Вирази зі змінними. Цілі раціональні вирази. Числове значення виразу

Розділ 1. ЦІЛІ ВИРАЗИ

& 1. Вирази зі змінними. Цілі раціональні вирази. Числове значення виразу

Числові вирази утворюють із чисел за допомогою знаків дій і дужок. Наприклад, числовими виразами є:

12 ∙ 3 – 9; 1,23; 5  Вирази зі змінними. Цілі раціональні вирази. Числове значення виразу – ( 5,7 : 3 + 1  Вирази зі змінними. Цілі раціональні вирази. Числове значення виразу) тощо.

Число, що є результатом виконання всіх дій у числовому виразі, називають значенням виразу.

Оскільки 12 ∙ 3 – 9 = 36 – 9 = 27, то число 27 є значенням числового виразу 12 ∙ 3 = 9.

Якщо числовий вираз містить дію, яку неможливо виконати, то кажуть, що вираз

не має смислу (змісту). Наприклад, вираз

5 : (8 : 2 – 4) не має смислу, бо 8 : 2 – 4 = 0 і наступну дію 5 : 0 виконати неможливо.

Окрім числових виразів у математиці зустрічаються вирази, що містять букви. Такі вирази ми називали буквеними.

Приклад 1. Нехай необхідно знайти площу прямокутника, довжина якого дорівнює 10 см, а ширина – b см.

За формулою площі прямокутника маємо: S = 10b. Якщо, наприклад, b – 3, то S = 30, а якщо b = 7, то S = 70. У виразі 106 буква b може набувати різних значень, тобто її значення можна

змінювати. При цьому буде змінюватися і значення виразу 10 b. Оскільки значення b може змінюватися (набувати різних, у даному випадку додатних значень), то букву b в такому виразі називають змінною, а сам вираз 10b – виразом зі змінною.

Наприклад, вирази 5 + а; 2(6 – 3х);  Вирази зі змінними. Цілі раціональні вирази. Числове значення виразу виразами зі змінними.

Якщо у вираз зі змінними замість змінних підставимо певні числа, то одержимо числовий вираз. Його значення називають числовим значенням виразу для вибраних значень змінних.

Приклад 2. Знайти значення виразу:

1) (5 + b) : 4, якщо b = 0; -2; 2) a –  Вирази зі змінними. Цілі раціональні вирази. Числове значення виразу , якщо а = 17, с = -5.

Р о з в’ я з а н н я.

1) Якщо b = 0, то (5 + b) : 4 = (5 + 0) : 4 = 1,25;

Якщо b = -2, то (5 + b) : 4 = (5 + (-2)) : 4 = 0,75.

2) Якщо а = 17, с = -5, то a –  Вирази зі змінними. Цілі раціональні вирази. Числове значення виразу = 17 –  Вирази зі змінними. Цілі раціональні вирази. Числове значення виразу =  Вирази зі змінними. Цілі раціональні вирази. Числове значення виразу = 1  Вирази зі змінними. Цілі раціональні вирази. Числове значення виразу.

Вираз, який складається із чисел і змінних, сполучених знаками дій та дужок, називають раціональним виразом. Наприклад, раціональними є вирази:

2 а – m; p +  Вирази зі змінними. Цілі раціональні вирази. Числове значення виразу; –  Вирази зі змінними. Цілі раціональні вирази. Числове значення виразу (x – 9 + y); 5 +  Вирази зі змінними. Цілі раціональні вирази. Числове значення виразу;  Вирази зі змінними. Цілі раціональні вирази. Числове значення виразу – 3; a + b –  Вирази зі змінними. Цілі раціональні вирази. Числове значення виразу.

Раціональний вираз, який не містить ділення на вираз зі змінною, називають цілим раціональним виразом. Якщо в раціональному виразі є ділення на вираз зі змінною, його називають дробовим раціональним виразом. Три перших з поданих вище виразів – цілі, а три останніх – дробові.

Вирази зі змінними використовують для запису формул.

Наприклад, s = vt – формула відстані; Р = 2(а + b) – формула периметра прямокутника; n = 2k (де k – ціле число) – формула парного числа; n = 2k + 1 (де k – ціле число) – формула непарного числа; n = 7k (де k – ціле число) – формула числа, кратного числу 7.

А ще раніше…

Поява букв і знаків арифметичних дій y математичних записах є результатом розвитку математичної науки. У своїх працях шукане невідоме число стародавні єгипетські вчені називали “хау” (у перекладі – “купа”), а знаки математичних дій взагалі не вживали, записуючи усе переважно словами. І хоча потреба у використанні знаків математичних дій виникла ще у Стародавньому Єгипті, з’явилися вони набагато пізніше. Замість знаків додавання і

Віднімання стародавні математики використовували малюнки або слова, що призводило до громіздких записів.

