Властивість точки, рівновіддаленої від сторін многокутника

Урок 36

Тема. Властивість точки, рівновіддаленої від сторін многокутника

Мета уроку: формування вмінь учнів застосовувати властивість ортогональної проекції точки, рівновіддаленої від сторін многокутника, до розв’язування задач.

Обладнання: стереометричний набір, схема “Коло, вписане в многокутник”

Хід уроку

1. Перевірити правильність виконання вправ № 42, 48, 53 за записами, зробленими на дошці до початку уроку.

Нехай ABCD – прямокутник; BS Властивість точки, рівновіддаленої від сторін многокутника(АВС); SD = с, SC = b, SA = a (рис. 204).

Оскільки

ВС Властивість точки, рівновіддаленої від сторін многокутникаCD, то SC Властивість точки, рівновіддаленої від сторін многокутникаCD. Із? SDC DC = Властивість точки, рівновіддаленої від сторін многокутника=  Властивість точки, рівновіддаленої від сторін многокутника.

Оскільки ВА Властивість точки, рівновіддаленої від сторін многокутникаAD, то SA Властивість точки, рівновіддаленої від сторін многокутникаAD. Із? SAD AD =  Властивість точки, рівновіддаленої від сторін многокутника=  Властивість точки, рівновіддаленої від сторін многокутника.

Із? SAB SB =  Властивість точки, рівновіддаленої від сторін многокутника=  Властивість точки, рівновіддаленої від сторін многокутника=  Властивість точки, рівновіддаленої від сторін многокутника .

Відповідь.  Властивість точки, рівновіддаленої від сторін многокутника;  Властивість точки, рівновіддаленої від сторін многокутника;  Властивість точки, рівновіддаленої від сторін многокутника.

 Властивість точки, рівновіддаленої від сторін многокутника

Нехай АВС – рівносторонній трикутник;

ВС = 6 см; AD Властивість точки, рівновіддаленої від сторін многокутника(АВС); AD = 13 см (рис. 205). Проведемо АК Властивість точки, рівновіддаленої від сторін многокутникаВС, тоді DK Властивість точки, рівновіддаленої від сторін многокутникаВС; отже, DK – відстань від точки D до ВС.

Із? АСА АК =  Властивість точки, рівновіддаленої від сторін многокутника=  Властивість точки, рівновіддаленої від сторін многокутника =  Властивість точки, рівновіддаленої від сторін многокутника (см).

Із? ADA DK =  Властивість точки, рівновіддаленої від сторін многокутника=  Властивість точки, рівновіддаленої від сторін многокутника =  Властивість точки, рівновіддаленої від сторін многокутника = 14 (см).

Відповідь. 14 см.

 Властивість точки, рівновіддаленої від сторін многокутника

Нехай у? АВС ( Властивість точки, рівновіддаленої від сторін многокутникаС = 90°) AB = а, ВС = b; CD Властивість точки, рівновіддаленої від сторін многокутника(ABC); CD = c (рис. 206). Проведемо CK Властивість точки, рівновіддаленої від сторін многокутникаAB, тоді DK Властивість точки, рівновіддаленої від сторін многокутникаAB; отже, DK – відстань від точки D до прямої AB.

Із? АВС AC =  Властивість точки, рівновіддаленої від сторін многокутника= Властивість точки, рівновіддаленої від сторін многокутника.

S =  Властивість точки, рівновіддаленої від сторін многокутникаВС – АС =  Властивість точки, рівновіддаленої від сторін многокутникаB Властивість точки, рівновіддаленої від сторін многокутника, або S= Властивість точки, рівновіддаленої від сторін многокутникаAB – CK=  Властивість точки, рівновіддаленої від сторін многокутникаA – CK, то  Властивість точки, рівновіддаленої від сторін многокутникаB Властивість точки, рівновіддаленої від сторін многокутника= Властивість точки, рівновіддаленої від сторін многокутникаA – CK; CK =  Властивість точки, рівновіддаленої від сторін многокутника.

Із? CDK DK= Властивість точки, рівновіддаленої від сторін многокутника= Властивість точки, рівновіддаленої від сторін многокутника= Властивість точки, рівновіддаленої від сторін многокутника

Відповідь.  Властивість точки, рівновіддаленої від сторін многокутника.

 Властивість точки, рівновіддаленої від сторін многокутника

2. Самостійна робота.

Варіант. 1

1) Відрізок SC перпендикулярний до площини рівностороннього три­кутника АВС. Проведіть через точку S перпендикуляр до прямої АВ. (4 бали)

2) Через точку О перетину діагоналей ромба до його площини прове­дено перпендикуляр OS довжиною 5 см. Знайти відстань від точ­ки S до кожної сторони ромба, якщо діагоналі ромба дорівнюють 40 і 30 см. (8 балів)

1) Відрізок SA перпендикулярний до площини рівнобедреного трикут­ника АВС, в якому АВ = AC. Проведіть через точку S перпендику­ляр до прямої ВС. (4 бали)

2) Катети прямокутного трикутника АВС дорівнюють 9 і 12 см. Через середину гіпотенузи – точку О проведено перпендикуляр до пло­щини трикутника довжиною 6 см. Знайдіть відстані від кінців пер­пендикуляра до катетів. (8 балів)

1) Відрізок SD перпендикулярний до площини прямокутника ABCD. Проведіть через точку S перпендикуляри до ВС і АВ. (4 бали)

