см, 5 см і 8 см кожну сторону збільшили на 3 см. На скільки відсотків збільшився периметр трикутника?

859. Микола Петрович поклав у банк 5000 грн на три роки. Щороку банк нараховує 5 % річних. Скільки грошей отримає вкладник через три роки?

860. Банк надає кредит 30 000 грн зі ставкою 10 % річних. Яку суму потрібно повернути банку через два роки?

861. За перший день походу автотуристи подолали ЗО % запланованого шляху, за другий – 20 %, а за третій – решту 90 км. Знайдіть відстань, яку мали подолати автотуристи за три дні походу.

862. Перше оповідання становить 35 % книжки, друге – 25 %, а третє – решту 80 сторінок. Скільки сторінок у книжці?

863. Тато отримував зарплату в розмірі 4000 грн. Потім йому підвищили зарплату, і він почав отримувати 4800 грн. На скільки відсотків підвищили зарплату татові?

864. Спортсмен на тренуванні пробігає 12 км за день. Тренер запропонував йому пробігати за день 15 км. На скільки відсотків збільшилось навантаження спортсмена за день?

865. Мама на день народження купила 2 кг цукерок, 3 кг яблук, 2,5 кг винограду, 1,5 кг персиків та 1 кг печива. Скільки відсотків цієї покупки становили фрукти?

866. Тетянка витратила на виконання домашнього завдання 1,5 год. Домашнє завдання з української мови вона виконувала 18 хв, з історії – 27 хв, а з образотворчого мистецтва – решту часу. Який відсоток усього часу зайняло виконання домашнього завдання з кожного предмета?

867*. До просушування вологість зерна становила 23 %, а після просушування – 12 %. На скільки відсотків зменшилася маса зерна після просушування?

868*. На скільки відсотків знизиться ціна товару, якщо спочатку її знизити на 20 %, а потім – ще на 10 %?

869*. Число збільшили на 25 %, а потім результат зменшили на 25 %. Яке число отримали, більше чи менше від початкового? На скільки відсотків?

870*. Яку концентрацію буде мати розчин солі, якщо в 1 кг води розчинити:

1) 200 г солі;

2) 500 гсолі?

871*. Скільки води потрібно долити до 7,5 кг 12%-го розчину солі, щоб одержати 10 %-й розчин?

872*. На скільки відсотків збільшиться площа прямокутника, якщо його довжину збільшити на 40%, а ширину – на 30 %?

873*. Як зміниться значення дробу, якщо його чисельник збільшити на 100 %, а знаменник – зменшити на 50 %?

ЗАСТОСУЙТЕ НА ПРАКТИЦІ

874. Іринка витратила в понеділок 7 грн на обід у шкільній їдальні. Скільки відсотків свого бюджету витратила Iрнка, якщо мама видає їй на тиждень 50 грн?

875. Оксанка витрачає на дорогу до школи 20 хв. Але одного разу вона запізнювалася і йшла швидше, ніж зазвичай. При цьому вона витратила на дорогу на 15 % менше часу. Скільки часу витратила дівчинка на дорогу до школи?

876. Маринка за рік виросла на 5 см. На скільки відсотків виросла дівчинка, якщо її попередній зріст дорівнював 125 см?

877. Обчисліть концентрацію цукру в склянці чаю, який ви випиваєте на сніданок, якщо маса чаю в склянці – 200 г, а маса цукру в одній чайній ложці – 10г.

878. Допоможи дідусеві обчислити, що вигідніше: покласти до банку 2000 грн під 5 % річних на 3 роки чи 1000 грн під 10 % річних на 2 роки.

ЗАДАЧІ НА ПОВТОРЕННЯ

879. Розставте дужки у виразі 35 : 5 + 2 ∙ 16 – 4 так, щоб його значення дорівнювало 60.

880. Розв’яжіть рівняння: 1) 121 : (х – 19) = 11; 2) х ∙ 14 + 25= 109.

881. Периметр прямокутника дорівнює 80 см. Знайдіть площу прямокутника, якщо його ширина дорівнює 16 см.

882. Турист ішов 3 год зі швидкістю  ВІДСОТКОВІ РОЗРАХУНКИ км/год і 2 год зі швидкістю  ВІДСОТКОВІ РОЗРАХУНКИ км/год. Знайдіть шлях, який пройшов турист.




ВІДСОТКОВІ РОЗРАХУНКИ