Знаки арифметичних дій стали зустрічатися в наукових працях математиків, починаючи з XV ст. На сьогодні відомо, ким і коли було запропоновано деякі математичні знаки для записів. Так, знаки “+” і”-” зустрічаються вперше у 1489 році в праці “Арифметика” Погана Відмана. професора Лейпцизького університету. Знак “х” для позначення дії множення введено англійським математиком Вільямом Оутредом у 1631 році. Для позначення дії ділення він використовував риску “/”. Дробову риску в математичних записах (для відокремлення чисельника дробу від його знаменника) уже в 1202 році використовував Леонардо Пізанський, відомий математик середньовічної Європи. Німецький математик, фізик і філософ Готфрід Вільгельм Лейбніц (1646-1716) запропонував використовувати у якості знака множення крапку (“∙”), а у якості знака ділення – двокрапку (“:”). Це відбулося у 1693 році та у 1684 році відповідно. Знак рівності (“-“) було введено в 1557 році Робертом Рекордом, математиком, який народився в Уельсі і довгий час був особистим лікарем королівської сім’ї Великої Британії.

Величезний внесок у розвиток алгебраїчної символіки зробив у XVI ст. видатний французький математик Франсуа Віст, якого називають “батьком” алгебри. Саме він став позначати буквами не тільки змінні, а й будь-які числа, зокрема коефіцієнти при змінних. Проте його символіка відрізнялася від сучасної.

Замість х, х2 і х3 Вієт писав відповідно букви N (Numerus – число), Q (Quadratus – квадрат) і С (Сubus – куб). Наприклад, рівняння х3 + 7×2 – 8х = 20 він записував так:

1C + 7Q – 8N aequ 20 (aequali – дорівнює).

 Вирази зі змінними. Цілі раціональні вирази. Числове значення виразу

Франсуа Віст (1540-1603)

Із чого утворюють числові вирази? Що називають значениям числового виразу? Із чого утворюють вирази зі змінними? Що називають числовим значенням виразу для вибраних значень змінних? Наведіть приклад числового виразу і виразу зі змінними. Який вираз називають цілим раціональним виразом?

1. (Усно) Які з наведених нижче виразів є числовими, а які – виразами зі змінними:

1) 5 + m2 – а;

2) (12 – 3) : 4;

3)  Вирази зі змінними. Цілі раціональні вирази. Числове значення виразу ;

4) (0 – 8) ∙ 5 – 13?

2. (Усно) Які з раціональних виразів є цілими, а які – дробовими:

1)  Вирази зі змінними. Цілі раціональні вирази. Числове значення виразу;

2)  Вирази зі змінними. Цілі раціональні вирази. Числове значення виразу ;

3) m +  Вирази зі змінними. Цілі раціональні вирази. Числове значення виразу;

4) m +  Вирази зі змінними. Цілі раціональні вирази. Числове значення виразу?

3. Випишіть окремо: числові вирази; вирази зі змінними; цілі раціональні вирази; дробові раціональні вирази:

1) 5 + с;

2) (2 – 15) ∙ 4;

3)  Вирази зі змінними. Цілі раціональні вирази. Числове значення виразу;

4) q2 – 19;

5) 7 +  Вирази зі змінними. Цілі раціональні вирази. Числове значення виразу;

6)  Вирази зі змінними. Цілі раціональні вирази. Числове значення виразу ab;

7)  Вирази зі змінними. Цілі раціональні вирази. Числове значення виразу;

8)  Вирази зі змінними. Цілі раціональні вирази. Числове значення виразу.

4. Прочитайте словами вирази зі змінними:

1) х + 7;

2) m – а;

3) 5ab;

4) 5 : (с + 9).

5. Складіть і запишіть по два вирази:

1) зі змінною а;

2) зі змінними х і у.

6. Складіть і запишіть по три вирази:

1) зі змінною х;

2) зі змінними а і b.

7. (Усно) Які з даних числових виразів не мають смислу:

1) (5 – 6) : 7;

2) (10 – 2 ∙ 5) : 7;

3) 4 : (12 – 2 ∙ 6);

4)  Вирази зі змінними. Цілі раціональні вирази. Числове значення виразу ?

8. Знайдіть значення виразу:

1) 5х – 3, якщо х = 1,8; де x = 2  Вирази зі змінними. Цілі раціональні вирази. Числове значення виразу;

2) а2 + 3а, якщо а = -1; а = 0,8.

9. Знайдіть значення виразу:

1) 5m + 2n, якщо m = -1,3; n = 2  Вирази зі змінними. Цілі раціональні вирази. Числове значення виразу;

2) а(2b – с), якщо а = 1,5; b = 3,2; с = -1,4.