2) Сторона правильного трикутника АВС дорівнює 2 Властивість точки, рівновіддаленої від сторін многокутника см. До пло­щини трикутника проведено перпендикуляр AS довжиною 4 см. Знайдіть відстань від точки S до сторони ВС. (8 балів)

Варіант 4

1) Відрізок SA перпендикулярний до площини ромба ABCD. Прове­діть через точку S перпендикуляр до прямої BD. (4 бали)

2) До площини прямокутного трикутника ABC ( Властивість точки, рівновіддаленої від сторін многокутникаC = 90°) проведено пер­пендикуляр SB, SA = 13 см,  Властивість точки, рівновіддаленої від сторін многокутникаB = 30°, AC = 5 см. Знайдіть відстань від точки S до прямої АС. (8 балів)

Відповідь. Варіант 1. 1) СК Властивість точки, рівновіддаленої від сторін многокутникаАВ, тоді SK Властивість точки, рівновіддаленої від сторін многокутникаАВ (рис. 207); 2) 13 см.

 Властивість точки, рівновіддаленої від сторін многокутника

Варіант 2. 1) АK Властивість точки, рівновіддаленої від сторін многокутникаВС, тоді SK Властивість точки, рівновіддаленої від сторін многокутникаВС (рис. 208); 2) 7,5 см і 6 Властивість точки, рівновіддаленої від сторін многокутникаСм.

 Властивість точки, рівновіддаленої від сторін многокутника

Варіант 3. 1) Оскільки DC Властивість точки, рівновіддаленої від сторін многокутникаCB і DA  Властивість точки, рівновіддаленої від сторін многокутникаAB, то SC Властивість точки, рівновіддаленої від сторін многокутникаВС, SA Властивість точки, рівновіддаленої від сторін многокутникаАВ (рис. 209); 2) 5 см.

 Властивість точки, рівновіддаленої від сторін многокутника

Варіант 4. 1) Оскільки AC Властивість точки, рівновіддаленої від сторін многокутникаBD, то SO Властивість точки, рівновіддаленої від сторін многокутникаAD (рис. 210); 2) 12 см.

 Властивість точки, рівновіддаленої від сторін многокутника

Властивість точки, рівновіддаленої від сторін многокутника

Розв’язування задачі № 45 (с. 37) із підручника. Після розв’язування цієї задачі слід зробити висновок і записати його в зошити учнів:

Якщо через центр кола, вписаного в многокутник, проведено перпендикуляр до площини многокутника, то кожна точка перпендикуляра рівновіддалена від сторін многокутника.

Теорема.

Якщо точка рівновіддалена від сторін многокутника і основа. перпендикуляра, опущеного з да­ної точки до площини много­кутника, лежить всередині многокутника, то основа перпенди­куляра є центром кола, вписа­ного в многокутник.

Нехай К, L, М, N – основи пер­пендикулярів, опущених з точки S на сторони CD, DA, АВ, ВС плоского чотирикутника ABCD (рис. 211), і SO Властивість точки, рівновіддаленої від сторін многокутника(АВС), SK=SL=SM=SN. ?SOК=?SLO=?SMO=?SNO (за гіпотенузою і спільним катетом OS); із рівності трикутників випли­ває OK =QL = ОМ = ON (1).

Оскільки SK Властивість точки, рівновіддаленої від сторін многокутникаDC, SL Властивість точки, рівновіддаленої від сторін многокутникаAD, SM Властивість точки, рівновіддаленої від сторін многокутникаAB, SN Властивість точки, рівновіддаленої від сторін многокутникаBC, то за теоремою про три перпендикуляри маємо: OK Властивість точки, рівновіддаленої від сторін многокутникаDC, OL Властивість точки, рівновіддаленої від сторін многокутникаAD, ОМ Властивість точки, рівновіддаленої від сторін многокутникаAB, ON Властивість точки, рівновіддаленої від сторін многокутникаBC (2).

Враховуючи (1) і (2), робимо висновок: точка О – центр кола, вписа­ного в чотирикутник ABCD.

 Властивість точки, рівновіддаленої від сторін многокутника

Далі слід нагадати формули для знаходження радіуса кола, вписано­го в многокутники, за допомогою наведеної схеми.

Розв’язування задач

1. Точка О – центр квадрата зі стороною 4 см, АО – пряма, що перпендикулярна до площини квадрата, АО = 2 Властивість точки, рівновіддаленої від сторін многокутникаСм. Знайдіть від­стань від точки А до сторін квадрата.

2. Відстань від точки S до сторін квадрата дорівнює 13 см. Знайдіть відстань від точки S до площини квадрата, якщо сторона квадрата дорівнює 10 см.

3. Точка S на 5 см віддалена від усіх сторін правильного трикутника, медіана якого дорівнює 9 см. Знайдіть відстань від даної точки до площини трикутника.

4. Відстань від точки S до сторін правильного трикутника дорівнює 10 см. Знайдіть відстань від точки S до площини трикутника, якщо сторона трикутника дорівнює 16 Властивість точки, рівновіддаленої від сторін многокутника см.

III. Домашнє завдання

§3, п. 19; задачі № 46, 47 (с. 37-38).

Запитання до класу

1) Що називається відстанню від точки до прямої?

2) Яку властивість має Основа перпендикуляра, опущеного з точки, яка рівновіддалена від вершин многокутника.

3) Яку властивість має основа перпендикуляра, опущеного з точки, яка рівновіддалена від сторін многокутника, якщо основа перпен­дикуляра лежить всередині многокутника?

 Властивість точки, рівновіддаленої від сторін многокутника




Властивість точки, рівновіддаленої від сторін многокутника