10. Знайдіть значення виразу:

1) b2 – 4b, якщо b = -2; b = 0,5;

2) х2 – y2, якщо х = 5; у = -3; якщо х = 0,1; у = 0,2.

11. Запишіть у вигляді виразу:

1) суму чисел b і с;

2) добуток чисел 5m і n3;

3) квадрат суми чисел а і 9р;

4) різницю квадратів чисел 3d і 7r.

12. Запишіть у вигляді виразу:

1) різницю чисел р і 7;

2) частку чисел а + с і d;

3) суму числа а і добутку чисел m і n.

13. Заповніть у зошиті наступні таблиці:

M

2

3

-1

0

-2

N

1

2

0

-5

-3

2m – 3n

X

-1

0

1

2

Х2 + 2

Х2 + 2х

14. Дізнайтеся прізвище видатного українського кардіохірурга. Для цього знайдіть значення виразу в першій таблиці і перенесіть букви, що відповідають знайденим значенням, у другу таблицю.

Х

-2

-1

0

1

2

Х2 – 4х

Букви

О

А

В

М

С

5

-3

12

-4

12

0

15. Порівняйте суму а + b з добутком ab, якщо:

1) а = 0, b = -2;

2) а = -3, b = 2.

16. Майстер за одну годину виготовляє х деталей, а його учень – у деталей. Скільки деталей вони виготовили разом, якщо майстер працював 8 год, а учень – 4 год?

17. (Усно) Нехай а дм – довжина прямокутника, b дм – його ширина. Що означають вирази:

1) ab;

2) 2(а + b);

3) 2а;

4)  Вирази зі змінними. Цілі раціональні вирази. Числове значення виразу ?

18. Ручка коштує х грн, олівець у грн (x > у). Що означають вирази:

1) х + у;

2) 3х + 4у;

3) х – у;

4)  Вирази зі змінними. Цілі раціональні вирази. Числове значення виразу?

19. Запишіть у вигляді виразу час, який учень щоденно проводить у школі, якщо у нього а уроків по 45 хв, b перерв по 15 хв і с перерв по 10 хв. Обчисліть значення цього виразу, якщо а = 6; b = 2; с = 3.

20. Коли Марійка витягла зі своєї скарбнички всі монети, то виявилося, що там було х монет номіналом 10 коп., у монет номіналом 25 коп. і z монет номіналом 50 коп. Обчисліть, яку суму коштів назбирала Марійка, якщо х = 8; у = 5; z = 20.

21. При якому значенні змінної а значення виразу 5а – 8 дорівнює -13?

22. При якому значенні де значення виразів 3х – 4 і -2х + 7 рівні між собою?

23. Складіть формулу цілого числа, яке:

1) кратне числу 9;

2) при діленні на 5 дає в остачі 1.

24. При деяких значеннях а і b значення виразу а – b дорівнює 2,25. Якого значення при тих самих значеннях а і b набуває вираз:

1) 4(а – b);

2) b – а;

3)  Вирази зі змінними. Цілі раціональні вирази. Числове значення виразу;

4)  Вирази зі змінними. Цілі раціональні вирази. Числове значення виразу

25. При деяких значеннях с і d значення виразу с – d дорівнює  Вирази зі змінними. Цілі раціональні вирази. Числове значення виразу. Якого значення при тих самих значеннях с і d набуває вираз:

1) 7(с – d);

2) d – c;

3)  Вирази зі змінними. Цілі раціональні вирази. Числове значення виразу;

4)  Вирази зі змінними. Цілі раціональні вирази. Числове значення виразу ?

26. Складіть вирази для обчислення площ фігур (мал. 1-3):

 Вирази зі змінними. Цілі раціональні вирази. Числове значення виразу

Мал. 1

 Вирази зі змінними. Цілі раціональні вирази. Числове значення виразу

Мал. 2

 Вирази зі змінними. Цілі раціональні вирази. Числове значення виразу

Мал. 3

Вправи для повторення

27. Обчисліть:

1) 132;

2) 73;

3) (-2,1)2;

4) (-1,1)3;

 Вирази зі змінними. Цілі раціональні вирази. Числове значення виразу

8) 0,23.

28. Якою цифрою закінчується значення виразу:

1) 1322; 2) 2713; 3) 20172; 4) 13152 – 1153?

29. Власна швидкість катера 26 км/год, а швидкість течії річки – 2 км/год. Знайдіть відстань між двома пристанями, якщо в одному напрямі катер проходить її на 30 хв швидше, ніж у зворотному.

Цікаві задачі для учнів неледачих

30. Чи існує таке значення х, для якого:

1) – х >  Вирази зі змінними. Цілі раціональні вирази. Числове значення виразу;

2) х >  Вирази зі змінними. Цілі раціональні вирази. Числове значення виразу?




Вирази зі змінними. Цілі раціональні вирази. Числове значення виразу